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Mouvement dans un champ uniforme
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Introduction :
Avant de sauter pleinement dans l’étude du mouvement dans un champ uniforme, rappelez-vous qu’en première nous avions approfondi les lois de Newton qui lient les forces et le mouvement – dans le cours « Mouvements et cinématique » – mais également le champ électrostatique – dans le cours « Champ électrique et électrostatique ». Ces notions vous nous permettent de mieux comprendre ce cours.
Après avoir traité la deuxième loi de Newton dans le chapitre précèdent « Appliquer la deuxième loi de Newton », nous allons présenter ici les caractéristiques du mouvement d’un système placé dans un champ uniforme, sans autre force extérieure. Les cas du champ de pesanteur et du champ électrostatique créé par un condensateur plan sont étudiés, ainsi que l’application aux accélérateurs linéaires de particules. Les équations horaires, l’équation de trajectoire, et l’évolution de l’énergie du système, sont aussi établies.
Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
Qu’est-ce qu’un champ de pesanteur uniforme ?
On sait qu’en étudiant un système mécanique sur lequel s’exerce une force à distance, celle-ci peut s’écrire comme le produit d’une propriété du système (masse ou charge électrique) par un champ (de pesanteur, de gravitation, ou électrostatique) dû à l’objet avec lequel l’interaction a lieu.
Un champ est une grandeur représentant l’effet produit par la « source » d’une interaction à distance et le système étudié.
Champ vectoriel uniforme :
Un champ vectoriel uniforme garde même norme, même direction et même sens en tout point d’une région de l’espace.
Le poids d’un objet se trouvant à la surface de la Terre (ou d’une autre planète) est égal à la force de gravitation exercée par la planète sur l’objet. Or, le poids est égal au produit de la masse de l’objet par le champ de pesanteur : Avec :
Champ de pesanteur :
Le champ de pesanteur, noté , est égal au champ de gravitation à l’endroit où l’expérience est réalisée. Il est défini par :
Dans un champ de pesanteur uniforme, la direction, le sens et la norme de sont identiques, c’est-à-dire que . Sur Terre, si la région de l’espace considérée est assez petite par rapport à ses dimensions, alors on peut considérer que le champ de pesanteur y est uniforme.
L’action du champ de gravitation, dont la définition a été vue en 2de – dans le cours « Modélisation d'une action par une force » – et en 1re – dans le cours « Le champ gravitationnel » – sera étudiée dans le chapitre suivant : « Mouvement dans un champ de gravitation ».
Étude du mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
Pour étudier le mouvement d’un système dans un champ de pesanteur uniforme, nous allons établir les équations décrivant le mouvement : les équations horaires et l’équation de trajectoire.
Équations horaires :
Les équations horaires définissent chacune des coordonnées spatiales du système comme une fonction du temps.
Dans ce qui suit, pour étudier la trajectoire d’un système, nous allons donc projeter sur les axes d’un repère orthonormé de l’espace le vecteur position, afin d’obtenir ses coordonnées ainsi :
Rappelons les égalités suivantes :
Pour commencer, intéressons-nous au mouvement d’un système projeté dans un champ de pesanteur uniforme.
Nous nous plaçons dans un référentiel galiléen, et nous réduisons le système à son centre d’inertie de masse , non nulle et constante. À l’instant , il est lancé avec une vitesse , non nulle, qui forme avec l’horizontale un angle .
Le champ de pesanteur est constant en tous points, puisque nous considérons que le champ de pesanteur est uniforme.
Nous choisissons d’étudier le mouvement dans le repère orthonormé , où est la position de à :
Position du système à l’instant initial
Nous remarquons que est orienté vers le bas et vers le haut, ils sont donc de sens contraires. Nous pouvons alors d’ores et déjà donner les coordonnées du vecteur vitesse initiale et dans , avec la norme de et la norme de :
Avec le vecteur position initiale.
Nous considérons comme négligeables les frottements et la poussée d’Archimède.
Selon la 2e loi de Newton, nous avons donc, avec l’accélération de :
De ce qui précède, nous pouvons déduire les coordonnées en fonction du temps du vecteur accélération dans :
Remarquons que la composante selon est non nulle et constante, le mouvement « vertical » sera donc uniformément accéléré (ou ralenti).
Nous avons rappelé plus haut que est la dérivée par rapport au temps de .
