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Principe fondamental de la statique

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Introduction :

Le cours précédent nous a appris à représenter de manière complète les actions qui s’exercent sur un système. Il nous restait néanmoins à évaluer ces actions.

Ici, nous nous intéresserons à un système au repos, ou en mouvement rectiligne uniforme, et nous pourrons appliquer le principe fondamental de la statique à des systèmes soumis à 22, puis 33 forces.
Ainsi découvrirons-nous une méthodologie pour résoudre un problème de statique.

Lois de la statique

Principe fondamental de la statique (PFS)

Soit un solide SS soumis aux forces F1\vec F{\tiny 1} (avec B1B{\tiny 1} son point d’application), F2\vec F{\tiny 2} (avec B2B{\tiny 2} son point d’application), …, Fn\vec Fn (avec BnB{n} son point d’application).
Soit un point II quelconque, en lequel le moment de F1\vec F{\tiny 1} vaut MI(F1)\vec M{\tiny I} (\vec F{\tiny 1}), le moment de F2\vec F{\tiny 2} vaut MI(F2)\vec M{\tiny I} (\vec F{\tiny 2}), …, le moment de Fn\vec Fn vaut MI(Fn)\vec M{\tiny I} (\vec F_n).

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Théorème

Théorème de la résultante statique :

Dans un référentiel galiléen, si SS est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des forces extérieures exercées sur SS est nulle :

i=1n(Fi)(O;ı,ȷ,k)=0 \displaystyle\sum{i=1}^n \big(\vec Fi\big)_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}=\green{\vec 0}

  • Les forces doivent être projetées dans le même repère.
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Théorème

Théorème du moment statique :

Dans un référentiel galiléen, si SS est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des moments des forces extérieures exercées sur SS, exprimés en un même point II, est nulle :

i=1n(MI(Fi))(O;ı,ȷ,k)=0 \displaystyle\sum{i=1}^n \Big(\vec MI\big(\vec Fi\big)\Big){(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}=\blue{\vec 0}

  • Les moments doivent être projetés dans le même repère.

Enfin, nous pouvons écrire le principe fondamental de la statique.

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Théorème

Dans un référentiel galiléen, tout sytème SS au repos ou en mouvement rectiligne uniforme est soumis à des actions extérieures dont la somme est nulle :

i=1n{ABi(Fi)}I (O;ı,ȷ,k)={00}(O;ı,ȷ,k)\displaystyle\sum{i=1}^n \begin{Bmatrix} A{\tiny Bi} \big(\vec Fi\big) \end{Bmatrix}{I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \green {\vec 0} \ \blue{\vec 0} \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

bannière exemple

Exemple

Reprenons l’exemple du plongeoir du cours précédent :

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  • Nous trouvions :

{AB(solpl)}B (O;ı,ȷ,k)={00yFB000}(O;ı,ȷ,k{AG(pesanteurpl)}G (O;ı,ȷ,k)={00mpl×g000}(O;ı,ȷ,k){AI(perspl)}I (O;ı,ȷ,k)={00mpers×g000}(O;ı,ȷ,k)\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A{\tiny B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} 0 & 0 \ \red{y{\tiny FB}} & 0 \ 0 & 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k} \ \ \begin{Bmatrix} A{\tiny G}(\text{pesanteur}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{G\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} 0 & 0 \ \purple{-m{\text{pl}}\times g} & 0 \ 0 & 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\tiny I}(\text{pers}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} 0 & 0 \ \purple{-m{\text{pers}}\times g} & 0 \ 0 & 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}

Si l’on considère que le plongeoir est au repos, alors, d’après le PFS, et plus particulièrement le théorème de la résultante statique :

yFB+(mpl×g)+(mpers×g)=0yFB=mpl×g+mpers×g=g×(mpl+mpers)\begin{aligned} \red{y{\tiny FB}} + (\purple{-m{\text{pl}}\times g}) + (\purple{-m{\text{pers}}\times g}) &= 0 \ \Leftrightarrow \red{y{\tiny FB}} &= \purple{m{\text{pl}}\times g} + \purple{m{\text{pers}}\times g} \ &= \red{g\times (m{\text{pl}} + m{\text{pers}})} \end{aligned}

  • Ainsi, si nous connaissons la masse de la personne et celle du plongeoir, nous pouvons en déduire yFBy{\tiny FB} et donner un bilan des forces précis.

