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Principe fondamental de la statique

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Lois de la statique

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Théorème

Théorème de la résultante statique :

Dans un référentiel galiléen, si un solide SS est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des forces extérieures exercées sur SS est nulle :

i=1n(Fi)(O;ı,ȷ,k)=0 \displaystyle\sum{i=1}^n \big(\vec Fi\big)_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}=\green{\vec 0}

  • Les forces doivent être projetées dans le même repère.
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Théorème

Théorème du moment statique :

Dans un référentiel galiléen, si un solide SS est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des moments des forces extérieures exercées sur SS, exprimés en un même point II quelconque, est nulle :

i=1n(MI(Fi))(O;ı,ȷ,k)=0 \displaystyle\sum{i=1}^n \Big(\vec MI\big(\vec Fi\big)\Big){(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}=\blue{\vec 0}

  • Les moments doivent être projetés dans le même repère.
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Théorème

Principe fondamental de la statique :

Dans un référentiel galiléen, tout sytème SS au repos ou en mouvement rectiligne uniforme est soumis à des actions extérieures dont la somme est nulle :

i=1n{ABi(Fi)}I (O;ı,ȷ,k)={00}(O;ı,ȷ,k)\displaystyle\sum{i=1}^n \begin{Bmatrix} A{\tiny Bi} \big(\vec Fi\big) \end{Bmatrix}{I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \green {\vec 0} \ \blue{\vec 0} \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

  • Principe des actions réciproques :
  • si un système Σ1\Sigma{\tiny 1} exerce une action sur un autre système Σ2\Sigma{\tiny 2}, alors Σ2\Sigma{\tiny 2} exerce une action opposée sur Σ1\Sigma{\tiny 1} :

{A(Σ1Σ2)}={A(Σ2Σ1)}\begin{Bmatrix} A(\Sigma{\tiny 1}\rightarrow \Sigma{\tiny 2})\end{Bmatrix} = - \begin{Bmatrix} A(\Sigma{\tiny 2}\rightarrow \Sigma{\tiny 1})\end{Bmatrix}

Étude de cas

Cas de 22 forces

  • Quand un système est soumis uniquement à 22 forces extérieures, celles-ci sont :
  • de norme identique ;
  • portées par la même direction ;
  • de sens opposés.

Cas de 33 forces

Étudions maintenant le cas d’un télescope T\text{T} :

  • articulé en AA avec le sol S\text{S} ;
  • soutenu en BB par un vérin V\text{V} (de masse négligeable) ;
  • soumis à son poids en GG.

sciences de l’ingénieur première représentation actions principe fondamental statique force (D’après un modèle de D. Vesvard)

  • Le poids P\vec P du télescope est orienté selon l’axe vertical.

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  • Le vérin est soumis à 22 forces : une en BB et l’autre en CC.

Nous avons donc : FTV\vec F{\tiny \text{T} \rightarrow \text{V}} colinéaire à CB \overrightarrow{CB\ }.
D’après le principe des actions réciproques : FTV=FVT\vec F
{\tiny \text{T} \rightarrow \text{V}} = -\vec F_{\tiny \text{V} \rightarrow \text{T}}.

  • Et donc : FVT\vec F_{\tiny \text{V} \rightarrow \text{T}} colinéaire à CB \overrightarrow{CB\ }.((fleche))

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  • La force exercée par le sol sur le télescope est indéterminée a priori.

Mais, si nous appliquons le PFS au système « télescope », nous obtenons, en un point II :

MI(FVT)+MI(P)+MI(FST)=FVTBI +PGI +FSTAI =0\begin{aligned} \vec M{\tiny I}(\vec F{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}}) + \vec M{\tiny I}(\vec P) + \vec M{\tiny I}(\vec F{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}}) &= \vec F{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{BI\ } + \vec P \land \overrightarrow{GI\ } + \vec F_{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{AI\ } \ &=\vec 0 \end{aligned}

Maintenant, prenons II tel que la direction de FVT\vec F_{\tiny V\rightarrow T} et la direction de P\vec P sont concourantes en II.

Alors :

FVTBI =PGI =0\begin{aligned} \vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{BI\ } &= \vec P \land \overrightarrow{GI\ } \ &=\vec 0 \end{aligned}

Car :

  • FVT\vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}} et BI \overrightarrow{BI\ } sont colinéaires ;
  • P\vec P et GI \overrightarrow{GI\ } sont colinéaires.
  • D’où FSTAI =0\vec F{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{AI\ }=\vec 0 et FST\vec F{\tiny \text{S} \rightarrow \text{T}} colinéaire à AI \overrightarrow{AI\ }.

sciences de l’ingénieur première représentation actions principe fondamental statique force (D’après un modèle de D. Vesvard)

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À retenir

Ainsi, quand un système est soumis à uniquement 33 forces concourantes, alors elles sont concourantes en un même point.

sciences de l’ingénieur première représentation actions principe fondamental statique force (D’après un modèle de D. Vesvard)

Graphe de structure

  • Le graphe de structure d’un problème, nous permet de repérer les forces agissant sur chaque partie du problème.
  • Principe
  • Dans un graphe de structure, on représente :
  • chaque élément par un cercle ;
  • chaque liaison ou contact par un trait, en indiquant le point où s’applique la force (pivot).
  • Ensuite, on indique sur chaque corps les actions extérieures non négligeables (le poids, par exemple).
  • Interprétation
  • Ce graphique permet de faire des choix quant à la sélection de la partie à isoler et donc du système à étudier.
  • Mais attention, nous n’isolons jamais le bâti.

Méthodologie de résolution d’un problème

  • On fixe le repère, on trace le graphe de structure.
  • On isole le système étudié en fonction des forces à déterminer : ici le télescope.
  • On écrit le bilan des actions extérieures qui s’appliquent au système.
  • On exprime ces actions en un même point.
  • On applique le PFS.
  • On projette les vecteurs sur les axes du repère.
  • On obtient un système d’équations.