Nous connaissons les coordonnées de , il s’agit donc, pour exprimer les coordonnées de dans , de trouver la primitive de chacune des coordonnées de .
Une primitive de la fonction sur un intervalle est une fonction définie et dérivable sur dont la dérivée est .
Une primitive d’une fonction , constante sur , est , où est une constante réelle.
En effet, comme fonction affine est dérivable sur et, selon les règles de dérivation, nous avons, pour tout réel :
Nous trouvons donc les coordonnées du vecteur vitesse en fonction du temps ( est bien constant, puisque nous sommes dans un champ uniforme) :
Déterminons maintenant $K_1$, $K_2$ et $K_3$ en nous servant des conditions initiales que nous avons fixées.
À
Il suffit donc de considérer le système suivant, obtenu par identification :
Les coordonnées en fonction du temps du vecteur vitesse
Remarquons que la composante selon
Là encore, nous avons rappelé plus haut que
Nous avons calculé les coordonnées de
Une primitive d’une fonction affine
Nous avons donc les coordonnées en fonction du temps du vecteur position
D’une manière analogue à ce que nous avons fait pour les constantes d’intégration du vecteur vitesse, nous allons déterminer $K_4$, $K_5$ et $K_6$ grâce aux conditions initiales, i.e. la position de
Et nous avons choisi
Les coordonnées en fonction du temps du vecteur position
Nous pouvons aussi remarquer que la composante du vecteur position selon l’axe
Dans un champ de pesanteur uniforme, et dans les conditions indiquées plus haut, le mouvement du centre de masse du système est inclus dans le plan.
Pour faciliter les calculs il est donc important, lors du choix du repère, de le fixer de telle façon à ce que le mouvement se fasse dans un plan du repère,
Par ailleurs, si, pour des raisons expérimentales ou autres, le repère est choisi de telle façon que la position à l’instant
Nous venons de montrer que le mouvement est plan, nous allons donc restreindre notre étude au plan qui a pour repère
Dans la composante selon
L’équation de la trajectoire est :
Nous reconnaissons l’expression d’une fonction polynôme du second degré, et le coefficient de
Remarquons que, dans les conditions données au début de cette partie, la trajectoire ne dépend que des conditions initiales.
Si
La portée du mouvement
La flèche du mouvement
Mouvement dans un champ électrique uniforme
Le champ électrique dans un condensateur
Champ électrique :
Un champ électrique est un champ vectoriel
La force électrique exercée par une charge
Considérons un condensateur formé de deux plaques métalliques parallèles, portant le même nombre total de charges
La plaque se trouvant au plus haut potentiel électrique est chargée positivement. Le champ résultant
Le champ électrique
Où le vecteur unitaire
De l’expression du champ électrique, on voit qu’il est d’autant plus grand que la tension
Qu’est-ce qu’un accélérateur linéaire de particules ?
Considérons le condensateur précédent et, dans l’espace séparant ses plaques, un électron.
Étudions le système constitué par l’électron de charge
Soit,
La charge d’un électron vaut
Soit,
Alors,
En négligeant le poids, d’après la 2e loi de Newton, nous avons donc la relation vectorielle suivante :
Tout au long du mouvement de l’électron entre les plaques du condensateur, l’accélération est constante, car d’après les égalités ci-dessus :
L’interaction est de type électrostatique, donc l’électron est attiré par la plaque de potentiel le plus élevé, à la surface de laquelle on trouve des charges positives.
Mouvement dans un champ électrique uniforme
Nous allons maintenant donner les différentes équations pour le mouvement d’une particule dans un champ électrique uniforme.
Le raisonnement sera analogue à celui que nous venons de mener pour le mouvement dans un champ de pesanteur uniforme.
Nous nous plaçons dans un référentiel terrestre supposé galiléen, et pour simplifier les choses, nous allons étudier le mouvement d’un électron de charge
Nous pouvons donner les coordonnées de
L’électron n’est soumis qu’au champ électrique uniforme
Nous pouvons donner les coordonnées en fonction du temps du vecteur accélération
Comme nous l’avons fait pour le champ uniforme, nous pouvons déterminer les coordonnées du vecteur vitesse, en intégrant les coordonnées du vecteur accélération par rapport au temps et en nous servant des coordonnées de
Les coordonnées en fonction du temps du vecteur vitesse
Nous intégrons aussi par rapport au temps les coordonnées du vecteur vitesse et déterminons les constantes d’intégration grâce à la position initiale, de coordonnées
Les coordonnées en fonction du temps du vecteur position sont :
Nous avons trouvé que, à tout instant
Nous obtenons ainsi l’équation de la trajectoire :
Nous reconnaissons l’expression d’une fonction polynôme du second degré, et le coefficient de
Aspects énergétiques
L’énergie mécanique
Nous allons maintenant exploiter la conservation de l’énergie mécanique d’un mouvement d’un système dans un champ uniforme.