Principe des actions réciproques

bannière à retenir

À retenir

Si un système Σ1\Sigma{\tiny 1} exerce une action sur un autre système Σ2\Sigma{\tiny 2}, alors Σ2\Sigma{\tiny 2} exerce une action opposée sur Σ1\Sigma{\tiny 1} :

{A(Σ1Σ2)}={A(Σ2Σ1)}\begin{Bmatrix} A(\Sigma{\tiny 1}\rightarrow \Sigma{\tiny 2})\end{Bmatrix} = - \begin{Bmatrix} A(\Sigma{\tiny 2}\rightarrow \Sigma{\tiny 1})\end{Bmatrix}

Étude de cas

Cas de 22 forces

Étudions le cas d’une corde C\text{C} de masse négligeable, fixée à l’une de ses extrémités au sol S\text{S}, et sur laquelle une personne P\text{P} exerce une traction. Considérons que la corde est au repos.

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  • En appliquant le PFS, nous obtenons :

FPC+FSC=0FPC=FSC\begin{aligned} \vec F{\tiny \text{P} \rightarrow \text{C}} + \vec F{\tiny \text{S} \rightarrow \text{C}} = \vec 0 \Leftrightarrow\vec F{\tiny \text{P} \rightarrow \text{C}} = - \vec F{\tiny \text{S} \rightarrow \text{C}} \end{aligned}

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À retenir

Ainsi, quand un système est soumis uniquement à 22 forces extérieures, celles-ci sont :

  • de norme identique ;
  • portées par la même direction ;
  • de sens opposés.

Cas de 33 forces

Étudions maintenant le cas d’un télescope T\text{T} :

  • articulé en AA avec le sol S\text{S} ;
  • soutenu en BB par un vérin V\text{V} (de masse négligeable) ;
  • soumis à son poids en GG.

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  • Le poids P\vec P du télescope est orienté selon l’axe vertical.

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  • Le vérin est soumis à 22 forces : une en BB et l’autre en CC.

Nous avons donc : FTV\vec F{\tiny \text{T} \rightarrow \text{V}} colinéaire à CB \overrightarrow{CB\ }.
D’après le principe des actions réciproques : FTV=FVT\vec F
{\tiny \text{T} \rightarrow \text{V}} = -\vec F_{\tiny \text{V} \rightarrow \text{T}}.

  • Et donc : FVT\vec F_{\tiny \text{V} \rightarrow \text{T}} colinéaire à CB \overrightarrow{CB\ }.

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  • La force exercée par le sol sur le télescope est indéterminée a priori.

Mais, si nous appliquons le PFS au système « télescope », nous obtenons, en un point II :

MI(FVT)+MI(P)+MI(FST)=FVTBI +PGI +FSTAI =0\begin{aligned} \vec M{\tiny I}(\vec F{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}}) + \vec M{\tiny I}(\vec P) + \vec M{\tiny I}(\vec F{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}}) &= \vec F{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{BI\ } + \vec P \land \overrightarrow{GI\ } + \vec F_{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{AI\ } \ &=\vec 0 \end{aligned}

Maintenant, prenons II tel que la direction de FVT\vec F_{\tiny V\rightarrow T} et la direction de P\vec P sont concourantes en II.

Alors :

FVTBI =PGI =0\begin{aligned} \vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{BI\ } &= \vec P \land \overrightarrow{GI\ } \ &=\vec 0 \end{aligned}

Car :

  • FVT\vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}} et BI \overrightarrow{BI\ } sont colinéaires ;
  • P\vec P et GI \overrightarrow{GI\ } sont colinéaires.
  • D’où FSTAI =0\vec F{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{AI\ }=\vec 0 et FST\vec F{\tiny \text{S} \rightarrow \text{T}} colinéaire à AI \overrightarrow{AI\ }.

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À retenir

Ainsi, quand un système est soumis à uniquement 33 forces concourantes, alors elles sont concourantes en un même point.

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Graphe de structure

Comme nous venons de le voir, des stratégies différentes de résolution de problème peuvent être utilisées, selon que le système est soumis à 22 forces, 33, ou plus.

