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Mouvement dans un champ de gravitation

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afin de permettre une meilleure compréhension du cours,
jusqu’à ce que les définitives soient prêtes.

Nos graphistes font tout leur possible pour les réaliser au plus vite.

😉

Introduction :

Depuis le début des années 1960, plus de quarante sondes, orbiteurs et atterrisseurs ont été envoyés vers la planète Mars. Conçus et construits par les agences spatiales américaine, européenne, russe, japonaise, ces véhicules équipés de capteurs servaient à étudier le climat, le sol, la géologie de la planète rouge, et à y chercher des traces d’une vie passée ou au moins d’eau liquide. À l’été 2020, un rover chinois (Tianwen-1), un rover américain (Mars 2020) et une sonde émiratie (Mars Hope) devraient se mettre en route, profitant de la « fenêtre de lancement » (intervalle de temps pendant lequel les conditions pour le lancement d’une fusée sont optimales), qui n’est ouverte que tous les 26 mois. Si une mission est lancée pendant cet intervalle de 3 semaines environ, la durée de son trajet de la Terre à Mars est minimale. Mais comment varie la durée de ce trajet ? Et comment la périodicité des fenêtres de lancement est-elle déterminée ?
Pour déterminer cela, il faut étudier les mouvements des planètes sur leurs orbites respectives.

Ce chapitre présente la forme et les caractéristiques de la trajectoire d’un système mécanique placé dans un champ de gravitation, et qui s’y maintient en orbite. Les mouvements orbitaux des planètes du système solaire et des satellites géostationnaires sont détaillés, ainsi que les lois de Kepler qui les décrivent.

Caractéristiques du mouvement dans un champ de gravitation

Vous avez vu en première que, pour un système mécanique soumis à la force de gravitation, celle-ci peut s’écrire comme le produit de la masse mm du système par le champ de gravitation g\vec g créé par l’objet massif en interaction avec le système.

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Rappel

Le champ de gravitation créé en un point MM quelconque, par un objet de masse mm dont le centre est situé en OO, s’écrit : GO(M)=GmOM2uOM\vec{\text{G}}O(M)=-\text{G}\cdot\dfrac{m}{OM^2}\cdot\vec{u}{OM}

Avec :

  • G\text{G} la constante universelle de gravitation, dont la valeur est G=6,67×1011 Nm2kg2\text{G}=6,67\times10^{-11}\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2} ;
  • uOM\vec{u}_{OM} le vecteur unitaire orienté de OO vers MM.

Img01

Forme de la trajectoire

Considérons un système en orbite autour d’un objet massif, comme par exemple, une planète ou une comète autour du Soleil. La seule force extérieure exercée sur le système est donc la force de gravitation, égale au produit de la masse du système par le champ de gravitation exercé là où il se trouve.

Img02

Le champ de gravitation à l’emplacement du système est dirigé du système vers l’objet créant le champ. D’après la 2e loi de Newton, l’accélération du système est parallèle au champ et de même sens. Dans les chapitres précédents, un lien a été établi entre l’orientation de l’accélération du système et la forme de sa trajectoire.

  • La condition pour le maintien en orbite est que la vitesse reste au-dessus d’une certaine valeur, autrement le système « tombe » vers l’objet autour duquel il se trouvait en orbite.
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À retenir

Un système mécanique soumis uniquement à un champ de gravitation et placé en orbite circulaire autour de la source de ce champ, reste en orbite circulaire uniforme.

Dans un tel cas de figure, on peut remarquer que :

  • l’énergie mécanique du système est constante car la seule force extérieure est conservative ;
  • l’énergie potentielle du système est constante car le système reste à la même distance (son altitude ne varie pas) de la source du champ de gravitation ;
  • l’énergie cinétique du système est constante car la norme de sa vitesse est constante.

Caractéristiques d’une orbite circulaire

Un mouvement circulaire uniforme est caractérisé par le rayon du cercle et par le temps mis par le système pour effectuer un tour complet.

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Définition

Période et vitesse orbitale :

  • On appelle période orbitale, ou période de révolution, le temps mis pour un système en orbite autour d’un objet massif, pour effectuer un tour complet de l’orbite.
  • On appelle vitesse orbitale la norme de la vitesse du système. La vitesse orbitale est constante si l’orbite est circulaire.
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Astuce

On parle le plus souvent de « période de révolution » pour une planète ou un satellite naturel et de « période orbitale » pour un satellite artificiel.

Nous avons vu précédemment que la représentation des mouvements circulaires en coordonnées cartésiennes est peu commode, et introduit le repère de Frenet pour écrire plus facilement la vitesse et l’accélération dans de tels cas. Ceci va aussi permettre de relier les caractéristiques de l’orbite entre elles et aux caractéristiques de la source du champ.
Cependant comme le repère de Frenet est centré sur le système, son utilisation ne permet pas d’établir l’équation de la trajectoire.

Les écritures des trajectoires circulaires ou elliptiques dans des systèmes de coordonnées « fixes » seront vues ultérieurement.

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Exemple

Étudions l’orbite circulaire de la Station spatiale internationale (de masse mm) autour de la Terre (de masse MM), à l’altitude zz.

Le référentiel d’étude est le référentiel géocentrique, galiléen. La seule force exercée sur le système {la station} est la force de gravitation due à la Terre FT/S\vec{F}_{T/S}.

Sous forme vectorielle, la 2e loi de Newton s’écrit  :

ma=FT/S=mGT(S)m\vec{a}=\vec{F}{T/S}=m\vec{\text{G}}T(S)

Avec le champ de gravitation GT(S)\vec{\text{G}}T(S) créé au point SS de la station, par la Terre de masse MM dont le centre de gravité est situé en TT, s’écrit : GT(S)=GMTS2uTS\vec{\text{G}}T(S)=-\text{G}\cdot\dfrac{M}{TS^2}\cdot\vec{u}_{TS}

  • C’est-à-dire que l’accélération est égale au champ de gravitation :

a=GT(S)\vec{a}=\vec{\text{G}}_T(S)

Img03 – Station spatiale internationale en orbite circulaire autour de la Terre

Le vecteur normal N\vec{N} du repère de Frenet est parallèle à l’accélération (car la station est en orbite circulaire uniforme) et au champ (dirigé vers le centre de la Terre, donc de la trajectoire).

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Rappel

Pour rappel, l’expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet est : a=dvdtT+v2RN\vec{a} = \dfrac{dv}{dt} \vec{T} + \dfrac{v^2}{R} \vec{N}

  • Le vecteur normal N\vec{N} est donc l’opposé du vecteur unitaire uOM\vec{u}_{OM} utilisé plus haut. Il vient alors :

aN=GMR2a_N=\dfrac{\text{G}M}{R^2}

Où la distance RR entre le centre de la Terre et la station est la somme du rayon terrestre (en mètre) et d’altitude zz.

  • L’expression de l’accélération normale fait apparaître la vitesse orbitale vv :

v2R=GMR2\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{\text{G}M}{R^2}

  • On souhaiterait faire apparaître la période orbitale TT.
    Or la vitesse orbitale est égale au rapport de la distance totale parcourue le long d’une orbite sur le temps mis pour la parcourir, c’est-à-dire le rapport du périmètre du cercle sur la période orbitale TT : v=2πRTv=\dfrac{2\pi R}{T}

En remplaçant vv par cette expression dans l’équation précédente, il vient : 4π2RT2=GMR2\dfrac{4\pi^2R}{T^2}=\dfrac{\text{G}M}{R^2} Ce qui est équivalent à : R3T2=GM4π2\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{\text{G}M}{4\pi^2}

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À retenir

Un système en orbite circulaire uniforme soumis à un champ de gravitation vérifie la relation : R3T2=GM4π2\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{\text{G}M}{4\pi^2}

Avec :

