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Mouvement dans un champ uniforme

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Introduction :

Comme de nombreuses autres particules fondamentales ne faisant pas partie de la matière ordinaire, le boson de Higgs a été observé expérimentalement à l’aide du LHC (Grand collisionneur de hadrons), situé sous la ville de Genève. Dans ces expériences, des protons ou des noyaux atomiques sont accélérés à des vitesses très importantes et dirigés de façon à se percuter en un endroit donné de l’installation. Au lieu de « débris », on obtient à l’issue de cette collision frontale un ensemble de particules de nature différente, les bosons, qu’il s’agit ensuite d’identifier. Au LHC, les protons sont accélérés jusqu’à atteindre une énergie individuelle de 7 TeV7\ \text{TeV} (tera-électron-volt), ce qui correspond à une vitesse de 99,999998 %99,999998\ \% de celle de la lumière dans le vide. Mais comment accélère-t-on des protons ou des noyaux atomiques jusqu’à de telles vitesses ?

Ce chapitre présente les caractéristiques du mouvement d’un système placé dans un champ uniforme, sans autre force extérieure. Les cas du champ de pesanteur et du champ électrostatique créé par un condensateur plan sont étudiés, ainsi que l’application aux accélérateurs linéaires de particules. Les équations horaires, l’équation de trajectoire, et l’évolution de l’énergie du système, sont aussi établies.

Champs uniformes

Une interaction à distance à distance entre deux objets est, d’après la 3e loi de Newton, symétrique. Cependant, on a vu qu’en étudiant un système mécanique sur lequel s’exerce une force à distance, celle-ci peut s’écrire comme le produit d’une propriété du système (masse ou charge électrique) par un champ (de pesanteur, de gravitation, ou électrostatique) dû à l’objet avec lequel l’interaction a lieu.

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Rappel

Un champ est une grandeur représentant l’effet produit par la « source » d’une interaction à distance et le système étudié.

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Définition

Champ uniforme :

Un champ est dit uniforme lorsqu’il garde même norme, même direction et même sens.

Le champ de pesanteur

Le poids d’un objet se trouvant à la surface de la Terre (ou d’une autre planète) est égal à la force de gravitation exercée par la planète sur l’objet. Or, le poids est égal au produit de la masse de l’objet par le champ de pesanteur : P=mg\vec{P}=m\vec{g} Avec :

  • le poids PP exprimé en N\text{N} ;
  • la masse mm exprimée en kg\text{kg} ;
  • le champ de pesanteur gg exprimé en Nkg1\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}.
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Définition

Champ de pesanteur :

Le champ de pesanteur, noté g\vec g, est égal au champ de gravitation à l’endroit où l’expérience est réalisée. Il est vertical et orienté vers le centre de masse de la planète ou autre objet à la surface duquel on se trouve (c’est-à-dire « vers le bas »).

  • Le champ de pesanteur terrestre moyen a pour valeur g=9,81 Nkg1g=9,81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}.

L’action du champ de gravitation, dont la définition a été vue en 2de et en 1re, sera étudiée dans le chapitre suivant.

Le champ électrostatique dans un condensateur

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Rappel

Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle de charge qOqO, constante et immobile, située en OO, en un point MM s’écrit : EO(M)=kqOOM2uOM\vec{E}O(M)=k\cdot\dfrac{qO}{OM^2}\cdot\vec{u}{OM}

Avec :

  • EO(M)\vec{E}_O(M) le champ électrique, dont la norme s’exprime en Vm1\text{V}\cdot\text{m}^{-1} ;
  • kk est la constante de Coulomb, dont la valeur est k=9×109 Nm2C2k=9\times 10^9\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{C}^{-2} ;
  • qOq_O est la charge située en OO, exprimée en coulomb ;
  • uOM\vec{u}_{OM} est le vecteur unitaire dirigé de OO vers MM.

Img-01

Considérons maintenant un condensateur.
Il est formé de deux plaques métalliques parallèles, portant le même nombre total de charges qq, l’une sous forme de cations (+)(+) et l’autre sous forme d’anions ()(-). Ceci est obtenu par l’application d’une tension électrique UU via un circuit extérieur.
La plaque se trouvant au plus haut potentiel électrique est chargée positivement. Le champ résultant E\vec{E} peut être considéré uniforme dans l’espace séparant les plaques.