  • Aussi, il est intéressant de tracer le graphe de structure du problème afin de repérer les forces agissant sur chaque partie du problème.

Principe

bannière à retenir

À retenir

Dans un graphe de structure, on représente :

  • chaque élément par un cercle ;
  • chaque liaison ou contact par un trait, en indiquant le point où s’applique la force (pivot).

Ensuite, on indique sur chaque corps les actions extérieures non négligeables (le poids, par exemple).

Dans notre exemple du télescope, toujours en négligeant la masse du vérin, cela donne :

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Interprétation

Ce graphique permet de faire des choix quant à la sélection de la partie à isoler et donc du système à étudier.

  • Par exemple, choisissons d’abord d’isoler le système « vérin ».

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  • Faisons le bilan des actions qui s’y exercent.

{AB(TV)}B (O;ı,ȷ,k)={FB(TV)0}(O;ı,ȷ,k){AC(SV)}C (O;ı,ȷ,k)={FC(SV)0}(O;ı,ȷ,k)\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A{\tiny B} \big(\text{T}\rightarrow \text{V}\big) \end{Bmatrix}{B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F{\tiny B}\big(\text{T}\rightarrow \text{V}\big) \ \vec 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\tiny C} \big(\text{S}\rightarrow \text{V}\big) \end{Bmatrix}{C\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F{\tiny C}\big(\text{S}\rightarrow \text{V}\big) \ \vec 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}

  • Maintenant, isolons le système « vérin + télescope », et notons-le Σ\Sigma.

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  • Faisons le bilan des actions qui s’y exercent.

{AA(SΣ)}A (O;ı,ȷ,k)={FA(SΣ)0}(O;ı,ȷ,k){AC(SΣ)}C (O;ı,ȷ,k)={FC(SΣ)0}(O;ı,ȷ,k)\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A{\tiny A} \big(\text{S}\rightarrow \Sigma\big) \end{Bmatrix}{A\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F{\tiny A}\big(\text{S}\rightarrow \Sigma\big) \ \vec 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\tiny C} \big(\text{S}\rightarrow \Sigma\big) \end{Bmatrix}{C\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F{\tiny C}\big(\text{S}\rightarrow \Sigma\big) \ \vec 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}

L’action en BB étant interne au système, elle n’est pas prise en compte ici.

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Attention

On n’isole jamais le bâti. En effet, le bâti étant le référentiel galiléen, à l’échelle du système industriel étudié, il est très difficile de connaître les actions qui s’exercent sur celui-ci.

Récapitulatif : méthodologie de résolution d’un problème

  • On fixe le repère, on trace le graphe de structure.

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  • On isole le système étudié en fonction des forces à déterminer : ici le télescope.

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  • On écrit le bilan des actions extérieures qui s’appliquent au système.
  • Action du sol sur le télescope en AA :

{AA(ST)}A (O;ı,ȷ,k)={FA(ST)0}(O;ı,ȷ,k)\begin{Bmatrix} A{\tiny A} \big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}{A\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F{\tiny A}\big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big) \ \vec 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

  • Action du vérin sur le télescope en BB :

{AB(VT)}B (O;ı,ȷ,k)={FB(VT)0}(O;ı,ȷ,k)\begin{Bmatrix} A{\tiny B} \big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}{B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \ \vec 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

  • Action de la gravité en GG :

{AG(graviteˊT)}G (O;ı,ȷ,k)={PG0}(O;ı,ȷ,k)\begin{Bmatrix} A{\tiny G} \big(\text{gravité}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}{G\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec P{\tiny G} \ \vec 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

  • On exprime ces actions en un même point, ici AA.

{AA(ST)}A (O;ı,ȷ,k)={FA(ST)0}(O;ı,ȷ,k){AB(VT)}A (O;ı,ȷ,k)={FB(VT)FB(VT)BA }(O;ı,ȷ,k){AG(graviteˊT)}A (O;ı,ȷ,k)={PGPGGA }(O;ı,ȷ,k)\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A{\tiny A} \big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}{A\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} &= \begin{Bmatrix} \vec F{\tiny A}\big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big) \ \vec 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\tiny B} \big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}{A\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} &= \begin{Bmatrix} \vec F{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \ \vec F{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \land \overrightarrow{BA\ } \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\tiny G} \big(\text{gravité}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}{A\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} &= \begin{Bmatrix} \vec P{\tiny G}\ \vec P{\tiny G} \land \overrightarrow{GA\ } \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}

  • On applique le PFS.