  • RR le rayon de l’orbite en m\text{m} ;
  • TT la période orbitale en s\text{s} ;
  • MM la masse de l’objet autour duquel le système est en orbite en kg\text{kg} ;
  • G\text{G} la constante de gravitation, dont la valeur est G=6,67×1011 Nm2kg2\text{G}=6,67\times10^{-11}\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}.
  • On remarque que la période orbitale est indépendante de la masse de l’objet placé sur orbite, et il en est de même de la vitesse orbitale. Son expression est la suivante :

T=2π(RT+z)3GMT=2\pi\sqrt{\dfrac{(R_T+z)^3}{\text{G}M}}

Il existe aussi un lien unique entre la période orbitale et le rayon de l’orbite : deux satellites en orbite autour de la Terre, à la même altitude, ont forcément la même période orbitale.

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Exemple

La station, par exemple, se trouve en orbite basse à une altitude z=400 kmz=400\ \text{km} environ. On peut en déduire sa période orbitale : T=2π(RT+z)3GM=5,5×103 s=92 min\begin{aligned} T&=2\pi\sqrt{\dfrac{(R_T+z)^3}{\text{G}M}}\ &=5,5\times{10}^3\ \text{s}\ &=92\ \text{min}\end{aligned}

Avec :

  • RT=6 370 kmR_T=6\ 370\ \text{km} le rayon de la Terre ;
  • M=6,0×1024 kgM=6,0\times10^{24}\ \text{kg} sa masse ;
  • G=6,67×1011 Nm2kg2\text{G}=6,67\times10^{-11}\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2} la constante de gravitation.

Mouvements orbitaux

Nous allons voir des exemples de systèmes en orbite circulaire et les caractéristiques de leurs orbites.

Orbites des planètes du système solaire

Dans le cours « La Terre dans l’Univers » d’enseignement scientifique de première, vous avez étudié les caractéristiques et les historiques des modèles géocentrique et héliocentrique.

Le courant de pensée « majoritaire » parmi les philosophes Grecs antiques était que l’Univers avait pour centre la Terre : il s’agit du modèle géocentrique, qui a prévalu en Europe ainsi qu’au Moyen-Orient et au Maghreb jusqu’au XVIe siècle. Dans les termes de ce cours, le référentiel utilisé pour étudier les mouvements des astres était le référentiel géocentrique. Les trajectoires des planètes du système solaire avaient des formes complexes.

Dans le modèle héliocentrique, introduit par Copernic et défendu notamment par Galilée, le centre de l’univers est le Soleil. On sait aujourd’hui que l’univers contient de nombreuses galaxies et de nombreux systèmes planétaires, et que notre Soleil n’en occupe pas le centre. L’utilisation du référentiel héliocentrique permet cependant de simplifier l’étude des trajectoires des planètes du système solaire : celles-ci sont de forme elliptique.

Une ellipse est une courbe plane fermée, un peu « allongée » en comparaison du cercle.
Nous allons en donner une définition simple, qui nous permettra de mieux comprendre les notions que nous allons aborder avec les lois de Kepler.

  • Soit deux points FF et FF^{\prime}, et cc tel que FF=2cFF^{\prime}=2c.
    Soit ensuite aa, un réel strictement positif tel que a>ca > c.

On définit alors une ellipse comme l’ensemble des points PP tels que :

PF+PF=2aPF + PF^{\prime}=2a

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  • Les points FF et FF^{\prime} sont appelés foyers de l’ellipse.
  • Le segment [AA][AA^{\prime}], de longueur 2a2a, est appelé grand axe de l’ellipse.
  • Dans le cas particulier où FF et FF^{\prime} sont confondus, nous obtenons un cercle de centre FF (ou FF^{\prime}) et de rayon aa.

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Astuce

La forme de l’orbite d’un corps céleste est caractérisée par son excentricité ee :

e=cae=\dfrac ca

Nous nous intéressons dans ce cours plus particulièrement :

  • aux trajectoires elliptiques, où 0<e<10 < e < 1 ;
  • aux trajectoires circulaires, où e=0e = 0.

Les lois de Kepler

Les lois établies par Johannes Kepler décrivent les trajectoires des planètes du système solaire, dans le modèle héliocentrique.