Img-02 : circuit électrique contenant un condensateur

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À retenir

La relation entre la tension électrique appliquée UU, la distance dd entre les plaques et le champ électrique E\vec{E} entre les plaques du condensateur s’écrit : E=Udux\vec{E}=\dfrac{U}{d}\cdot\vec{ux} Où le vecteur unitaire ux\vec{ux} est perpendiculaire aux plaques, dirigé de la plaque au potentiel positif vers celle au potentiel négatif.

L’accélérateur linéaire de particules

Considérons le condensateur précédent et, dans l’espace séparant ses plaques, un électron.
Étudions le système constitué par l’électron de charge q=eq=-e et de masse mem_e.

  • Les forces extérieures qui s’appliquent au système sont :
  • le poids P\vec P, ayant pour expression :

P=meg\vec P=m_e\vec g

  • la force électrostatique Fe\vec F_e associée au champ du condensateur, ayant pour expression :

Fe=qEFe=eE\vec Fe=q\vec{E} \Leftrightarrow \vec{F}e=-e\vec{E} Soit, Fe=eUdux\vec{F}e=-e\cdot \dfrac{U}{d}\cdot \vec ux

Img-03

  • Comparons les valeurs de ces deux forces.
    Considérons une tension UU appliquée au condensateur U=10 VU=10\ \text{V} (valeur faible) et une distance entre les plaques d=1 cmd=1\ \text{cm}.
    Nous savons également que me=9,1×1031 kgm_e=9,1\times{10}^{-31}\ \text{kg} et que la charge élémentaire vaut e=1,6×1019 Ce = 1,6\times{10}^{-19}\ \text{C}.
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Rappel

La charge d’un électron vaut e-e, et la charge d’un proton vaut ee.

Soit,

PFe=meg×deU=9,1×1031×9,81×1021,6×1019×10=5,6×1014\begin{aligned} \dfrac{P}{Fe}&=\dfrac{meg\times d}{eU}\ &=\dfrac{9,1\times10^{-31}\times9,81\times10^{-2}}{1,6\times10^{-19}\times10}\ &=5,6\times10^{-14}\end{aligned} Alors, P=5,6×1014FeP=5,6\times10^{-14}\cdot F_e

  • Les tensions appliquées peuvent être beaucoup plus élevées, donc le poids de l’électron dans ce type d’étude est, d’après ce calcul, toujours négligeable devant la force électrostatique.

En négligeant le poids, d’après la 2e loi de Newton, nous avons donc la relation vectorielle suivante : mea=P+Fe=Fe=eE\begin{aligned} me\vec{a}&=\vec{P}+\vec{Fe}\ &=\vec{F_e}\ &=-e\vec{E}\end{aligned}

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À retenir

Tout au long du mouvement de l’électron entre les plaques du condensateur, l’accélération est constante, car d’après les égalités ci-dessus : a=emeE\vec a=-\dfrac{e}{m_e}\cdot \vec E Et si la vitesse initiale de l’électron est nulle ou parallèle au champ électrique, son mouvement sera rectiligne uniformément accéléré.

L’interaction est de type électrostatique, donc l’électron est attiré par la plaque de potentiel le plus élevé, à la surface de laquelle on trouve des charges positives.

  • Ce principe est utilisé dans les accélérateurs de particules dits linéaires, dans lesquels un champ électrostatique est utilisé pour donner des vitesses de plus en plus importantes à des électrons, protons, ou noyaux atomiques.
  • Principe de l’accélérateur linéaire
    Comme l’indique le schéma ci-dessous, le long du conduit de déplacement des particules se succèdent des électrodes de forme cylindrique et de longueur croissante, entre lesquelles s’exercent des champs électriques de sens alternés le long du chemin, grâce à la tension électrique appliquée.
    Un électron qui accélère dans ce conduit, parcourt une distance de plus en plus grande lors d’une période d’alternance du champ, d’où l’importance des longueurs croissantes des électrodes. L’alimentation de l’ensemble, par un courant alternatif, permet d’échanger le sens du champ en un lieu, à intervalles réguliers. Si la fréquence du générateur est bien choisie, la particule accélérée « voit » un champ uniforme toujours orienté dans le même sens, tout au long de son trajet, et accélère ainsi continûment.

