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Mouvement dans un champ de gravitation

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Caractéristiques du mouvement circulaire dans un champ de gravitation

  • Un système mécanique soumis uniquement à un champ de gravitation et placé en orbite circulaire autour de la source de ce champ, reste en orbite circulaire uniforme.
  • Un mouvement circulaire uniforme est caractérisé par le rayon du cercle et par le temps mis par le système pour effectuer un tour complet.
  • La période orbitale est le temps mis pour un système en orbite autour d’un objet massif, pour effectuer un tour complet de l’orbite.

T=2πR3GMT=2\pi\sqrt{\dfrac{R^3}{\text{G}M}}

  • La vitesse orbitale est la norme de la vitesse du système, elle est constante si l’orbite est circulaire.

v=2πRTv=\dfrac{2\pi R}{T}

  • Un système en orbite circulaire uniforme soumis à un champ de gravitation vérifie la relation :

R3T2=GM4π2\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{\text{G}M}{4\pi^2}

  • Avec :
  • RR le rayon de l’orbite en m\text{m} ;
  • TT la période orbitale en s\text{s} ;
  • MM la masse de l’objet autour duquel le système est en orbite en kg\text{kg} ;
  • G\text{G} la constante de gravitation, dont la valeur est G=6,67×1011 Nm2kg2\text{G}=6,67\times10^{-11}\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2} ;
  • vv la vitesse orbitale en ms1\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.

Mouvements orbitaux

  • Les orbites des planètes du système solaire sont quasiment circulaires. Pour simplifier les calculs nous considérerons que les planètes sont en mouvement circulaire uniforme.

Les lois de Kepler

  • Les lois établies par Johannes Kepler décrivent les trajectoires des planètes du système solaire, dans le modèle héliocentrique.

Lois de Kepler
1re loi : loi des orbites Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des orbites elliptiques autour du Soleil, qui en occupe un des foyers.
2e loi : loi des aires Le rayon-vecteur liant le Soleil à une planète balaie, en des temps égaux, des aires égales.

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3e loi : loi des périodes Le rapport du cube du demi grand axe de l’orbite aa, sur le carré de la période orbitale TT, a la même valeur pour toutes les planètes du système solaire : a3T2=constante\dfrac{a^3}{T^2}=\text{constante}
  • Lois de Kepler appliquées à des orbites circulaires :
  • les planètes du système solaire décrivent des orbites circulaires uniformes autour du Soleil ;
  • le rapport du cube du rayon orbital RR d’une planète sur le carré de la période orbitale TT, a la même valeur pour toutes les planètes du système solaire :

R3T2=GMS4π2=constante\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{\text{G}M_S}{4\pi^2}=\text{constante}

Les satellites géostationnaires

  • Un satellite en orbite géostationnaire reste à la verticale d’un même point du globe terrestre, situé à l’équateur terrestre.
  • La période orbitale d’un satellite géostationnaire est de 24 heures.
  • L’orbite géostationnaire se situe à une altitude de 36 000 km36\ 000\ \text{km} environ de la surface terrestre.