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Mouvement dans un champ uniforme

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Celles présentes sont juste des « brouillons »
afin de permettre une meilleure compréhension du cours,
jusqu’à ce que les définitives soient prêtes.

Nos graphistes font tout leur possible pour les réaliser au plus vite.

Champs uniformes

  • Un champ uniforme garde même norme, même direction et même sens.

Le champ de pesanteur

  • Le champ de pesanteur, noté g\vec g, est égal au champ de gravitation à l’endroit où l’expérience est réalisée. Il est vertical et orienté vers le centre de masse de la planète ou autre objet à la surface duquel on se trouve.
  • Le champ de pesanteur terrestre moyen a pour valeur g=9,81 Nkg1g=9,81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}.

Le champ électrostatique dans un condensateur

  • La plaque du condensateur se trouvant au plus haut potentiel électrique est chargée positivement. Le champ résultant E\vec{E} peut être considéré uniforme dans l’espace séparant les plaques.

Img-02 : circuit électrique contenant un condensateur

  • Le champ électrique E\vec{E} entre les plaques du condensateur a pour expression :

E=Udux\vec{E}=\dfrac{U}{d}\cdot\vec{u_x}

L’accélérateur linéaire de particules

  • Un électron de charge e-e et de masse meme se trouve dans l’espace séparant les plaques d’un condensateur. Les forces extérieures qui s’y appliquent sont le poids P\vec P et la force électrostatique Fe\vec Fe associée au champ du condensateur.

Img-03

  • Le poids de l’électron, dans ce type d’étude, est toujours négligeable devant la force électrostatique. Alors, d’après la 2e loi de Newton, nous avons la relation vectorielle suivante :

mea=Fe=eEme\vec{a}=\vec{Fe}=-e\vec{E}

  • Tout au long du mouvement de l’électron entre les plaques du condensateur, l’accélération est constante. Et si la vitesse initiale de l’électron est nulle ou parallèle au champ électrique, son mouvement sera rectiligne uniformément accéléré.
  • L’interaction est de type électrostatique, donc l’électron est attiré par la plaque de potentiel le plus élevé, à la surface de laquelle on trouve des charges positives.

Caractéristiques du mouvement dans un champ uniforme

  • Les équations horaires définissent chacune des coordonnées spatiales du système comme une fonction du temps.

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Alt texte Image temporaire - Position du système à l’instant initial

  • L’accélération de SS est égale au champ de pesanteur, elle est constante.

Coordonnées du vecteur accélération a\vec a Coordonnées du vecteur vitesse v\vec v Coordonnées du vecteur position
(0g0)\begin{pmatrix} 0 \ -g \ 0 \end{pmatrix} (v0cos(α)gt+v0sin(α)0)\begin{pmatrix} v0 \cos{(\alpha)} \ -g t+ v0 \sin{(\alpha)} \ 0 \end{pmatrix} (v0cos(α)t12gt2+v0sin(α)t0)\begin{pmatrix} v0 \cos{(\alpha)} t \ -\dfrac 12 g t^2+ v0 \sin{(\alpha)} t \ 0\end{pmatrix}
  • a\vec a est la dérivée par rapport au temps de v\vec v, alors il nous faut trouver la primitive de chacune des coordonnées de a\vec a.
  • v\vec v est la dérivée par rapport au temps de du vecteur position, il nous faut calculer la primitive de chacune des coordonnées de v\vec v.
  • Dans un champ de pesanteur uniforme, et dans les conditions indiquées plus haut, le mouvement de SS est inclus dans (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,). Il est donc plan.
  • L’équation de la trajectoire est :

y=g2v02cos2(α)x2+tan(α)xy=-\dfrac {g}{2 v_0^2 \cos^2{(\alpha)}}\cdot x^2+\tan{(\alpha)}\cdot x

  • La trajectoire ne dépend que des conditions initiales.

Mouvement dans un champ électrique uniforme

Alt texte Image temporaire - Position du système à l’instant initial

  • L’accélération est constante, colinéaire à E\vec E et de sens opposé.

Coordonnées du vecteur accélération a\vec a Coordonnées du vecteur vitesse v\vec v Coordonnées du vecteur position
(0eEme0)\begin{pmatrix} 0 \ \dfrac {e E}{me} \ 0 \end{pmatrix} (v0eEmet0)\begin{pmatrix} v0 \ \dfrac {e E} {me} \cdot t \ 0 \end{pmatrix} (v0teE2met20)\begin{pmatrix} v0 t \ \dfrac {e E} {2m_e} \cdot t^2 \ 0 \end{pmatrix}
  • L’équation de la trajectoire est :

y=eE2mev02x2y=\dfrac {e E}{2 me v0^2}\cdot x^2

Aspects énergétiques : mouvement d’un électron dans un champs électrique uniforme

  • En négligeant les forces dissipatives, l’énergie mécanique EmE_\text{m} d’un système mécanique soumis uniquement à un champ extérieur est constante.
  • Son énergie potentielle électrique EpeE{\text{pe}} et son énergie cinétique EcE\text{c} varient donc de manières opposées, et peuvent être toutes deux exprimées comme des fonctions du temps, en utilisant les équations horaires.
  • L’énergie potentielle électrique est déterminée à une constante près, et dans le cas présent la constante inconnue est la valeur de l’énergie mécanique, soit :

Epe(t)=Em(t)e2E22met2E{\text{pe}}(t)=E\text{m}(t)-\dfrac{e^2E^2}{2m_e}\cdot t^2