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Définition

Lois de Kepler :

  • 1re loi : loi des orbites

Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des orbites elliptiques autour du Soleil, qui en occupe un des foyers.

  • 2e loi : loi des aires

Le rayon-vecteur liant le Soleil à une planète balaie, en des temps égaux, des aires égales.

  • Le rayon-vecteur est le segment reliant les centres de masse du Soleil et de la planète en orbite.

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Une planète PP est en orbite circulaire autour du Soleil SS.
Soit Δt\Delta t une durée.
Et soit P1P1, P1P^{\prime}1, P2P2 et P2P^{\prime}2 respectivement les positions de PP à t1t1, t1+Δtt1+\Delta t, t2t2 et t2+Δtt2+\Delta t.
Selon la loi des aires, l’aire A1\mathcal A1 balayée par le segment [SP][SP] entre P1P1 et P1P^{\prime}1 est égale à l’aire A2\mathcal A2 balayée entre P2P2 et P2P^{\prime}2.
Nous voyons que l’arc P1P1\overgroup{P1P^{\prime}1} est plus court que l’arc P2P2\overgroup{P2P^{\prime}2}, alors qu’ils sont parcourus pendant la même durée Δt\Delta t.

  • Ainsi, la deuxième loi de Kepler permet de dire que la vitesse de la planète n’est pas constante le long de son orbite : elle est plus rapide quand la planète est proche du Soleil.
  • 3e loi : loi des périodes

Le rapport du cube du demi-grand axe de l’orbite, sur le carré de la période orbitale, a la même valeur pour toutes les planètes du système solaire : a3T2=constante\dfrac{a^3}{T^2}=\text{constante} Avec :

  • aa le demi-grand axe de l’orbite en m\text{m} ;
  • TT la période orbitale en s\text{s} ;
  • le rapport est une constante (souvent noté kk) en s2m3\text{s}^{-2}\cdot \text{m}^{-3}.
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À retenir

Les orbites des planètes du système solaire sont quasiment circulaires. Pour simplifier les calculs, nous considérerons que les planètes sont en mouvement circulaire uniforme.

Considérons une planète, par exemple Mars, en orbite autour du Soleil, et étudions son mouvement dans le référentiel héliocentrique.

La planète est soumise aux champs de gravitation créés par tous les corps du système solaire le Soleil, les autres planètes, les astéroïdes, etc. La masse du Soleil représente 99,86 %99,86\ \% de la masse totale du système solaire, donc le champ créé par le Soleil est de loin le plus important, et nous négligerons les autres.

  • La première loi nous dit que si l’on considère l’orbite de Mars comme circulaire, alors le Soleil occupe le centre de la trajectoire, car les foyers sont confondus en son centre.
  • D’après la deuxième loi, l’aire « balayée par le rayon-vecteur » dans un intervalle de temps donné Δt\Delta t est la surface de la portion circulaire comprise entre le rayon-vecteur (ou vecteur position) de l’instant initial tt et celui de l’instant final t+Δtt+\Delta t.
    Dans l’approximation faite ici, et d’après les résultats de la partie précédente, si Mars se trouve en orbite circulaire autour du Soleil, cette orbite est circulaire et uniforme.
  • Donc il vient assez naturellement que l’aire « balayée par le rayon-vecteur » est proportionnelle à la durée considérée.

Img-07 : Orbite circulaire

  • D’après la troisième loi de Kepler, le demi-grand axe aa est la moitié de la distance maximale séparant deux points opposés sur une ellipse. Pour un cercle, il s’agit donc du rayon.

Considérons la relation, décrivant un système en orbite circulaire uniforme soumis à un champ de gravitation, établie plus haut : R3T2=GM4π2\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{\text{G}M}{4\pi^2}

Elle nous confirme l’énoncé de la 3e loi de Kepler, et fournit l’expression de la constante, dans le cadre de l’approximation d’orbites circulaires, suivante : a3T2=constante\dfrac{a^3}{T^2}=\text{constante}

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À retenir

Lois de Kepler appliquées à des orbites circulaires :

  • les planètes du système solaire décrivent des orbites circulaires uniformes autour du Soleil ;
  • le rapport du cube du rayon orbital RR d’une planète sur le carré de la période orbitale TT, a la même valeur pour toutes les planètes du système solaire : R3T2=GMS4π2=constante\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{\text{G}M_S}{4\pi^2}=\text{constante}

Avec MSM_S la masse du Soleil.

