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Mouvements et cinématique

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Vitesse et accélération

  • La vitesse instantanée d’un point matériel, exprimée en ms1\text{m}\cdot\text{s}^{-1}, est la dérivée par rapport au temps de son vecteur position (avec OO l’origine du repère et OM\overrightarrow{OM\,}t le vecteur position du cycliste à tt) :

v=dOMdt\vec{v}=\dfrac{d\overrightarrow{OM\,}}{dt}

  • Les composantes de la vitesse instantanée d’un point matériel dans une base orthonormée sont égales aux dérivées par rapport au temps des composantes du vecteur position.
  • On peut considérer ces grandeurs comme des fonctions du temps (variable tt) car, à une date donnée, le système considéré ne peut être qu’à un endroit.
  • On appelle variation de vitesse la différence entre vitesses instantanées du système mesurées à des dates voisines.
  • La dérivée par rapport au temps de la vitesse instantanée du système est appelée accélération instantanée, exprimée en ms2\text{m}\cdot\text{s}^{-2} :

a=dvdt\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}

  • Les composantes de l’accélération dans une base orthonormée sont égales aux dérivées des composantes de la vitesse.

Chronophotographie

  • Une chronophotographie est une série de photographies d’un objet en mouvement prises à intervalles réguliers de temps et superposées sur une même image.
  • Elle sert à obtenir une valeur approchée de la vitesse instantanée et de l’accélération instantanée.
  • Étapes d'une chronophotographie  :
  • Tâches préliminaires :
  • mesurer sur l’image les dimensions de l’objet en mouvement, pour se munir d’une échelle ;
  • marquer sur chacune des images successives la position du centre de gravité de l’objet ;
  • numéroter les images successives M1M1, M2M2… de l’objet de façon à orienter correctement la vitesse et la trajectoire.
  • Mesure de vitesse au point n° ii :
  • mesurer la distance entre les points MiMi et Mi+1M{i+1} et utiliser l’échelle de distance ;
  • diviser par l’intervalle de temps séparant deux images ;
  • la direction et le sens du vecteur vi\vec vi sont les mêmes que ceux du vecteur MiMi+1\overrightarrow{Mi M_{i+1}} ;
  • choisir une échelle de vitesse et tracer le vecteur vi\vec v_i.
  • Mesure d’accélération au point n° i par construction graphique :
  • reporter la vitesse vi+1\vec v{i+1} au point MiMi ;
  • compléter le triangle ainsi formé : ce dernier côté est la variation de vitesse Δv(i)(i+1)=vi+1vi\overrightarrow{\Delta v}{(i)(i+1)}=\vec v{i+1} - \vec v_i ;
  • mesurer la variation de vitesse Δv(i)(i+1)\overrightarrow{\Delta v}_{(i)(i+1)} et utiliser l’échelle de vitesse ;
  • diviser par l’intervalle de temps séparant deux images ;
  • la direction et le sens du vecteur ai\vec ai sont les mêmes que ceux du vecteur Δv(i)(i+1)\overrightarrow{\Delta v}{(i)(i+1)} ;
  • choisir une échelle d’accélération et tracer le vecteur ai\vec a_i.

Les lois de Newton

  • Le vecteur quantité de mouvement d’un système est le produit de sa masse par son vecteur vitesse :

p=mv\vec{p}=m\vec{v}

  • La quantité de mouvement s’exprime en kgms1\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
  • L’application de forces sur un système matériel fait varier sa quantité de mouvement. Pour une force donnée, la variation de vitesse induite est d’autant plus importante que la masse du système est faible.
  • On étudie l’effet de forces sur les trajectoires d’objets matériels à l’aide des trois lois suivantes énoncées par Isaac Newton :
  • d’après le principe d’inertie ou première loi de Newton, si aucune force extérieure ne s’exerce sur le système, celui-ci reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.
  • d’après le principe fondamental de la dynamique ou deuxième loi de Newton, la dérivée temporelle de la quantité de mouvement d’un système est égale à la somme des forces s’exerçant sur celui-ci (avec mm la masse constante du système et F\vec{F} la résultante des forces s’exerçant sur celui-ci) :

ma=Fm\vec{a}=\vec{F}

  • d’après le principe des actions réciproques ou troisième loi de Newton, si un système AA exerce sur un système BB une force F\vec{F}, alors BB exerce sur AA une force F-\vec{F}, de même norme et de sens opposé.
  • Les première et deuxième lois de Newton ainsi exprimées ne sont valables que dans un référentiel dit galiléen.
  • On appelle référentiel galiléen (ou référentiel inertiel) un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié.