Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.

Mouvement dans un champ de gravitation

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Les premières épreuves du baccalauréat 2023 sont pour bientôt ! Consulte notre dossier sur le contrôle continu et le calcul des notes de ton bac pour maximiser ta préparation pour les révisions à ton examen 💪

Étude du mouvement dans un champ de gravitation

Deuxième loi de Newton et accélération

  • Nous considérons un satellite de masse mm, réduit à son centre de masse PP, en orbite autour d’un astre attracteur de masse MM et de centre de masse AA. Les deux corps sont distants de r=APr=AP. Nous supposons ce référentiel galiléen.
  • Le bilan des forces extérieures se résume donc à la force de gravitation G\mathcal G exercée par l’astre attracteur en PP : F A/P=mG(P)\overrightarrow{F\ }_{A/P}=m\vec \mathcal G(P).
  • La deuxième loi de Newton nous permet ainsi d’écrire, avec a\vec a le vecteur accélération du satellite :

ΣF ext=maSoit : mG(P)=ma\begin{aligned} \Sigma \overrightarrow{F\ }_\text{ext}&=m\vec a \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }}m\vec \mathcal G(P)&=m\vec a \end{aligned}

  • L’accélération du satellite vaut :

a=G(P)=GMr2uAP\boxed{\vec a=\vec \mathcal G(P)= - \text{G}\cdot \dfrac {M}{r^2}\cdot \vec u_{AP}} Avec, G=6,67×1011Nm2kg2\text{G}=6,67\times10^{-11}\, \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}, la constante universelle de gravitation.

Orbite circulaire : accélération, vitesse et période de révolution

  • Nous considérons un satellite en orbite circulaire autour de l’astre attracteur de masse MM. La distance rr entre les centres de masse reste constante.
  • Nous travaillons dans un repère de Frenet lié au point PP : (P ;ut,un)(P\ ;\, \vec u\text{t},\,\vec u\text{n}), dans lequel les vecteurs unitaires uAPu{AP} et un\vec u\text{n} sont opposés.
  • En appliquant la deuxième loi de Newton nous pouvons déterminer les caractéristiques du mouvement du centre de masse d’un système en mouvement circulaire dans un champ de gravitation créé par un astre attracteur, soit :
  • le mouvement du satellite est uniforme ;
  • les expressions des vecteurs vitesse et accélération sont :

v=GMruta=GMr2un=GMr2uAP\boxed{\begin{aligned} \vec v&=\sqrt{\dfrac {\text{G}M}r}\cdot \vec u\text{t} \ \vec a&=\dfrac {\text{G}M}{r^2}\cdot \vec u\text{n}=-\dfrac {\text{G}M}{r^2}\cdot \vec u_{AP} \end{aligned}}

Avec v\Vert \vec v\Vert en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1} et a\Vert \vec a\Vert en ms2\text{m}\cdot \text{s}^{-2}.

Alt texte

  • La période de révolution est le temps mis pour un système en orbite autour d’un astre attracteur, pour effectuer un tour complet de l’orbite.
  • Pour une trajectoire circulaire de rayon rr, la période de révolution TT (en s\text{s}) est donnée par la relation :

T=2πr3GM\boxed{T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{\text{G}M}}}

  • Pour chaque satellite d’un même astre attracteur de masse MM, le rapport du carré de la période de révolution sur le cube du rayon de l’orbite circulaire est constant, et il vaut :

T2r3=4π2GM\boxed{\dfrac {T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{\text{G}M}}

Lois de Kepler

1re loi : loi des orbites 2e loi : loi des aires 3e loi : loi des périodes
Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des orbites elliptiques autour du Soleil, qui en occupe un des foyers. Le rayon-vecteur (segment reliant les centres de masse du Soleil et de la planète en orbite) liant le Soleil à une planète balaie, en des temps égaux, des aires égales. Le rapport du carré de la période de révolution, notée TT, sur le cube du demi-grand axe de l’orbite a la même valeur pour toutes les planètes du système solaire.

Alt texte


longueur 2a2a : grand axe
longueur aa : demi-grand axe

Alt texte


la vitesse de la planète est plus rapide quand la planète est proche du Soleil
T2a3=constante\boxed{\dfrac{T^2}{a^3}=\text{constante}}

Le rapport est exprimé en m3s2\text{m}^{3}\cdot \text{s}^{-2}.

  • Ces lois de Kepler se généralisent à toute planète et à tout satellite en orbite autour d’un astre attracteur.

Les satellites géostationnaires

  • Un satellite en orbite géostationnaire reste à la verticale d’un même point du globe terrestre, situé à l’équateur terrestre.
  • La troisième loi de Kepler, appliquée avec l’approximation des trajectoires circulaires, permet de déterminer l’altitude de l’orbite géostationnaire.
  • L’orbite géostationnaire se situe à une altitude d’environ 36 000 km36\ 000\ \text{km} au-dessus de la surface terrestre.