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Mouvement dans un champ de gravitation

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Introduction :

Depuis le début des années 1960, plus de quarante sondes, orbiteurs et atterrisseurs ont été envoyés vers la planète Mars. Conçus et construits par les agences spatiales américaine, européenne, russe, japonaise, ces véhicules équipés de capteurs servaient à étudier le climat, le sol, la géologie de la planète rouge, et à y chercher des traces d’une vie passée ou au moins d’eau liquide. À l’été 2020, un rover chinois (Tianwen-1), un rover américain (Mars 2020) et une sonde émiratie (Mars Hope) se sont mis en route, profitant de la « fenêtre de lancement » (intervalle de temps pendant lequel les conditions pour le lancement d’une fusée sont optimales), qui n’est ouverte que tous les 26 mois. Si une mission est lancée pendant cet intervalle de 3 semaines environ, la durée de son trajet de la Terre à Mars est minimale. Mais comment varie la durée de ce trajet ? Et comment la périodicité des fenêtres de lancement est-elle déterminée ?
Pour déterminer cela, il faut étudier les mouvements des planètes sur leurs orbites respectives.

Ce chapitre présente la forme et les caractéristiques de la trajectoire d’un système mécanique placé dans un champ de gravitation, et qui s’y maintient en orbite. Les mouvements orbitaux des planètes du système solaire et des satellites géostationnaires sont détaillés, ainsi que les lois de Kepler qui les décrivent.

Étude du mouvement dans un champ de gravitation

Force et champ de gravitation (rappels)

Nous considérons un point matériel PP, de masse mm (en kg\text{kg}), distant de rr (en m\text{m}) d’un corps sphérique de masse MM (en kg\text{kg}), que nous modélisons par son centre de masse AA.

  • La force de gravitation exercée par AA sur PP s’écrit :

F A/P=GmMr2uAP\overrightarrow{F\ }{A/P}= - \text{G}\cdot \dfrac {mM}{r^2}\cdot \vec u{AP}

  • G\text{G} est la constante universelle de gravitation, qui vaut : 6,67×1011Nm2kg26,67\times10^{-11}\, \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}.
  • uAP\vec u_{AP} est le vecteur unitaire de mêmes direction et sens que AP \overrightarrow{AP\ }.
  • Le corps de centre AA crée au point PP un champ gravitationnel G(P)\vec \mathcal G(P) et nous avons :

F A/P=mG(P)avec : G(P)=GMr2uAP\begin{aligned} \overrightarrow{F\ }{A/P}&= m\vec \mathcal G(P) \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{avec\ :\ }}\vec \mathcal G(P)&=- \text{G}\cdot \dfrac {M}{r^2}\cdot \vec u{AP} \end{aligned}

force de gravitation

Deuxième loi de Newton et accélération

bannière à retenir

À retenir

Un satellite est un système (planète ou objet) en mouvement autour d’un astre attracteur soumis à son champ de gravitation.
Une orbite est la trajectoire fermée du système soumis à l’effet du champ de gravitation.

Nous considérons un satellite de masse mm, réduit à son centre de masse PP, en orbite autour d’un astre attracteur de masse MM et de centre de masse AA. Les deux corps sont distants de r=APr=AP.

  • Nous nous s’intéressons au système : {satellite}.

Nous nous plaçons dans un référentiel de centre AA, orienté vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes.

  • Nous supposons ce référentiel galiléen.

Nous considérons aussi que le satellite est suffisamment éloigné de tout autre corps céleste pour subir, de manière significative, uniquement la force de gravitation exercée par l’astre attracteur.

  • Le bilan des forces extérieures se résume donc à la force de gravitation exercée par l’astre attracteur en PP : F A/P=mG(P)\overrightarrow{F\ }_{A/P}=m\vec \mathcal G(P).

