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Mouvement dans un champ de gravitation
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Introduction :
Depuis le début des années 1960, plus de quarante sondes, orbiteurs et atterrisseurs ont été envoyés vers la planète Mars. Conçus et construits par les agences spatiales américaine, européenne, russe, japonaise, ces véhicules équipés de capteurs servaient à étudier le climat, le sol, la géologie de la planète rouge, et à y chercher des traces d’une vie passée ou au moins d’eau liquide. À l’été 2020, un rover chinois (Tianwen-1), un rover américain (Mars 2020) et une sonde émiratie (Mars Hope) se sont mis en route, profitant de la « fenêtre de lancement » (intervalle de temps pendant lequel les conditions pour le lancement d’une fusée sont optimales), qui n’est ouverte que tous les 26 mois. Si une mission est lancée pendant cet intervalle de 3 semaines environ, la durée de son trajet de la Terre à Mars est minimale. Mais comment varie la durée de ce trajet ? Et comment la périodicité des fenêtres de lancement est-elle déterminée ?
Pour déterminer cela, il faut étudier les mouvements des planètes sur leurs orbites respectives.
Ce chapitre présente la forme et les caractéristiques de la trajectoire d’un système mécanique placé dans un champ de gravitation, et qui s’y maintient en orbite. Les mouvements orbitaux des planètes du système solaire et des satellites géostationnaires sont détaillés, ainsi que les lois de Kepler qui les décrivent.
Étude du mouvement dans un champ de gravitation
Force et champ de gravitation (rappels)
Nous considérons un point matériel , de masse (en ), distant de (en ) d’un corps sphérique de masse (en ), que nous modélisons par son centre de masse .
Deuxième loi de Newton et accélération
Un satellite est un système (planète ou objet) en mouvement autour d’un astre attracteur soumis à son champ de gravitation.
Une orbite est la trajectoire fermée du système soumis à l’effet du champ de gravitation.
Nous considérons un satellite de masse , réduit à son centre de masse , en orbite autour d’un astre attracteur de masse et de centre de masse . Les deux corps sont distants de .
Nous nous plaçons dans un référentiel de centre , orienté vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes.
Nous considérons aussi que le satellite est suffisamment éloigné de tout autre corps céleste pour subir, de manière significative, uniquement la force de gravitation exercée par l’astre attracteur.
La deuxième loi de Newton nous permet ainsi d’écrire, avec le vecteur accélération du satellite :
Nous trouvons donc :
Orbite circulaire : accélération et vitesse dans le repère de Frenet
Nous considérons maintenant que le satellite est en orbite circulaire autour de l’astre attracteur.
Comme nous l’avons vu dans le cours « Modélisation d’un mouvement », la trajectoire étant circulaire, nous décidons de travailler dans un repère de Frenet lié au point : .
Le vecteur a pour direction , et il est orienté vers le centre .
Nous connaissons aussi l’expression dans un repère de Frenet du vecteur accélération d’un corps en mouvement circulaire, avec le vecteur vitesse du système (et sa norme) :
Or, d’après la deuxième loi de Newton, nous avons établi pour l’expression :
Nous obtenons donc l’égalité :
Les composantes en et nous permettent d’en déduire les égalités suivantes :
Nous savons aussi que, dans le cas d’un mouvement circulaire étudié dans un repère de Frenet, le vecteur vitesse est porté par :
Appliquer la deuxième loi de Newton et travailler dans le repère de Frenet nous a ainsi permis de déterminer les caractéristiques du mouvement du centre de masse d’un système en mouvement circulaire dans un champ de gravitation créé par un astre attracteur :
Avec :
Orbite circulaire : période de révolution
Période de révolution :
La période de révolution, ou période orbitale, est le temps mis pour un système en orbite autour d’un astre attracteur, pour effectuer un tour complet de l’orbite.
Nous parlons le plus souvent de « période de révolution » pour une planète ou un satellite naturel et de « période orbitale » pour un satellite artificiel.
Pour une orbite circulaire, la vitesse orbitale est égale au rapport de la distance totale parcourue le long d’une orbite sur le temps mis pour la parcourir, c’est-à-dire le rapport du périmètre du cercle sur la période de révolution :
En remplaçant par la valeur de la vitesse que nous avons déterminée dans le paragraphe précédent, il vient :
Pour une trajectoire circulaire de rayon , la période de révolution (en ) est donnée par la relation :
Nous considérons que la station internationale est en orbite circulaire autour de la Terre.
La période orbitale de la station internationale est :
Lois de Kepler
Johannes Kepler (1571-1630) est un mathématicien allemand qui passe sa vie à décrire le mouvement des planètes du système solaire. À l’aide des observations astronomiques de Tycho Brahe (1546-1601), il cherche à déterminer les trajectoires des planètes et suppose alors qu’elles sont soumises à une force qui émane de l’astre attracteur (le Soleil pour les planètes, par exemple). Cette découverte est confirmée plus tard par Isaac Newton (1642-1727) avec la loi d’interaction gravitationnelle, qu’il élargit aux satellites en orbite autour d’une planète.
