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Mouvements et cinématique
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Introduction :
Une personne qui marche ou se déplace à vélo prend appui sur le sol pour avancer. De même, on prend appui sur l’eau, un fluide incompressible, pour nager. L’air étant un fluide compressible, il faut se munir au moins d’un parachute ou d’une aile de deltaplane pour ralentir sa chute tout en avançant.
Au-delà de d’altitude environ s’étend l’espace. Là-haut, on ne peut pas s’appuyer sur le milieu environnant : c’est le vide. Comment, alors, les spationautes « piétons » se déplacent-ils ? Et comment les satellites restent-ils en orbite ?
Ce chapitre présente les lois de Newton qui lient les forces, y compris les actions à distance, et le mouvement. Nous présenterons d’abord des grandeurs instantanées : vecteurs vitesse, accélération et quantité de mouvement. Puis nous étendrons la relation approchée entre force moyenne et variation de vitesse vue en seconde. Nous établirons aussi une méthode expérimentale de mesure de vitesse et d’accélération (quasi) instantanées.
Pour aller un peu plus loin, nous évoquerons également la notion de dérivée, outil puissant que vous découvrez cette année en mathématiques, pour en montrer une application concrète. Toutefois, ce sera surtout en terminale que vous utiliserez la dérivation pour résoudre les exercices de cinématique.
Vitesse moyenne et vitesse instantanée
Notion de vitesse instantanée
Considérons un système en mouvement, par exemple une cycliste. Connaissant la distance qu’elle a parcourue et le temps de parcours, on peut estimer sa vitesse moyenne.
La vitesse moyenne d’un objet, représenté par un point matériel, entre deux dates et s’exprime ainsi :
est ici la position de l’objet à la date et est sa position à la date .
Mais la cycliste ne se déplace pas à la même vitesse sur tout le parcours. On peut alors estimer sa vitesse sur de courtes périodes en choisissant des dates et très proches. Des variations infinitésimales apparaissent alors :
Avec l’origine du repère et le vecteur position du cycliste à la date .
À la limite , cette quantité tend vers la dérivée :
Vitesse instantanée :
La vitesse instantanée d’un point matériel est la dérivée par rapport au temps de son vecteur position :
Les composantes de la vitesse instantanée d’un point matériel dans une base orthonormée sont égales aux dérivées par rapport au temps des composantes du vecteur position.
On peut considérer ces grandeurs comme des fonctions du temps (variable ) car, à une date donnée, le système considéré ne peut être qu’à un endroit.
Considérons par exemple que les composantes du vecteur position du système sont des fonctions du temps :
(, et sont des constantes.)
Alors le vecteur vitesse s’écrit :
La dérivée, définie comme une limite mathématique, existe car, à tout instant, il est possible de mesurer la vitesse du système. La vitesse instantanée montre la direction suivie par le système à un instant donné. Elle est donc tangente à la trajectoire.
Dans l’exemple de la cycliste, la donnée de la vitesse instantanée à chaque instant rend compte du trajet effectué avec plus de détails.
Voici une vue de dessus du trajet de la cycliste, et l’évolution de avec le temps.
Évolution de la vitesse de la cycliste avec le temps
Détermination d’une vitesse instantanée d’après une chronophotographie
Mathématiquement, il est possible de dériver des fonctions, donc de connaître leurs variations sur des intervalles infiniment courts. Expérimentalement, on mesure des variations finies sur des intervalles très courts.
En calculant la vitesse moyenne d’un objet sur un intervalle court, par exemple , on obtient une valeur approchée de sa vitesse instantanée au début de cet intervalle. Pour ce faire, on peut s’appuyer sur une chronophotographie.
Chronophotographie :
Une chronophotographie est une série de photographies d’un objet en mouvement prises à intervalles réguliers de temps et superposées sur une même image.
L’appareil-photo doit être immobile dans le référentiel du laboratoire pendant l’expérience. Pour éviter les erreurs, la ligne de visée de l’appareil-photo à l’objet doit être perpendiculaire au plan de la trajectoire étudiée.
La mesure se déroule en plusieurs étapes.
Exemple de chronophotographie (mesure de la vitesse)
Échelle :
Échelle de vitesse :
Effet des forces extérieures sur la vitesse
Variation de vitesse et forces extérieures – relation approchée
D’après le principe d’inertie, si aucune force extérieure ne s’exerce sur le système, celui-ci reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Dans ce dernier cas, la vitesse du système est conservée, en norme et en direction.
Considérons par exemple une expérience de chute libre dans laquelle on lâche une balle de tennis. Sa vitesse verticale augmente au cours de la chute.
D’après le principe d’inertie, le système subit donc une force extérieure, responsable de cette accélération. Ici, en l’absence de la résistance de l’air, la seule force extérieure est le poids de la balle.
On poursuit l’expérience en lâchant simultanément une balle de tennis et une balle de ping-pong.
Chute libre d’une balle de tennis et d’une balle de ping-pong
La variation de vitesse lors d’une chute libre est donc due au poids, mais ne dépend pas de la masse.