La deuxième loi de Newton nous permet ainsi d’écrire, avec a\vec a le vecteur accélération du satellite :

ΣF ext=maSoit : mG(P)=ma\begin{aligned} \Sigma \overrightarrow{F\ }_\text{ext}&=m\vec a \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }}m\vec \mathcal G(P)&=m\vec a \end{aligned}

Nous trouvons donc :

a=G(P)=GMr2uAP\boxed{\vec a=\vec \mathcal G(P)= - \text{G}\cdot \dfrac {M}{r^2}\cdot \vec u_{AP}}

Orbite circulaire : accélération et vitesse dans le repère de Frenet

Nous considérons maintenant que le satellite est en orbite circulaire autour de l’astre attracteur.

  • La distance rr entre les centres de masse reste constante.

Comme nous l’avons vu dans le cours « Modélisation d’un mouvement », la trajectoire étant circulaire, nous décidons de travailler dans un repère de Frenet lié au point PP : (P ;ut,un)(P\ ;\, \vec u\text{t},\,\vec u\text{n}).
Le vecteur un\vec u_\text{n} a pour direction (AP)(AP), et il est orienté vers le centre AA.

  • Les vecteurs unitaires uAP\vec u{AP} et un\vec u\text{n} sont opposés :
    uAP=un\vec u{AP}=-\vec u\text{n}.

orbite circulaire, étude du mouvement dans le repère de Frenet

Nous connaissons aussi l’expression dans un repère de Frenet du vecteur accélération a\vec a d’un corps en mouvement circulaire, avec v\vec v le vecteur vitesse du système (et vv sa norme) :

a=dvdtut+v2run\vec a=\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}\cdot \vec u\text{t}+\dfrac {v^2}r\cdot \vec u\text{n}

Or, d’après la deuxième loi de Newton, nous avons établi pour a\vec a l’expression :

a=GMr2uAP=GMr2un [car uAP=un]=0ut+GMr2un\begin{aligned} \vec a&=- \text{G}\cdot \dfrac {M}{r^2}\cdot \vec u{AP} \ &=\text{G}\cdot \dfrac {M}{r^2}\cdot \vec u\text{n} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\vec u_{AP}=-\vec u_\text{n}$]}}} \ &=0\cdot \vec u\text{t}+ \dfrac {\text{G}M}{r^2}\cdot \vec u\text{n} \end{aligned}

Nous obtenons donc l’égalité :

dvdtut+v2run=0ut+GMr2un\purple{\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}}\cdot \vec u\text{t}+\green{\dfrac {v^2}r}\cdot \vec u\text{n}=\purple 0\cdot \vec u\text{t}+ \green{\dfrac {GM}{r^2}}\cdot \vec u\text{n}

Les composantes en ut\vec u\text{t} et un\vec u\text{n} nous permettent d’en déduire les égalités suivantes :

{dvdt=0v2r=GMr2\begin{cases} \purple{\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}=0} \ \ \green{\dfrac {v^2}r=\dfrac {\text{G}M}{r^2}}\end{cases}

  • La première égalité nous dit que la dérivée de la vitesse est nulle, donc la valeur de la vitesse est constante dans le temps.
  • Le mouvement d’un satellite en orbite circulaire est uniforme.
  • La seconde égalité nous permet d’exprimer la valeur de la vitesse :

v2r=GMr2Soit : v2=rGMr2=GMrDonc : v=GMr\begin{aligned} \dfrac {v^2}r&=\dfrac {\text{G}M}{r^2} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }}v^2&=\dfrac {r \text{G}M}{r^2}=\dfrac {\text{G}M}r \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }}v&=\sqrt{\dfrac {\text{G}M}r } \end{aligned}

  • Nous trouvons bien une vitesse constante, puisque MM et rr sont constantes par hypothèse.