Nous avons vu en première que l’énergie mécanique
Nous avons démontré plus haut que le mouvement d’un système projeté dans un champ de pesanteur uniforme n’est soumis qu’à une seule force, son poids. Cette force est conservative.
De plus, dans le cas d’un mouvement d’un électron dans un champ électrique uniforme
Dans un référentiel supposé galiléen, l’énergie mécanique
L’énergie mécanique pour déterminer une vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme
Lorsqu’un système est en mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, sans force de frottement, il y a conservation de l’énergie mécanique. Nous pouvons ainsi faire le lien entre la vitesse et la position de ce système.
Si l’origine coïncide avec le point de départ du mouvement de notre système alors
À
Donc l’énergie mécanique du système vaut :
En un point quelconque de la trajectoire du système,
Donc l’énergie mécanique du système peut s’écrire :
La conservation de l’énergie mécanique nous donne alors :
Cette relation nous permet de calculer une vitesse à partir des coordonnées de la position d’un système.
Le schéma nous permet d’observer l’évolution des énergies cinétique, potentielle et mécanique d’un système en chute libre en fonction du temps. Dans un champ de pesanteur uniforme, l’énergie cinétique est convertie en énergie potentielle de pesanteur, et inversement. L’énergie mécanique est bien constante au cours du temps.
Principe de l’accélérateur linéaire de particules
Étudions le cas du mouvement d’une particule
Le champ électrique uniforme permet à la particule d’accélérer. En effet, le travail de la force électrique
Sachant que,
Nous obtenons,
Dans un accélérateur de particules, nous utilisons une tension électrique
Donc l’énergie cinétique du système au point
L’expression de la vitesse acquise d’une particule dans le cas où la vitesse initiale est nulle est développée dans le corrigé du sujet zéro 2021, exercice B : Accélérateur linéaire « Linac2 » du CERN. N’hésitez à le consulter !
Comme l’indique le schéma ci-dessous, des tubes de longueur croissante se succèdent le long du conduit de déplacement des particules. Les tubes sont reliés alternativement l’un à l’autre aux bornes d’un générateur de tension
Une particule qui accélère dans ce conduit, parcourt une distance de plus en plus grande lors d’une période d’alternance du champ, d’où l’importance des longueurs croissantes des tubes. L’alimentation de l’ensemble, par un courant alternatif, permet d’échanger le sens du champ en un lieu, à intervalles réguliers. Si la fréquence du générateur est bien choisie, la particule accélérée « voit » un champ uniforme toujours orienté dans le même sens, tout au long de son trajet, et accélère ainsi continûment.
On utilise des accélérateurs de particules pour étudier les interactions fondamentales entre les particules élémentaires : protons et neutrons et leurs constituants, électrons, ainsi que les particules ne constituant pas la matière ordinaire.
Un faisceau d’électrons rapides peut aussi émettre des rayons X ou gamma en un faisceau fin, permettant d’« éclairer » une cible précise. Pour, par exemple, réaliser une image (tomographie aux rayons X) ou pour les traitements de radiothérapie.
Déterminer une vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme
Dans la vidéo qui accompagne ce cours, qui s’intéresse au mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, nous avons donné directement la valeur de la vitesse initiale de notre système (un skieur).
Voici la situation du problème de notre vidéo illustré par le schéma plus bas.
Nous nous plaçons dans un référentiel terrestre, supposé galiléen, et nous nous intéressons au système {skieur}.
Nous faisons le bilan des forces :
Il y a donc conservation de l’énergie mécanique tout le long du tremplin.
Comme le skieur s’élance avec une vitesse nulle, son énergie cinétique en
Nous pouvons maintenant faire l’application numérique :
Voici d’où vient la valeur de la vitesse donnée dans la vidéo, que vous pouvez regarder, si ce n’est déjà fait, pour découvrir la suite… u