Img-04 : Schéma de principe de l’accélérateur linéaire

On utilise des accélérateurs de particules pour étudier les interactions fondamentales entre les particules élémentaires : protons et neutrons et leurs constituants, électrons, ainsi que les particules ne constituant pas la matière ordinaire.
Un faisceau d’électrons rapides peut aussi émettre des rayons X ou gamma en un faisceau fin, permettant d’« éclairer » une cible précise. Par exemple pour réaliser une image (tomographie aux rayons X) ou pour les traitements de radiothérapie.

Caractéristiques du mouvement dans un champ uniforme

Après avoir expliqué dans la première partie les caractéristiques d’un champ uniforme, nous allons maintenant étudier le mouvement d’un système dans un champ de pesanteur uniforme et dans un champ électrique uniforme. Pour cela nous allons établir, pour les deux cas, les équations décrivant le mouvement : les équations horaires et l’équation de trajectoire.

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Définition

Équations horaires :

Les équations horaires définissent chacune des coordonnées spatiales du système comme une fonction du temps.

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À retenir

Dans ce qui suit, pour étudier la trajectoire d’un système, nous allons donc projeter sur les axes d’un repère orthonormé direct de l’espace le vecteur position, afin d’obtenir ses coordonnées ainsi :

(x(t)y(t)z(t))\begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \ z(t) \end{pmatrix}

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Rappel

Rappelons les égalités suivantes :

  • le vecteur vitesse v\vec v est la dérivée du vecteur position et nous pouvons noter ses coordonnées :

(vx(t)vy(t)vz(t))=(x(t)y(t)z(t))=(x˙(t)y˙(t)z˙(t))\begin{aligned} \begin{pmatrix} vx(t) \ vy(t) \ v_z(t) \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} x^{\prime}(t) \ y^{\prime}(t) \ z^{\prime}(t)\end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} \dot x(t) \ \dot y(t) \ \dot z(t) \end{pmatrix} \ \end{aligned}

  • le vecteur accélération a\vec a est la dérivée du vecteur vitesse et nous pouvons noter ses coordonnées :

(ax(t)ay(t)az(t))=(vx(t)vy(t)vz(t))=(x(t)y(t)z(t))=(x¨(t)y¨(t)z¨(t))\begin{aligned} \begin{pmatrix} ax(t) \ ay(t) \ az(t) \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} vx^{\prime}(t) \ v^{\prime}y(t) \ v^{\prime}z(t)\end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} x^{\prime\prime}(t) \ y^{\prime\prime}(t) \ z^{\prime\prime}(t)\end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} \ddot x(t) \ \ddot y(t) \ \ddot z(t) \end{pmatrix} \end{aligned}

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Pour commencer, intéressons-nous au mouvement d’un système projeté dans un champ de pesanteur uniforme. Les conditions sont les suivantes :

  • nous nous plaçons dans un référentiel galiléen, et nous réduisons le système à son centre d’inertie SS ;
  • SS est de masse mm, non nulle et constante ;
  • à l’instant t=0t=0, il est lancé avec une vitesse v0\vec v_0, non nulle et non colinéaire à E\vec E, qui forme avec l’horizontale un angle α\alpha ;
  • le champ de pesanteur g\vec g est constant en tous points, puisque nous considérons que le champ de pesanteur est uniforme ;
  • nous considérons comme négligeables les frottements et la poussée d’Archimède.
  • Le système n’est donc soumis qu’à son poids P\vec P, constant, et :

P=mg\vec P=m \vec g

  • Choix du repère et représentation

Nous choisissons d’étudier le mouvement dans le repère orthonormé direct R=(O ;ı,ȷ,k)\mathcal R=(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k), où OO est la position de SS à t=0t=0, ı\vec \imath et g\vec g sont orthogonaux, et où le plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,) est confondu avec le plan (O ;v,E)(O\ ;\,\vec v,\,\vec E) :

Img-05 : Position du système à l’instant initial

Nous pouvons d’ores et déjà donner les coordonnées de v0\vec v0 et g\vec g dans R\mathcal R, avec v0v0 la norme de v0\vec v_0 et gg la norme de g\vec g :

v0(v0cos(α)v0sin(α)0) et g(0g0)\vec v0 \begin{pmatrix} v0 \cos{(\alpha)} \ v_0 \sin{(\alpha)} \ 0\end{pmatrix} \text{ et } \vec g \begin{pmatrix} 0 \ -g \ 0 \end{pmatrix}

