Fiche de révision : Mouvement dans un champ de gravitation

Étude du mouvement dans un champ de gravitation

Deuxième loi de Newton et accélération

• Nous considérons un satellite de masse $m$, réduit à son centre de masse $P$, en orbite autour d’un astre attracteur de masse $M$ et de centre de masse $A$. Les deux corps sont distants de $r=AP$. Nous supposons ce référentiel galiléen.
• Le bilan des forces extérieures se résume donc à la force de gravitation $\mathcal G$ exercée par l’astre attracteur en $P$ : $\overrightarrow{F\ }_{A/P}=m\vec \mathcal G(P)$.
• La deuxième loi de Newton nous permet ainsi d’écrire, avec $\vec a$ le vecteur accélération du satellite :

$$\begin{aligned} \Sigma \overrightarrow{F\ }_\text{ext}&=m\vec a \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }}m\vec \mathcal G(P)&=m\vec a \end{aligned}$$

• L’accélération du satellite vaut :

$$\boxed{\vec a=\vec \mathcal G(P)= - \text{G}\cdot \dfrac {M}{r^2}\cdot \vec u_{AP}}$$ Avec, $\text{G}=6,67\times10^{-11}\, \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}$, la constante universelle de gravitation.

Orbite circulaire : accélération, vitesse et période de révolution

• Nous considérons un satellite en orbite circulaire autour de l’astre attracteur de masse $M$. La distance $r$ entre les centres de masse reste constante.
• Nous travaillons dans un repère de Frenet lié au point $P$ : $(P\ ;\, \vec u_\text{t},\,\vec u_\text{n})$, dans lequel les vecteurs unitaires $u_{AP}$ et $\vec u_\text{n}$ sont opposés.
• En appliquant la deuxième loi de Newton nous pouvons déterminer les caractéristiques du mouvement du centre de masse d’un système en mouvement circulaire dans un champ de gravitation créé par un astre attracteur, soit :
• le mouvement du satellite est uniforme ;
• les expressions des vecteurs vitesse et accélération sont :

$$\boxed{\begin{aligned} \vec v&=\sqrt{\dfrac {\text{G}M}r}\cdot \vec u_\text{t} \\ \vec a&=\dfrac {\text{G}M}{r^2}\cdot \vec u_\text{n}=-\dfrac {\text{G}M}{r^2}\cdot \vec u_{AP} \end{aligned}}$$

Avec $\Vert \vec v\Vert$ en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ et $\Vert \vec a\Vert$ en $\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$.

• La période de révolution est le temps mis pour un système en orbite autour d’un astre attracteur, pour effectuer un tour complet de l’orbite.
• Pour une trajectoire circulaire de rayon $r$, la période de révolution $T$ (en $\text{s}$) est donnée par la relation :

$$\boxed{T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{\text{G}M}}}$$

• Pour chaque satellite d’un même astre attracteur de masse $M$, le rapport du carré de la période de révolution sur le cube du rayon de l’orbite circulaire est constant, et il vaut :

$$\boxed{\dfrac {T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{\text{G}M}}$$

Lois de Kepler

• Ces lois de Kepler se généralisent à toute planète et à tout satellite en orbite autour d’un astre attracteur.

Les satellites géostationnaires

• Un satellite en orbite géostationnaire reste à la verticale d’un même point du globe terrestre, situé à l’équateur terrestre.
• La troisième loi de Kepler, appliquée avec l’approximation des trajectoires circulaires, permet de déterminer l’altitude de l’orbite géostationnaire.
• L’orbite géostationnaire se situe à une altitude d’environ $36\ 000\ \text{km}$ au-dessus de la surface terrestre.