Ceci justifie la relation approchée :
( est la vitesse du système à la date et sa vitesse à une date ultérieure.)
La masse du système se simplifie dans le cas d’une chute libre. Le membre de gauche fait apparaître la variation de vitesse du système.
Variation de vitesse :
On appelle variation de vitesse la différence entre vitesses instantanées du système mesurées à des dates voisines.
La variation de vitesse est une différence de vecteurs. Si la vitesse du système change de direction, même si sa norme est constante, cette variation ne sera pas nulle. L’effet d’une force extérieure peut donc être de courber la trajectoire d’un objet.
Par exemple, la vitesse d’un satellite en orbite autour de la Terre est constante en norme mais pas en direction. La force appliquée est l’attraction gravitationnelle exercée par la Terre.
Vecteur vitesse d’un satellite en orbite autour de la Terre
Lors d’une chute libre, la seule force exercée sur le système est son poids. Un objet tombant dans le vide est donc en chute libre. Mais, d’après le chapitre précédent, l’air se comprime lors de la chute d’un objet. Il résiste à la chute du système, donc exerce une force.
On peut cependant considérer cette résistance comme très faible et considérer une chute « libre » dans l’air, si l’expérience est assez courte et que le système a une faible surface sur sa face inférieure.
C’est le cas de la balle de tennis, ou d’un parachutiste n’ayant pas encore déployé son parachute.
Accélération instantanée
La relation établie précédemment est aussi valable pour des dates et très proches. Le membre de gauche fait alors apparaître des variations infinitésimales :
À la limite , on fait apparaître la dérivée :
( est la somme des forces extérieures.)
Accélération instantanée :
La dérivée par rapport au temps de la vitesse instantanée du système est appelée accélération instantanée :
Les composantes de l’accélération dans une base orthonormée sont égales aux dérivées des composantes de la vitesse.
Considérons l’exemple vu plus haut, où les composantes du vecteur position et du vecteur vitesse du système sont des fonctions du temps :
( et sont des constantes.)
Le vecteur accélération s’écrit alors :
Détermination d’une accélération instantanée d’après une chronophotographie
Comme pour la vitesse précédemment, on peut estimer approximativement une accélération instantanée à l’aide d’une chronophotographie. Après avoir déterminé les vitesses (voir plus haut), on procède comme suit.
Exemple de chronophotographie (mesure de l’accélération)
Les lois de Newton
La quantité de mouvement
La masse de la balle de tennis de l’expérience de chute libre est constante. Le membre de gauche de la relation établie peut donc s’écrire :
Quantité de mouvement :
Le vecteur quantité de mouvement d’un système est le produit de sa masse par son vecteur vitesse :
L’application de forces sur un système matériel fait varier sa quantité de mouvement. Pour une force donnée, la variation de vitesse induite est d’autant plus importante que la masse du système est faible.
La relation établie permet d’étudier aussi un système dont la masse varie. Par exemple, une fusée en ascension consomme son carburant et, donc, elle s’allège à mesure qu’elle s’élève. De tels cas seront abordés plus tard.
Le spationaute et le satellite évoqués dans l’énoncé sont en chute libre. La seule force extérieure exercée sur chacun est une action à distance, l’attraction gravitationnelle de la Terre. L’écriture de cette force sera vue dans le chapitre suivant.
Énoncé des lois de Newton
On étudie l’effet de forces sur les trajectoires d’objets matériels à l’aide des trois lois suivantes énoncées par Isaac Newton.
La première loi de Newton est aussi appelée principe d’inertie.
D’après la troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques, si un système exerce sur un système une force , alors exerce sur une force , de même norme et de sens opposé.
D’après le principe fondamental de la dynamique ou deuxième loi de Newton, la dérivée temporelle de la quantité de mouvement d’un système est égale à la somme des forces s’exerçant sur celui-ci.
En notant la masse (constante) du système et la résultante des forces s’exerçant sur celui-ci, on a la relation vectorielle :
Ainsi, on peut utiliser la deuxième loi pour :
Les première et deuxième lois de Newton ainsi exprimées ne sont valables que dans un référentiel dit galiléen.
Référentiels galiléens
Référentiel galiléen :
On appelle référentiel galiléen (ou référentiel inertiel) un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié.
Conclusion :
La vitesse instantanée d’un point matériel est la dérivée par rapport au temps de son vecteur position. Son accélération instantanée est la dérivée par rapport au temps de son vecteur vitesse. On peut déterminer approximativement ces grandeurs vectorielles à l’aide d’une chronophotographie de la trajectoire étudiée.
La quantité de mouvement d’un point matériel est le produit de sa masse et de son vecteur vitesse. Sa dérivée est égale à la somme des forces extérieures appliquées au système. C’est la deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique. La première loi est le principe d’inertie, et la troisième est le principe des actions réciproques.
Les lois de Newton permettent d’estimer la somme des forces appliquées au système connaissant sa trajectoire et les variations de sa vitesse, ou inversement. Ces lois ne s’appliquent que dans les référentiels galiléens.