  • Bilan des forces

Nous avons vu que la seule force extérieure exercée sur SS est son poids.
Selon la 2e loi de Newton, nous avons donc, avec a\vec a l’accélération de SS :

Fexteˊrieures=mamg=maa=g [car m0]\begin{aligned} \sum \vec F_{\text{extérieures}}=m \vec a &\Leftrightarrow m \vec g=m \vec a \ &\Leftrightarrow \vec a=\vec g \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $m\neq0$]}}} \end{aligned}

  • L’accélération de SS est donc égale au champ de pesanteur, elle est constante.
  • Coordonnées du vecteur accélération
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À retenir

De ce qui précède, nous pouvons déduire les coordonnées en fonction du temps du vecteur accélération a\vec a dans R\mathcal R :

(0g0)\begin{pmatrix} 0 \ -g \ 0 \end{pmatrix}

Remarquons que la composante selon (O ;ȷ)(O\ ;\, \vec \jmath\,) est non nulle et constante, le mouvement « vertical » sera donc uniformément accéléré (ou ralenti).

  • Coordonnées du vecteur vitesse

Nous avons rappelé plus haut que a\vec a est la dérivée par rapport au temps de v\vec v.
Nous connaissons les coordonnées de a\vec a, il s’agit donc, pour exprimer les coordonnées de v\vec v dans R\mathcal R, de trouver la primitive de chacune des coordonnées de a\vec a.

bannière à retenir

À retenir

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II.
On appelle primitive de la fonction ff sur II une fonction FF définie et dérivable sur II dont la dérivée est ff.

  • Pour tout tIt\in I, F(t)=f(t)F^{\prime}(t)=f(t).
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Astuce

Une primitive d’une fonction f:tKf:t\mapsto K, constante sur II, est F:tKt+CF:t\mapsto Kt+C, où CC est une constante réelle.
En effet, FF comme fonction affine est dérivable sur R\mathbb R et, selon les règles de dérivation, nous avons, pour tout tt réel :

F(t)=K=f(t)F^{\prime}(t)=K =f(t)

bannière attention

Attention

Si une fonction ff admet une primitive, alors elle admet une infinité de primitives, car la dérivée d’une fonction constante est nulle.

Par exemple, si x2xx\mapsto 2x admet pour primitive xx2x\mapsto x^2, elle admet aussi pour primitives xx2+2x\mapsto x^2+2 ou xx279x\mapsto x^2-79, etc.
Mais xx2x\mapsto x^2 est l’unique primitive de x2xx\mapsto 2x qui s’annule en x=0x=0.

  • Pour déterminer la primitive qui nous intéresse, il faudra donc tenir compte des conditions initiales, comme nous allons le voir.

Nous trouvons donc les coordonnées du vecteur vitesse en fonction du temps (gg est bien constant, puisque nous sommes dans un champ uniforme) :

(0t+K1gt+K20t+K3)=(K1gt+K2K3)[ouˋ K1K2 et K3 sont des constantesappeleˊes constantes d’inteˊgration]\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 0t+K1 \ -g t+K2 \ 0t+K3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \red{K1} \ \purple{-gt+K2} \ \green{K3} \end{pmatrix} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[où K1K1, K2K2 et K3K_3 sont des constantes}}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{appelées constantes d’intégration]}}} \end{aligned}

Déterminons maintenant $K_1$, $K_2$ et $K_3$ en nous servant des conditions initiales que nous avons fixées.

