Mouvement dans un champ uniforme

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Qu’est-ce qu’un champ de pesanteur uniforme ?

• Le champ de pesanteur, noté $\vec g$, est égal au champ de gravitation à l’endroit où l’expérience est réalisée. Il est défini par :
• sa direction : vertical ;
• son sens : orienté vers le centre de masse de la planète à la surface de laquelle on se trouve (c’est-à-dire « vers le bas ») ;
• sa norme : dépend du lieu.
• Dans un champ de pesanteur uniforme, la direction, le sens et la norme de $\vec g$ sont identiques, c’est-à-dire que $\vec g=\overrightarrow{\text{cste}}$. Sur Terre, si la région de l’espace considérée est assez petite par rapport à ses dimensions, alors on peut considérer que le champ de pesanteur y est uniforme.

Étude du mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

• Nous choisissons d’étudier le mouvement d’un système, dans un champ de pesanteur uniforme, dans le repère orthonormé $\mathcal R=(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)$, où $O$ est la position de $S$ à $t=0$ :

• Le système n’est donc soumis qu’à son poids $\vec P$, constant, et : $\vec P=m \vec g$.
• Selon la 2^e loi de Newton, nous avons, avec $\vec a$ l’accélération de $S$ : $\vec a=\vec g$
• L’accélération de $S$ est donc égale au champ de pesanteur, elle est constante.

• Dans un champ de pesanteur uniforme, et dans les conditions indiquées plus haut, le mouvement du centre de masse du système est inclus dans le plan.
• Le mouvement est donc plan.
• L’équation de la trajectoire est : $$\boxed{y=-\dfrac {g}{2v_0^2 \cos^2{(\alpha)}}x^2+\tan{(\alpha)}x}$$

Mouvement dans un champ électrique uniforme

Le champ électrique dans un condensateur

• Un champ électrique est un champ vectoriel $\vec E$ qui traduit l’action d’une force électrique sur une charge électrique : la force de Coulomb.
• Le champ électrique $\vec E$ créé entre les plaques du condensateur dépend de la tension électrique appliquée $U$ et de la distance $d$ entre les plaques : $$\vec{E}=\dfrac{U}{d}\cdot\vec u_x$$
• Le champ électrique $\vec E$ est orienté du $+$ vers le $-$.

Mouvement dans un champ électrique uniforme

• Nous allons étudier le mouvement d’un électron de charge $q=-e$ et de masse $m_e$ dans un champ électrique uniforme.
• Le mouvement sera aussi plan donc nous travaillerons avec un repère orthonormé direct $\mathcal R=(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k)$, avec $O$ la position de la particule à $t=0$.

• L’électron n’est soumis qu’au champ électrique uniforme $\vec E$.
• Avec la 2^e loi de Newton, nous pouvons écrire : $$\begin{aligned} \sum \vec F_{\text{ext}}=m_e \vec a &\Leftrightarrow e \vec E = m_e \vec a \\ &\Leftrightarrow \vec a=-\dfrac{e}{m_e}\cdot \vec E \end{aligned}$$
• L’accélération est donc constante, colinéaire à $\vec E$ et de sens opposé.

• L’équation de la trajectoire est : $$\boxed{y=\dfrac {e E}{2 m_e v_0^2}\cdot x^2}$$

Aspects énergétiques

L’énergie mécanique

• Dans un référentiel supposé galiléen, l’énergie mécanique $E_\text{m}$ d’un système dans un champ uniforme soumis uniquement à un champ extérieur est constante. $$E_\text{m}=\text{constante}$$
• Son énergie potentielle $E_\text{p}$ et son énergie cinétique $E_\text{c}$ varient donc de manières opposées, et peuvent être exprimées comme des fonctions du temps, en utilisant les équations horaires.

L’énergie mécanique pour déterminer une vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme

• Lorsqu’un système est en mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, sans force de frottement, il y a conservation de l’énergie mécanique. Si l’origine coïncide avec le point de départ du mouvement de notre système alors $E_{\text{pp}}=0$.
• L’énergie mécanique du système peut s’écrire : $$E_{\text{m}}=\dfrac 12 mv^2+mgy$$
• La conservation de l’énergie mécanique nous donne alors : $$v= \sqrt{v_0^2-2gy}$$

Principe de l’accélérateur linéaire de particules

• Le champ électrique uniforme permet à une particule de charge $q$ d’accélérer dans un accélérateur linéaire de particules.
• Le travail de la force électrique $\vec F_{\text{e}}$ entre les positions $A$ et $B$ s’écrit : $$W_{AB}(\vec F_{\text{e}})= qU_{AB}$$
• Dans un accélérateur de particules, nous utilisons une tension électrique $U_{AB}$ tel que $W_{AB}(\vec F_{\text{e}})>0$. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre les points $A$ et $B$ : $$\begin{aligned} \Delta E_{\text{c, AB}}&= W_{AB}(\vec F_{\text{e}})\\ &>0 \end{aligned}$$
• La vitesse de la particule au point $B$ est plus grande qu’au point $A$, cela implique que la particule $C$ voit sa vitesse augmenter.