L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$.
On considère les points :
$$\begin{aligned}
A\,(-5\ ;\, -2\ ;\, &0)\quad B\,(-1\ ;\, -2\ ;\, 2)\quad C\,(-5\ ;\, -2\ ;\, 2) \\
&D\,(-3\ ;\, 3\ ;\, 1)\quad E\,(-4\ ;\, 1\ ;\, 3)
\end{aligned}$$
Question 1
Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.
Question 2
Montrer que $\overrightarrow{AB\ }$ est un vecteur normal au plan $(DEI)$. Que peut-on en déduire pour les droites $(ED)$ et $(AB)$ ?
Question 3
On définit le plan médiateur d’un segment par l’unique plan orthogonal à ce segment en son milieu.
Justifier que le plan médiateur de $[AB]$ est le plan $(DEI)$.
On considère $P$ un plan parallèle à $(DEI)$.
Donner une droite orthogonale et un vecteur normal au plan $P$.
En déduire que le plan médiateur de $[AB]$ et le plan médiateur de $[AC]$ ne sont pas parallèles.
Question 4
$$(\overrightarrow{MA\ }+\overrightarrow{MB\ })\cdot (\overrightarrow{MA\ }-\overrightarrow{MB\ })=MA^2-MB^2$$
Puis que :
$$(\overrightarrow{MA\ }+\overrightarrow{MB\ })\cdot (\overrightarrow{MA\ }-\overrightarrow{MB\ })=2\cdot \overrightarrow{MI\ }\cdot \overrightarrow{BA\ }$$
Par la suite, on admet les propriétés suivantes :
- le plan médiateur d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment ;
- les plans médiateurs des arêtes d’une pyramide se coupent en un point qui est le centre de la sphère circonscrite à la pyramide.
Question 5
Les plans médiateurs des arêtes de la pyramide se coupent en $S\,(-3\ ;\, 0\ ;\, 1)$.
Calculer le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$.
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