Nous savons aussi que, dans le cas d’un mouvement circulaire étudié dans un repère de Frenet, le vecteur vitesse est porté par ut\vec u_\text{t} :

v=vut=GMrut\vec v=v\cdot \vec u\text{t}=\sqrt{\dfrac {\text{G}M}r}\cdot \vec u\text{t}

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À retenir

Appliquer la deuxième loi de Newton et travailler dans le repère de Frenet (P ;ut,un)(P\ ;\, \vec u\text{t},\,\vec u\text{n}) nous a ainsi permis de déterminer les caractéristiques du mouvement du centre de masse d’un système en mouvement circulaire dans un champ de gravitation créé par un astre attracteur :

  • le mouvement du satellite est uniforme ;
  • les expressions des vecteurs vitesse et accélération sont :

v=GMruta=GMr2un=GMr2uAP\begin{aligned} \vec v&=\sqrt{\dfrac {\text{G}M}r}\cdot \vec u\text{t} \ \vec a&=\dfrac {\text{G}M}{r^2}\cdot \vec u\text{n}=-\dfrac {\text{G}M}{r^2}\cdot \vec u_{AP} \end{aligned}

Avec :

  • AA et PP, les centres de masse respectifs de l’astre et du satellite ;
  • MM, la masse de l’astre, en kg\text{kg} ;
  • rr, la distance entre AA et PP, en m\text{m} ;
  • G=6,67×1011Nm2kg2\text{G}=6,67\times10^{-11}\, \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}, la constante universelle de gravitation ;
  • v\Vert \vec v\Vert en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1} et a\Vert \vec a\Vert en ms2\text{m}\cdot \text{s}^{-2}.

étude d’un mouvement circulaire dans le repère de Frenet

Orbite circulaire : période de révolution

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Définition

Période de révolution :

La période de révolution, ou période orbitale, est le temps mis pour un système en orbite autour d’un astre attracteur, pour effectuer un tour complet de l’orbite.

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Astuce

Nous parlons le plus souvent de « période de révolution » pour une planète ou un satellite naturel et de « période orbitale » pour un satellite artificiel.

Pour une orbite circulaire, la vitesse orbitale vv est égale au rapport de la distance totale parcourue le long d’une orbite sur le temps mis pour la parcourir, c’est-à-dire le rapport du périmètre du cercle sur la période de révolution TT :

v=2πrTT=2πrvv=\dfrac{2\pi r}{T}\Leftrightarrow T=\dfrac{2\pi r}v

En remplaçant vv par la valeur de la vitesse que nous avons déterminée dans le paragraphe précédent, il vient :

T=2πrGMr=2πrrGM=2πr3GM [car, pour tout x>0 : xx=x2x=x3]\begin{aligned} T&=\dfrac {2\pi r}{\sqrt{\frac{\text{G}M}r}} \ &=2\pi r\sqrt{\dfrac r{\text{G}M}} \ &=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{\text{G}M}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car, pour tout $x>0$ : $x\sqrt{x}=\sqrt{x^2}\sqrt{x}=\sqrt{x^3}$]}}} \end{aligned}

bannière à retenir

À retenir

Pour une trajectoire circulaire de rayon rr, la période de révolution TT (en s\text{s}) est donnée par la relation :

T=2πr3GMT=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{\text{G}M}}

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Exemple

Nous considérons que la station internationale est en orbite circulaire autour de la Terre.

  • Son altitude est : z=408km=4,08×105 mz =408\, \text{km}=4,08\times 10^5\ \text{m}.
  • Le rayon de la Terre est RT=6370 km=6,37×106 mR_\text{T}=6\,370\ \text{km}=6,37\times 10^6\ \text{m}.
  • La distance entre les centres de masse est donc : r=z+RT=6,78×106 mr=z+R_\text{T}=6,78\times 10^6\ \text{m}.
  • La masse de la Terre est : M=5,97×1024 kgM=5,97\times 10^{24}\ \text{kg}.
  • Nous donnons la valeur de la constante universelle de gravitation : G=6,67×1011Nm2kg2\text{G}=6,67\times10^{-11}\, \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}.

