Fiche de révision : Principe fondamental de la statique

Lois de la statique

Théorème

Théorème de la résultante statique :

Dans un référentiel galiléen, si un solide $S$ est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des forces extérieures exercées sur $S$ est nulle :

$$ \displaystyle\sum_{i=1}^n \big(\vec F_i\big)_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}=\green{\vec 0}$$

• Les forces doivent être projetées dans le même repère.

Théorème

Théorème du moment statique :

Dans un référentiel galiléen, si un solide $S$ est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des moments des forces extérieures exercées sur $S$, exprimés en un même point $I$ quelconque, est nulle :

$$ \displaystyle\sum_{i=1}^n \Big(\vec M_I\big(\vec F_i\big)\Big)_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}=\blue{\vec 0}$$

• Les moments doivent être projetés dans le même repère.

Théorème

Principe fondamental de la statique :

Dans un référentiel galiléen, tout sytème $S$ au repos ou en mouvement rectiligne uniforme est soumis à des actions extérieures dont la somme est nulle :

$$\displaystyle\sum_{i=1}^n \begin{Bmatrix} A_{\tiny B_i} \big(\vec F_i\big) \end{Bmatrix}_{I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \green {\vec 0} \\ \blue{\vec 0} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

• Principe des actions réciproques :
• si un système $\Sigma_{\tiny 1}$ exerce une action sur un autre système $\Sigma_{\tiny 2}$, alors $\Sigma_{\tiny 2}$ exerce une action opposée sur $\Sigma_{\tiny 1}$ :

$$\begin{Bmatrix} A(\Sigma_{\tiny 1}\rightarrow \Sigma_{\tiny 2})\end{Bmatrix} = - \begin{Bmatrix} A(\Sigma_{\tiny 2}\rightarrow \Sigma_{\tiny 1})\end{Bmatrix}$$

Étude de cas

Cas de $2$ forces

• Quand un système est soumis uniquement à $2$ forces extérieures, celles-ci sont :
• de norme identique ;
• portées par la même direction ;
• de sens opposés.

Cas de $3$ forces

Étudions maintenant le cas d’un télescope $\text{T}$ :

• articulé en $A$ avec le sol $\text{S}$ ;
• soutenu en $B$ par un vérin $\text{V}$ (de masse négligeable) ;
• soumis à son poids en $G$.

• Le poids $\vec P$ du télescope est orienté selon l’axe vertical.

• Le vérin est soumis à $2$ forces : une en $B$ et l’autre en $C$.

Nous avons donc : $\vec F_{\tiny \text{T} \rightarrow \text{V}}$ colinéaire à $\overrightarrow{CB\ }$.
D’après le principe des actions réciproques : $\vec F_{\tiny \text{T} \rightarrow \text{V}} = -\vec F_{\tiny \text{V} \rightarrow \text{T}}$.

• Et donc : $\vec F_{\tiny \text{V} \rightarrow \text{T}}$ colinéaire à $\overrightarrow{CB\ }$.((fleche))

• La force exercée par le sol sur le télescope est indéterminée a priori.

Mais, si nous appliquons le PFS au système « télescope », nous obtenons, en un point $I$ :

$$\begin{aligned} \vec M_{\tiny I}(\vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}}) + \vec M_{\tiny I}(\vec P) + \vec M_{\tiny I}(\vec F_{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}}) &= \vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{BI\ } + \vec P \land \overrightarrow{GI\ } + \vec F_{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{AI\ } \\ &=\vec 0 \end{aligned}$$

Maintenant, prenons $I$ tel que la direction de $\vec F_{\tiny V\rightarrow T}$ et la direction de $\vec P$ sont concourantes en $I$.

Alors :

$$\begin{aligned} \vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{BI\ } &= \vec P \land \overrightarrow{GI\ } \\ &=\vec 0 \end{aligned}$$

Car :

• $\vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}}$ et $\overrightarrow{BI\ }$ sont colinéaires ;
• $\vec P$ et $\overrightarrow{GI\ }$ sont colinéaires.
• D’où $\vec F_{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{AI\ }=\vec 0$ et $\vec F_{\tiny \text{S} \rightarrow \text{T}}$ colinéaire à $\overrightarrow{AI\ }$.

À retenir

Ainsi, quand un système est soumis à uniquement $3$ forces concourantes, alors elles sont concourantes en un même point.

Graphe de structure

• Le graphe de structure d’un problème, nous permet de repérer les forces agissant sur chaque partie du problème.
• Principe
• Dans un graphe de structure, on représente :
• chaque élément par un cercle ;
• chaque liaison ou contact par un trait, en indiquant le point où s’applique la force (pivot).
• Ensuite, on indique sur chaque corps les actions extérieures non négligeables (le poids, par exemple).
• Interprétation
• Ce graphique permet de faire des choix quant à la sélection de la partie à isoler et donc du système à étudier.
• Mais attention, nous n’isolons jamais le bâti.

Méthodologie de résolution d’un problème

• On fixe le repère, on trace le graphe de structure.
• On isole le système étudié en fonction des forces à déterminer : ici le télescope.
• On écrit le bilan des actions extérieures qui s’appliquent au système.
• On exprime ces actions en un même point.
• On applique le PFS.
• On projette les vecteurs sur les axes du repère.
• On obtient un système d’équations.