Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.

Mouvement dans un champ uniforme

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Les premières épreuves du baccalauréat 2022 sont pour bientôt ! Consulte notre dossier sur le contrôle continu et le calcul des notes de ton bac pour maximiser ta préparation pour les révisions à ton examen 💪

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Qu’est-ce qu’un champ de pesanteur uniforme ?

  • Le champ de pesanteur, noté g\vec g, est égal au champ de gravitation à l’endroit où l’expérience est réalisée. Il est défini par :
  • sa direction : vertical ;
  • son sens : orienté vers le centre de masse de la planète à la surface de laquelle on se trouve (c’est-à-dire « vers le bas ») ;
  • sa norme : dépend du lieu.
  • Dans un champ de pesanteur uniforme, la direction, le sens et la norme de g\vec g sont identiques, c’est-à-dire que g=cste\vec g=\overrightarrow{\text{cste}}. Sur Terre, si la région de l’espace considérée est assez petite par rapport à ses dimensions, alors on peut considérer que le champ de pesanteur y est uniforme.

Étude du mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

  • Nous choisissons d’étudier le mouvement d’un système, dans un champ de pesanteur uniforme, dans le repère orthonormé R=(O ;ı,ȷ,k)\mathcal R=(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k), où OO est la position de SS à t=0t=0 :

mouvement dans un champ de pesanteur uniforme Position du système à l’instant initial

  • Le système n’est donc soumis qu’à son poids P\vec P, constant, et : P=mg\vec P=m \vec g.
  • Selon la 2e loi de Newton, nous avons, avec a\vec a l’accélération de SS : a=g\vec a=\vec g
  • L’accélération de SS est donc égale au champ de pesanteur, elle est constante.

Coordonnées en fonction du temps du vecteur accélération a(t)(0g0)\vec a(t) \begin{pmatrix} 0 \ -g \ 0 \end{pmatrix}
Coordonnées en fonction du temps du vecteur position v(t)(v0cos(α)gt+v0sin(α)0)\vec v(t) \begin{pmatrix} v0 \cos{(\alpha)} \ -g t+ v0 \sin{(\alpha)} \ 0 \end{pmatrix}
Coordonnées en fonction du temps du vecteur vitesse OS (t)(v0cos(α)t12gt2+v0sin(α)t0)\overrightarrow{OS\ }(t) \begin{pmatrix} v0 \cos{(\alpha)} t \ -\dfrac 12 g t^2+ v0 \sin{(\alpha)} t \ 0\end{pmatrix}
  • Dans un champ de pesanteur uniforme, et dans les conditions indiquées plus haut, le mouvement du centre de masse du système est inclus dans le plan.
  • Le mouvement est donc plan.
  • L’équation de la trajectoire est : y=g2v02cos2(α)x2+tan(α)x\boxed{y=-\dfrac {g}{2v_0^2 \cos^2{(\alpha)}}x^2+\tan{(\alpha)}x}

Mouvement dans un champ électrique uniforme

Le champ électrique dans un condensateur

  • Un champ électrique est un champ vectoriel E\vec E qui traduit l’action d’une force électrique sur une charge électrique : la force de Coulomb.
  • Le champ électrique E\vec E créé entre les plaques du condensateur dépend de la tension électrique appliquée UU et de la distance dd entre les plaques : E=Udux\vec{E}=\dfrac{U}{d}\cdot\vec u_x
  • Le champ électrique E\vec E est orienté du ++ vers le -.

Mouvement dans un condensateur

Mouvement dans un champ électrique uniforme

  • Nous allons étudier le mouvement d’un électron de charge q=eq=-e et de masse mem_e dans un champ électrique uniforme.
  • Le mouvement sera aussi plan donc nous travaillerons avec un repère orthonormé direct R=(O ;ı,ȷ,k)\mathcal R=(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k), avec OO la position de la particule à t=0t=0.

Mouvement dans un champ électrique uniforme

  • L’électron n’est soumis qu’au champ électrique uniforme E\vec E.
  • Avec la 2e loi de Newton, nous pouvons écrire : Fext=meaeE=meaa=emeE\begin{aligned} \sum \vec F{\text{ext}}=me \vec a &\Leftrightarrow e \vec E = me \vec a \ &\Leftrightarrow \vec a=-\dfrac{e}{me}\cdot \vec E \end{aligned}
  • L’accélération est donc constante, colinéaire à E\vec E et de sens opposé.

Coordonnées en fonction du temps du vecteur accélération a(t)(0eEme0)\vec a(t) \begin{pmatrix} 0 \ \dfrac {e E}{me} \ 0 \end{pmatrix}
Coordonnées en fonction du temps du vecteur vitesse v(t)(v0eEmet0)\vec v(t) \begin{pmatrix} v0 \ \dfrac {e E} {me} \cdot t \ 0 \end{pmatrix}
Coordonnées en fonction du temps du vecteur position OS (t)(v0teE2met20)\overrightarrow{OS\ }(t) \begin{pmatrix} v0 t \ \dfrac {e E} {2m_e} \cdot t^2 \ 0 \end{pmatrix}
  • L’équation de la trajectoire est : y=eE2mev02x2\boxed{y=\dfrac {e E}{2 me v0^2}\cdot x^2}

Aspects énergétiques

L’énergie mécanique

  • Dans un référentiel supposé galiléen, l’énergie mécanique EmE\text{m} d’un système dans un champ uniforme soumis uniquement à un champ extérieur est constante. Em=constanteE\text{m}=\text{constante}
  • Son énergie potentielle EpE\text{p} et son énergie cinétique EcE\text{c} varient donc de manières opposées, et peuvent être exprimées comme des fonctions du temps, en utilisant les équations horaires.

L’énergie mécanique pour déterminer une vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme

  • Lorsqu’un système est en mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, sans force de frottement, il y a conservation de l’énergie mécanique. Si l’origine coïncide avec le point de départ du mouvement de notre système alors Epp=0E_{\text{pp}}=0.
  • L’énergie mécanique du système peut s’écrire : Em=12mv2+mgyE_{\text{m}}=\dfrac 12 mv^2+mgy
  • La conservation de l’énergie mécanique nous donne alors : v=v022gyv= \sqrt{v_0^2-2gy}

Principe de l’accélérateur linéaire de particules

  • Le champ électrique uniforme permet à une particule de charge qq d’accélérer dans un accélérateur linéaire de particules.
  • Le travail de la force électrique Fe\vec F{\text{e}} entre les positions AA et BB s’écrit : WAB(Fe)=qUABW{AB}(\vec F{\text{e}})= qU{AB}
  • Dans un accélérateur de particules, nous utilisons une tension électrique UABU{AB} tel que WAB(Fe)>0W{AB}(\vec F{\text{e}})>0. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre les points AA et BB : Δc, AB=WAB(Fe)>0\begin{aligned} \Delta{\text{c, AB}}&= W{AB}(\vec F{\text{e}})\ &>0 \end{aligned}
  • La vitesse de la particule au point BB est plus grande qu’au point AA, cela implique que la particule CC voit sa vitesse augmenter.