La période orbitale TT de la station internationale est :

T=2πr3GM=2π(6,78×106)36,67×1011×5,97×1024=5,56×103 s\begin{aligned} T&=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{\text{G}M}} \ &=2\pi\sqrt{\dfrac{{(6,78\times 10^6)}^3}{6,67\times10^{-11}\times 5,97\times 10^{24}}} \ &=5,56\times 10^3\ \text{s} \end{aligned}

  • La station internationale accomplit son orbite (considérée circulaire) autour de la Terre en un peu plus d’une heure et demie.

Lois de Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) est un mathématicien allemand qui passe sa vie à décrire le mouvement des planètes du système solaire. À l’aide des observations astronomiques de Tycho Brahe (1546-1601), il cherche à déterminer les trajectoires des planètes et suppose alors qu’elles sont soumises à une force qui émane de l’astre attracteur (le Soleil pour les planètes, par exemple). Cette découverte est confirmée plus tard par Isaac Newton (1642-1727) avec la loi d’interaction gravitationnelle, qu’il élargit aux satellites en orbite autour d’une planète.
Puis, fervent partisan de l’héliocentrisme, il décrit les trajectoires des planètes comme étant, non pas circulaires, mais elliptiques où le Soleil occupe l’un des deux foyers de cette ellipse.
Enfin, une dizaine d’années plus tard, il énonce une autre loi qui permet de calculer les dimensions réelles du système planétaire grâce à la période de révolution d’une planète et de sa distance avec le Soleil.

Nous allons donc, dans cette partie, développer ces trois lois de physique aujourd’hui indispensables tant en astronomie que pour les voyages spatiaux.

Première loi de Kepler : loi des orbites

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À retenir

Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des orbites elliptiques autour du Soleil, qui en occupe un des foyers.

Une ellipse est une courbe plane fermée, un peu « allongée » en comparaison du cercle.
C’est l’ensemble des points PP dont la somme des distances à deux points fixes, les foyers FF et FF^\prime, vaut :

PF+PF=2aPF + PF^\prime=2a

  • La longueur 2a2a est appelée grand axe de l’axe.
  • La longueur aa est appelée demi-grand axe de l’axe.

Première loi de Kepler, loi des orbites

En terminale, nous considérons que les trajectoires des planètes sont circulaires.
Un cercle est un cas particulier d’ellipse, dont les foyers sont confondus.

  • Le rayon rr de ce cercle est alors égal au demi-grand axe aa : r=ar=a.

trajectoires des planètes circulaires

Deuxième loi de Kepler : loi des aires

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À retenir

Le rayon-vecteur liant le Soleil à une planète balaie, en des temps égaux, des aires égales.

  • Le rayon-vecteur est le segment reliant les centres de masse du Soleil et de la planète en orbite.

Soit Δt\Delta t une durée fixée.
Et soit P1P1, P1P^{\prime}1, P2P2 et P2P^{\prime}2 respectivement les positions de PP à t1t1, t1+Δtt1+\Delta t, t2t2 et t2+Δtt2+\Delta t.

Deuxième loi de Kepler : loi des aires

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Astuce

Le point AA^\prime est appelé aphélie, c’est le point de l’orbite d’une planète le plus éloigné du Soleil.
Le point AA est appelé périhélie c’est le point de l’orbite d’une planète le plus rapproché du Soleil.

Selon la loi des aires, l’aire A1\mathcal A1 balayée par le segment [SP][SP] entre P1P1 et P1P^{\prime}1 est égale à l’aire A2\mathcal A2 balayée entre P2P2 et P2P^{\prime}2.
Nous voyons que l’arc P1P1\overgroup{P1P^{\prime}1} est plus court que l’arc P2P2\overgroup{P2P^{\prime}2}, alors qu’ils sont parcourus pendant la même durée Δt\Delta t.

  • Ainsi, la deuxième loi de Kepler permet de dire que la vitesse de la planète n’est pas constante le long de son orbite : elle est plus rapide quand la planète est proche du Soleil.