À t=0t=0, nous savons par hypothèse que le vecteur vitesse v0\vec v_0 a pour coordonnées :

(v0cos(α)v0sin(α)0)\begin{pmatrix} \red{v0 \cos{(\alpha)}} \ \purple{v0 \sin{(\alpha)}} \ \green 0\end{pmatrix}

Il suffit donc de considérer le système suivant, obtenu par identification :

{K1=v0cos(α)g×0+K2=v0sin(α)K3=0{K1=v0cos(α)K2=v0sin(α)K3=0\begin{cases} \red{K1= v0 \cos{(\alpha)}} \ \purple{-g\times 0+K2 =v0 \sin{(\alpha)}} \ \green{K3=0} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} K1= v0 \cos{(\alpha)} \ K2 =v0 \sin{(\alpha)} \ K3=0 \end{cases}

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À retenir

Les coordonnées en fonction du temps du vecteur vitesse v\vec v sont donc :

(v0cos(α)gt+v0sin(α)0)\begin{pmatrix} v0 \cos{(\alpha)} \ -g t+ v0 \sin{(\alpha)} \ 0 \end{pmatrix}

Remarquons que la composante selon (O ;ı)(O\ ;\, \vec \imath\,) est constante, donc le mouvement « horizontal » est uniforme.

  • Coordonnées du vecteur position

Là encore, nous avons rappelé plus haut que v\vec v est la dérivée par rapport au temps de du vecteur position.
Nous avons calculé les coordonnées de v\vec v au point précédent. De la même façon, nous exprimons les coordonnées du vecteur position dans R\mathcal R en calculant la primitive de chacune des coordonnées de v\vec v.

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Astuce

Une primitive d’une fonction affine f:tat+bf:t\mapsto at+b est F:ta2t2+bt+CF:t\mapsto \frac a2 t^2+bt+C, où CC est une constante réelle.
En effet, FF comme trinôme du second degré est dérivable sur R\mathbb R et, selon les règles de dérivation, nous avons, pour tout tt réel :

F(t)=at+b=f(t)F^{\prime}(t)=at+b=f(t)

Nous avons donc les coordonnées en fonction du temps du vecteur position :

(v0cos(α)t+K4g2t2+v0sin(α)t+K5K6)[ouˋ K4K5 et K6 sont des constantesappeleˊes aussi constantes d’inteˊgration]\begin{aligned} &\begin{pmatrix} v0 \cos{(\alpha)} t+K4 \ -\dfrac g2 t^2+ v0 \sin{(\alpha)} t + K5 \ K6 \end{pmatrix} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[où K4K4, K5K5 et K6K6 sont des constantes}}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{appelées aussi constantes d’intégration]}}} \end{aligned}

D’une manière analogue à ce que nous avons fait pour les constantes d’intégration du vecteur vitesse, nous allons déterminer $K_4$, $K_5$ et $K_6$ grâce aux conditions initiales, i.e. la position de SS à t=0t=0.
Et nous avons choisi R\mathcal R tel que, à t=0t=0, le vecteur position est le vecteur nul :

(000)\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}

  • Ainsi, K4=K5=K6=0K4=K5=K_6=0.
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À retenir

Les coordonnées en fonction du temps du vecteur position sont donc :

(v0cos(α)t12gt2+v0sin(α)t0)\begin{pmatrix} v0 \cos{(\alpha)} t \ -\dfrac 12 g t^2+ v0 \sin{(\alpha)} t \ 0\end{pmatrix}

Nous pouvons aussi remarquer que la composante du vecteur position selon l’axe (O ;k)(O\ ;\, \vec k) est toujours nulle.

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À retenir

Dans un champ de pesanteur uniforme, et dans les conditions indiquées plus haut, le mouvement de SS est inclus dans (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,).

  • Il est donc plan.
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Astuce

Pour faciliter les calculs il est donc important, lors du choix du repère, de le fixer de telle façon à ce que le mouvement se fasse dans un plan du repère, (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,) par exemple.

Par ailleurs, si, pour des raisons expérimentales ou autres, le repère est choisi de telle façon que la position à l’instant t=0t=0 a par exemple pour coordonnées (x0 ;y0)(x0\ ;\, y0), avec (x0,y0)(0,0)(x0,\,y0)\neq(0,\,0), il suffira de prendre en compte ces valeurs lors du calcul des constantes d’intégration.

  • Équation de la trajectoire

Nous venons de montrer que le mouvement est plan, nous allons donc restreindre notre étude au plan qui a pour repère (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,).