FA(ST)+FB(VT)+PG=0FB(VT)BA +PGGA =0\begin{aligned} \vec F{\tiny A}\big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big) + \vec F{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) + \vec P{\tiny G} &= \vec 0 \ \ \vec F{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \land \overrightarrow{BA\ } + \vec P_{\tiny G} \land \overrightarrow{GA\ } &= \vec 0 \end{aligned}

  • On projette les vecteurs ci-dessus sur les axes du repère.

Dans le repère (O;ı,ȷ,k)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) :

  • BA \green {\overrightarrow{BA\ }} a pour coordonnées (xy0)\begin{pmatrix} \green x \ \green y \ \green 0 \end{pmatrix}
  • GA \blue {\overrightarrow{GA\ }} a pour coordonnées (xy0)\begin{pmatrix} \blue {x^\prime} \ \blue {y^\prime} \ \blue 0 \end{pmatrix}
  • FA(ST)\red {\vec F{\tiny A}\big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big)} a pour coordonnées (xFAyFA0)\begin{pmatrix} \red {x{\tiny FA}} \ \red {y{\tiny F_A}} \ \red 0 \end{pmatrix}
  • FB(VT)\purple {\vec F{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big)} a pour coordonnées (xFByFB0)\begin{pmatrix} \purple {x{\tiny FB}} \ \purple {y{\tiny F_B}} \ \purple 0 \end{pmatrix}
  • PG\textcolor{#808080} {\vec P_{\tiny G}} a pour coordonnées (0mg0)\begin{pmatrix} \textcolor{#808080} 0 \ \textcolor{#808080} {-mg} \ \textcolor{#808080} 0 \end{pmatrix}
  • Nous calculons les produits vectoriels :

FB(VT)BA =(xFByFB0)(xy0)=(00xFByyFBx)PGGA =(0mg0)(xy0)=(00mgx)\begin{aligned} \purple{\vec F{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big)} \land \green {\overrightarrow{BA\ }}&=\begin{pmatrix} \purple{x{\tiny FB}} \ \purple{y{\tiny FB}} \ \purple 0 \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} \green x \ \green y \ \green 0 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ \purple{x{\tiny FB}}\green y-\purple{y{\tiny FB}}\green x \end{pmatrix} \ \ \textcolor{#808080} {\vec P{\tiny G}} \land \blue {\overrightarrow{GA\ }} &= \begin{pmatrix} \textcolor{#808080} 0 \ \textcolor{#808080} {-mg} \ \textcolor{#808080} 0\end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} \blue {x^\prime} \ \blue {y^\prime} \ \blue 0 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ \textcolor{#808080} {mg}\blue{x^\prime} \end{pmatrix} \end{aligned}

  • On obtient un système d’équations.

{xFA+xFB=0yFA+yFBmg=0xFByyFBx+mgx=0\begin{cases} \red {x{\tiny FA}} + \purple {x{\tiny FB}} = 0 \ \red {y{\tiny FA}} + \purple {y{\tiny FB}} \textcolor{#808080} {- mg} = 0 \ \purple{x{\tiny FB}}\green y-\purple {y{\tiny FB}}\green x + \textcolor{#808080}{mg}\blue{x^\prime} = 0 \end{cases}

  • Les données du problème permettront d’éliminer suffisamment d'inconnues pour pouvoir résoudre le système d’équations et définir l’ensemble des forces.

Conclusion :

Tout au long de cette partie, nous avons étudié, au moyen d’outils mathématiques puissants, les forces qui s’exercent sur des systèmes au repos, pour finalement découvrir le principe fondamental de la statique.

Ainsi, forts de ces connaissances, nous comprenons mieux comment les ingénieurs conçoivent les structures qu’ils imaginent, trouvant le meilleur équilibre entre contraintes physiques extérieures – et donc obligation de sécurité – et budgétaires.
En connaissant l’ensemble des actions qui s’exercent sur un système, ils peuvent le dimensionner de manière raisonnable.