En revanche, dans le cas d’une trajectoire circulaire, cette loi implique que la vitesse est constante.

Deuxième loi de Kepler : loi des aires dans le cas d’une trajectoire circulaire

En effet, si deux secteurs circulaires ont la même aire, alors les deux arcs de cercle les délimitant sont de même longueur :

P1P1=P2P2\overgroup{P1P^{\prime}1}=\overgroup{P2P^{\prime}2}

Ils sont parcourus pendant une même durée Δt\Delta t, la vitesse est donc constante.

  • Nous avons bien établi, dans la première partie, que la vitesse est constante dans le cas d’une orbite circulaire.

Troisième loi de Kepler : loi des périodes

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À retenir

Le rapport du carré de la période de révolution sur le cube du demi-grand axe de l’orbite a la même valeur pour toutes les planètes du système solaire :

T2a3=constante\dfrac{T^2}{a^3}=\text{constante}

Avec :

  • aa, le demi-grand axe de l’orbite, en m\text{m} ;
  • TT, la période de révolution, en s\text{s}.
  • Le rapport est une constante (souvent notée kk), exprimée en mètre cube par seconde carré (m3s2)(\text{m}^{3}\cdot \text{s}^{-2}).

L’application de cette 3e loi a permis, historiquement, de déterminer la masse de la planète géante Jupiter, d’après l’observation des mouvements orbitaux de ses satellites naturels.
Cette dernière loi permet aussi de comprendre pourquoi les orbites des planètes du système solaire ne sont pas synchrones.

Plaçons-nous maintenant dans l’approximation des trajectoires circulaires, où le demi-grand axe aa est égal au rayon rr de la trajectoire.
Dans la première partie du cours, nous avons montré que, dans le cas d’une orbite circulaire, de rayon rr, d’un satellite (la planète) autour d’un astre attracteur (le Soleil) de masse MM, la période de révolution est égale à :

T=2πr3GMT=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{\text{G}M}}

Élevons cette expression au carré :

T2=(2πr3GM)2=4π2r3GMT^2=\left(2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{\text{G}M}}\right)^2=4\pi^2 \dfrac{r^3}{\text{G}M}

Ce qui équivaut à :

T2r3=4π2GM\dfrac {T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{\text{G}M}

  • Ce rapport est bien constant.
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À retenir

Nous venons d’établir la troisième loi de Kepler dans le cas d’une orbite circulaire.
Pour chaque satellite d’un même astre attracteur de masse MM, le rapport du carré de la période de révolution sur le cube du rayon de l’orbite circulaire est constant, et il vaut :

T2r3=4π2GM\dfrac {T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{\text{G}M}

Avec :

  • TT, la période, en s\text{s} ;
  • rr, le rayon de la trajectoire, en m\text{m} ;
  • MM, la masse du Soleil, en kg\text{kg} ;
  • G=6,67×1011Nm2kg2\text{G}=6,67\times10^{-11}\, \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}, la constante universelle de gravitation.

Ces lois de Kepler se généralisent à toute planète et à tout satellite en orbite autour d’un astre attracteur.

Application aux satellites géostationnaires

L’altitude à laquelle un satellite ou autre objet artificiel est placé en orbite autour de la Terre dépend de l’usage que nous souhaitons en faire. Nous distinguons :

  • l’orbite basse (altitudes inférieures à 2000 km2\, 000\ \text{km}) : satellites météorologiques et d’imagerie terrestre, systèmes globaux de télécommunication (Iridium), télescopes spatiaux, stations spatiales ;
  • l’orbite intermédiaire (altitudes entre 2000 km2\, 000\ \text{km} et l’orbite géostationnaire) : satellites de navigation (GPS, Galileo) et de communication (Telstar) ;
  • l’orbite géostationnaire : satellites de télécommunications (relais permanents pour les liaisons téléphoniques ou les émissions de télévision), satellites de météorologie (Meteosat).
  • Un satellite en orbite géostationnaire reste à la verticale d’un même point du globe terrestre, situé à l’équateur terrestre.