  • Il s’agit ici d’exprimer l’ordonnée yy en fonction de l’abscisse xx, comme nous en avons l’habitude, et ce sans tenir compte du temps.
  • SS n’est pas lancé verticalement, donc α\alpha n’est pas un angle droit (v0cos(α)0v_0 \cos {(\alpha)}\neq0).
    Nous avons trouvé au point 5 que, à tout instant tt :

x=v0cos(α)tt=xv0cos(α)x=v0\cos{(\alpha)} t \Leftrightarrow t= \dfrac{x}{v0 \cos{(\alpha)}}

Dans la composante selon (O ;ȷ)(O\ ;\, \vec \jmath\,) du vecteur position, remplaçons tt par cette expression, et nous obtenons :

y=12g(xv0cos(α))2+v0sin(α)xv0cos(α)=g2v02cos2(α)x2+sin(α)cos(α)x=g2v02cos2(α)x2+tan(α)x[car tanα=sin(α)cos(α)]\begin{aligned} y &= -\dfrac 12 g\cdot \left(\dfrac{x}{v0 \cos{(\alpha)}}\right)^2+ v0 \sin{(\alpha)}\cdot \dfrac{x}{v0 \cos{(\alpha)}} \ &=-\dfrac {g}{2 v0^2 \cos^2{(\alpha)}}\cdot x^2+\dfrac{\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}}\cdot x \ &=-\dfrac {g}{2 v_0^2 \cos^2{(\alpha)}}\cdot x^2+\tan{(\alpha)}\cdot x \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\tan{\alpha}=\frac{\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}}$]}}} \end{aligned}

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À retenir

L’équation de la trajectoire est :

y=g2v02cos2(α)x2+tan(α)xy=-\dfrac {g}{2 v_0^2 \cos^2{(\alpha)}}\cdot x^2+\tan{(\alpha)}\cdot x

Nous reconnaissons l’expression d’une fonction polynôme du second degré, et le coefficient de x2x^2 est négatif.

  • La trajectoire de SS est donc parabolique.
  • Si SS est lancé « vers le haut », sa trajectoire atteindra un maximum.
  • Si SS est lancé « vers le bas » ou « horizontalement », sa trajectoire sera strictement décroissante.

Img-06

Remarquons que, dans les conditions données au début de cette partie, la trajectoire ne dépend que des conditions initiales.

  • Si SS est lancé avec une vitesse initiale nulle ou de direction parallèle au champ de pesanteur, alors la trajectoire sera portée par l’axe (O ;ȷ)(O\ ;\, \vec \jmath\,) et le mouvement sera rectiligne uniformément varié.

Mouvement dans un champ électrique uniforme

Nous allons maintenant donner les différentes équations pour le mouvement d’une particule dans un champ électrique uniforme.
Le raisonnement sera analogue à celui que nous venons de mener pour le mouvement dans un champ de pesanteur uniforme.

  • Choix du repère et représentation
  • Tout d’abord, le mouvement sera aussi plan. Nous travaillerons avec un repère orthonormé direct R=(O ;ı,ȷ,k)\mathcal R=(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\, \vec k), avec OO la position de la particule à t=0t=0, ı\vec \imath et g\vec g sont orthogonaux, et où le plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,) est confondu avec le plan (O ;v,E)(O\ ;\,\vec v,\,\vec E).
  • Ensuite, pour simplifier les choses, nous allons étudier le mouvement d’un électron de charge e-e, soumis à un champ électrique uniforme E\vec E.
  • Enfin, pour mettre en évidence la déviation subie par l’électron, nous considérons qu’à t=0t=0 le vecteur vitesse v0\vec v_0 est non nul et orthogonal à E\vec E.
  • Nous représentons la situation initiale dans le schéma suivant :

Img-07

Nous pouvons donner les coordonnées de v0\vec v_0 et E\vec E dans R\mathcal R :

v(v000) et E(0E0)\vec v\begin{pmatrix} v_0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \text{ et } \vec E\begin{pmatrix} 0 \ -E \ 0 \end{pmatrix}

  • Bilan des forces

Nous avons vu plus haut que nous pouvons négliger le poids de l’électron et que nous avions donc, avec la 2e loi de Newton :

eE=meaa=emeE\begin{aligned} -e\vec E &=me \vec a \Leftrightarrow\vec a = -\dfrac{e}{me}\cdot \vec E \ \end{aligned}

  • L’accélération est donc constante, colinéaire à E\vec E et de sens opposé.
  • Coordonnées du vecteur accélération
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À retenir

Nous pouvons donner les coordonnées en fonction du temps du vecteur accélération a\vec a :

(0eEme0)\begin{pmatrix} 0 \ \dfrac {e E}{m_e} \ 0 \end{pmatrix}

  • Coordonnées du vecteur vitesse

Comme nous l’avons fait pour le champ uniforme, nous pouvons déterminer les coordonnées du vecteur vitesse, en intégrant les coordonnées du vecteur accélération par rapport au temps et en nous servant des coordonnées de v0v_0 pour déterminer les constantes d’intégration.