L’application de cette 3e loi a permis, historiquement, de déterminer la masse de la planète géante Jupiter, d’après l’observation des mouvements orbitaux de ses satellites naturels.
Cette dernière loi permet aussi de comprendre pourquoi les orbites des planètes du système solaire ne sont pas synchrones.

Les satellites géostationnaires

L’altitude à laquelle un satellite ou autre objet artificiel est placé en orbite autour de la Terre dépend de l’usage qu’on souhaite en faire. On distingue :

  • l’orbite basse (altitudes inférieures à 2 000 km2\ 000\ \text{km}) : satellites météorologiques et d’imagerie terrestre, systèmes globaux de télécommunication (Iridium), télescopes spatiaux, stations spatiales ;
  • l’orbite intermédiaire (altitudes entre 2 000 km2\ 000\ \text{km} et l’orbite géostationnaire) : satellites de navigation (GPS, Galileo) et de communication (Telstar) ;
  • l’orbite géostationnaire : satellites de télécommunications (relais permanents pour les liaisons téléphoniques ou les émissions de télévision), satellites de météorologie (Meteosat).
  • Un satellite en orbite géostationnaire reste à la verticale d’un même point du globe terrestre, situé à l’équateur terrestre.

Étudions le mouvement de ce satellite dans le référentiel géocentrique galiléen.
Chaque axe du repère pointe constamment vers la même étoile. Dans ce référentiel, la Terre tourne sur elle-même en 24 heures, ce qui signifie que la période orbitale d’un satellite géostationnaire est aussi de 24 heures.

La 3e loi de Kepler permet de déterminer l’altitude de l’orbite géostationnaire : R3T2=GMT4π2\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{\text{G}M_T}{4\pi^2}

En isolant le rayon de l’orbite il vient : R=(GMTT24π2)13 R=\left(\dfrac{\text{G}M_TT^2}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}}

Dont on peut déduire l’altitude de l’orbite : z=(GMTT24π2)13RT z=\left(\dfrac{\text{G}MTT^2}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}}-RT

Avec :

  • MTMT la masse de la Terre, dont la valeur est MT=6×1024 kgMT =6\times10^{24}\ \text{kg} ;
  • RTRT le rayon de la Terre, dont la valeur est RT=6370 kmRT=6370\ \text{km}.

Il vient ainsi : z3,6×104 kmz\approx3,6\times10^4\ \text{km}

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À retenir

Un satellite en orbite géostationnaire reste à la verticale d’un même point du globe terrestre, situé à l’équateur terrestre.
L’orbite géostationnaire se situe à une altitude de 36 000 km36\ 000\ \text{km} environ de la surface terrestre.

Conclusion :

Nous avons vu les caractéristiques du mouvement d’un système mécanique en orbite autour d’un corps massif sous l’effet d’un champ de gravitation. Celui-ci reste en orbite circulaire uniforme une fois qu’il y a été placé à la vitesse adéquate. Le mouvement d’un système en orbite circulaire uniforme est caractérisé par son rayon RR et sa période orbitale TT. Ces deux grandeurs sont liées entre elles et à la masse MM de l’objet au centre de l’orbite par la relation suivante : R3T2=GM4π2\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2} La plupart des satellites et stations placés en orbite autour de la Terre sont en orbite circulaire uniforme. En particulier, un satellite géostationnaire, à une altitude de 36 000 km36\ 000\ \text{km}, se trouve toujours à la verticale d’un même point de l’équateur terrestre. On peut aussi approcher les orbites des planètes du système solaire par des orbites circulaires. La 3e loi de Kepler se traduit alors par l’équation ci-dessus, avec MM égale à la masse du Soleil.