Étudions le mouvement de ce satellite dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

  • Chaque axe du repère pointe constamment vers la même étoile.
  • La masse de la Terre est : M=5,97×1024 kgM=5,97\times 10^{24}\ \text{kg}.
  • La constante universelle de gravitation vaut : G=6,67×1011Nm2kg2\text{G}=6,67\times10^{-11}\, \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}.
  • Nous considérons ici que la Terre tourne sur elle-même en 86164 s86\,164\ \text{s}, soit 23 h 56 min 4 s23\ \text{h}\ 56\ \text{min}\ 4\ \text{s}. Cette durée, appelée jour sidéral, est un peu plus courte que 24 h24\ \text{h}, car le jour solaire est plus long en raison de la rotation de la Terre autour du Soleil.
  • Pour qu’un satellite artificiel soit en orbite géostationnaire, sa période orbitale doit être égale au jour sidéral : T=86164 sT=86\,164\ \text{s}.

La troisième loi de Kepler, appliquée avec l’approximation des trajectoires circulaires, permet de déterminer l’altitude de l’orbite géostationnaire.

Nous avons, avec la troisième loi de Kepler, avec rr le rayon de l’orbite géostationnaire :

T2r3=4π2GMSoit : r3=T2GM4π2D’ouˋ : r=T2GM4π23[car, pour tout k reˊel, l’eˊquation x3=k admet une unique solution noteˊk3]=861642×6,67×1011×5,97×10244π23=4,21×107 m=4,21×104 km\begin{aligned} \dfrac{T^2}{r^3}&=\dfrac{4\pi^2}{\text{G}M} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} r^3&=\dfrac{T^2\text{G}M}{4\pi^2} \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }}r&=\sqrt [3] { \dfrac{T^2\text{G}M}{4\pi^2}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car, pour tout $k$ réel, l’équation $x^3=k$ admet une unique solution notée $\sqrt[3] {k}$]}}} \ &=\sqrt[3] {\dfrac{86\,164^2\times 6,67\times10^{-11}\times 5,97\times 10^{24}}{4\pi^2}} \ &=4,21\times 10^7\ \text{m}=4,21\times 10^4\ \text{km} \end{aligned}

Pour obtenir l’altitude zz de l’orbite géostationnaire, il faut soustraire à rr le rayon équatorial RR de la Terre, égal à 6378 km6\,378\ \text{km} :

z=rR=4,21×1046378=3,57×104 km\begin{aligned} z&=r-R \ &=4,21\times 10^4-6\,378 \ &=3,57\times 10^4\ \text{km} \end{aligned}

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À retenir

Un satellite en orbite géostationnaire reste à la verticale d’un même point du globe terrestre, situé à l’équateur terrestre.
L’orbite géostationnaire se situe à une altitude d’environ 36 000 km36\ 000\ \text{km} au-dessus de la surface terrestre.

Conclusion :

Nous avons vu les caractéristiques du mouvement d’un système mécanique en orbite autour d’un corps massif sous l’effet d’un champ de gravitation. Celui-ci reste en orbite circulaire uniforme une fois qu’il y a été placé à la vitesse adéquate.
Le mouvement d’un système en orbite circulaire uniforme est caractérisé par le rayon rr de son orbite et sa période de révolution TT. Ces deux grandeurs sont liées entre elles et à la masse MM de l’objet au centre de l’orbite par la relation suivante : T2r3=4π2GM\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM} La plupart des satellites et stations placés en orbite autour de la Terre sont en orbite quasi circulaire uniforme. En particulier, un satellite géostationnaire, à une altitude de 36 000 km36\ 000\ \text{km}, se trouve toujours à la verticale d’un même point de l’équateur terrestre.
Nous pouvons aussi approcher les orbites des planètes du système solaire par des orbites circulaires. La 3e loi de Kepler se traduit alors par l’équation ci-dessus, avec MM la masse du Soleil.