Exercices Primitives et équations différentielles

Résoudre l’équation différentielle suivante $$y^’=3y$$

Soit l'équation différentielle suivante $$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=-3x^2-7x+3$$ Montrer que cette équation admet pour solution une fonction polynôme du second degré que l'on nommera $h$ et que l'on déterminera.

Soit l'équation différentielle suivante $$(E):\ y^{\prime}=-y-2y^2$$ Si $f$ est une solution de cette équation différentielle qui ne s'annule pas sur $\mathbb R$, montrer qu'alors son inverse, nommée $g$, est solution de l'équation $$(E^{\prime}):\ y^{\prime}=y+2$$

$f$ est une fonction définie, continue et dérivable sur $\mathbb R$.
On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.
$f$ admet des primitives et on note $F$ la primitive de $f$ qui s’annule en $0$.

Question 1

On a représenté dans le repère orthonormé ci-dessous deux courbes $\mathscr C_1$ et $\mathscr C_2$.

• Les deux courbes se coupent en $O$, l’origine du repère.
• Le point $S$ est le point de la courbe $\mathscr C_2$ qui a la plus grande ordonnée ; il a pour abscisse $x_0$.
• Les points $A$ et $B$ placés respectivement sur $\mathscr C_2$ et $\mathscr C_1$ ont la même abscisse $x_1$.

• L’une des courbes représente la fonction $F$ et l’autre la fonction $f$.

Associer chaque courbe à la fonction qu’elle représente ; justifier la réponse.