Puis, fervent partisan de l’héliocentrisme, il décrit les trajectoires des planètes comme étant, non pas circulaires, mais elliptiques où le Soleil occupe l’un des deux foyers de cette ellipse.
Enfin, une dizaine d’années plus tard, il énonce une autre loi qui permet de calculer les dimensions réelles du système planétaire grâce à la période de révolution d’une planète et de sa distance avec le Soleil.
Nous allons donc, dans cette partie, développer ces trois lois de physique aujourd’hui indispensables tant en astronomie que pour les voyages spatiaux.
Première loi de Kepler : loi des orbites
Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des orbites elliptiques autour du Soleil, qui en occupe un des foyers.
Une ellipse est une courbe plane fermée, un peu « allongée » en comparaison du cercle.
C’est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes, les foyers et , vaut :
En terminale, nous considérons que les trajectoires des planètes sont circulaires.
Un cercle est un cas particulier d’ellipse, dont les foyers sont confondus.
Deuxième loi de Kepler : loi des aires
Le rayon-vecteur liant le Soleil à une planète balaie, en des temps égaux, des aires égales.
Soit une durée fixée.
Et soit , , et respectivement les positions de à , , et .
Le point est appelé aphélie, c’est le point de l’orbite d’une planète le plus éloigné du Soleil.
Le point est appelé périhélie c’est le point de l’orbite d’une planète le plus rapproché du Soleil.
Selon la loi des aires, l’aire balayée par le segment entre et est égale à l’aire balayée entre et .
Nous voyons que l’arc est plus court que l’arc , alors qu’ils sont parcourus pendant la même durée .
En revanche, dans le cas d’une trajectoire circulaire, cette loi implique que la vitesse est constante.
En effet, si deux secteurs circulaires ont la même aire, alors les deux arcs de cercle les délimitant sont de même longueur :
Ils sont parcourus pendant une même durée , la vitesse est donc constante.
Troisième loi de Kepler : loi des périodes
Le rapport du carré de la période de révolution sur le cube du demi-grand axe de l’orbite a la même valeur pour toutes les planètes du système solaire :
Avec :
L’application de cette 3e loi a permis, historiquement, de déterminer la masse de la planète géante Jupiter, d’après l’observation des mouvements orbitaux de ses satellites naturels.
Cette dernière loi permet aussi de comprendre pourquoi les orbites des planètes du système solaire ne sont pas synchrones.
Plaçons-nous maintenant dans l’approximation des trajectoires circulaires, où le demi-grand axe est égal au rayon de la trajectoire.
Dans la première partie du cours, nous avons montré que, dans le cas d’une orbite circulaire, de rayon , d’un satellite (la planète) autour d’un astre attracteur (le Soleil) de masse , la période de révolution est égale à :
Élevons cette expression au carré :
Ce qui équivaut à :
Nous venons d’établir la troisième loi de Kepler dans le cas d’une orbite circulaire.
Pour chaque satellite d’un même astre attracteur de masse , le rapport du carré de la période de révolution sur le cube du rayon de l’orbite circulaire est constant, et il vaut :
Avec :
Ces lois de Kepler se généralisent à toute planète et à tout satellite en orbite autour d’un astre attracteur.
Application aux satellites géostationnaires
L’altitude à laquelle un satellite ou autre objet artificiel est placé en orbite autour de la Terre dépend de l’usage que nous souhaitons en faire. Nous distinguons :
Étudions le mouvement de ce satellite dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.
La troisième loi de Kepler, appliquée avec l’approximation des trajectoires circulaires, permet de déterminer l’altitude de l’orbite géostationnaire.
Nous avons, avec la troisième loi de Kepler, avec le rayon de l’orbite géostationnaire :
Pour obtenir l’altitude de l’orbite géostationnaire, il faut soustraire à le rayon équatorial de la Terre, égal à :
Un satellite en orbite géostationnaire reste à la verticale d’un même point du globe terrestre, situé à l’équateur terrestre.
L’orbite géostationnaire se situe à une altitude d’environ au-dessus de la surface terrestre.
Conclusion :
Nous avons vu les caractéristiques du mouvement d’un système mécanique en orbite autour d’un corps massif sous l’effet d’un champ de gravitation. Celui-ci reste en orbite circulaire uniforme une fois qu’il y a été placé à la vitesse adéquate.
Le mouvement d’un système en orbite circulaire uniforme est caractérisé par le rayon de son orbite et sa période de révolution . Ces deux grandeurs sont liées entre elles et à la masse de l’objet au centre de l’orbite par la relation suivante :
La plupart des satellites et stations placés en orbite autour de la Terre sont en orbite quasi circulaire uniforme. En particulier, un satellite géostationnaire, à une altitude de , se trouve toujours à la verticale d’un même point de l’équateur terrestre.
Nous pouvons aussi approcher les orbites des planètes du système solaire par des orbites circulaires. La 3e loi de Kepler se traduit alors par l’équation ci-dessus, avec la masse du Soleil.