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À retenir

Les coordonnées en fonction du temps du vecteur vitesse v\vec v sont :

(v0eEmet0)\begin{pmatrix} v0 \ \dfrac {e E} {me} \cdot t \ 0 \end{pmatrix}

  • Coordonnées du vecteur position

Nous intégrons aussi par rapport au temps les coordonnées du vecteur vitesse et déterminons les constantes d’intégration grâce à la position initiale, de coordonnées (0 ;0)(0\ ;\, 0).

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À retenir

Les coordonnées en fonction du temps du vecteur position sont :

(v0teE2met20)\begin{pmatrix} v0 t \ \dfrac {e E} {2me} \cdot t^2 \ 0 \end{pmatrix}

  • Équation de la trajectoire

Nous avons trouvé que, à tout instant tt :

x=v0tt=xv0x=v0 t\Leftrightarrow t=\dfrac x{v0}

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À retenir

Nous obtenons ainsi l’équation de la trajectoire :

y=eE2mev02x2y=\dfrac {e E}{2 me v0^2}\cdot x^2

Nous reconnaissons l’expression d’une fonction polynôme du second degré, et le coefficient de x2x^2 est positif.

  • La trajectoire de l’électron est donc parabolique. Dans nos conditions, son minimum est atteint en x=0x=0 et vaut 00.

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Aspects énergétiques

Nous allons maintenant exprimer les énergies cinétique et potentielle en fonction du temps, dans le cas du mouvement d’un électron dans un champs électrique uniforme E\vec E.

Nous savons que la force électrostatique Fe\vec F_e exercée sur l’électron est conservative, de même que son poids, dont on a négligé l’influence au début de cette étude.

  • En négligeant les forces dissipatives, comme les forces de frottements, l’énergie mécanique EmE_\text{m} de l’électron est conservée au cours de son mouvement :
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À retenir

L’énergie mécanique EmE\text{m} d’un système mécanique soumis uniquement à un champ extérieur est constante. Em=constanteE\text{m}= \text{constante}

  • Son énergie potentielle électrique EpeE{\text{pe}} et son énergie cinétique EcE\text{c} varient donc de manières opposées, et peuvent être toutes deux exprimées comme des fonctions du temps, en utilisant les équations horaires.

En effet, l’énergie cinétique du système vaut par définition, où vv est la norme de la vitesse  : Ec=12mev2E\text{c}=\dfrac{1}{2}mev^2

  • Reprenons le cas de notre électron, mais cette fois-ci dans un accélérateur linéaire de particules.

Img-09

Avec une vitesse initiale nulle, les coordonnées du vecteur vitesse v\vec v en fonction du temps sont : (eEmet0)\begin{pmatrix} \dfrac {e E}{m_e}\cdot t \ 0\end{pmatrix}

  • La norme de la vitesse vaut donc : v=eEmetv=\dfrac{eE}{m_e}\cdot t
  • Par analogie, l’énergie cinétique s’écrit : Ec(t)=e2E22met2E\text{c}(t)=\dfrac{e^2E^2}{2me}\cdot t^2
bannière à retenir

À retenir

L’énergie potentielle électrique est déterminée à une constante près, et dans le cas présent la constante inconnue est la valeur de l’énergie mécanique : Em(t)=Epe(t)+Ec(t) E\text{m}(t)=E{\text{pe}}(t)+E\text{c}(t) Soit, Epe(t)=Em(t)Ec(t)=Em(t)e2E22met2\begin{aligned} E{\text{pe}}(t)&= E\text{m}(t)-E\text{c}(t)\ &=E\text{m}(t)-\dfrac{e^2E^2}{2me}\cdot t^2\end{aligned}

Img-10 : évolution des énergies cinétique, potentielle électrique et mécanique d’un électron dans un accélérateur linéaire