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Probabilités : vocabulaire et outils

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​Introduction :

Nous allons traiter des probabilités. Les probabilités consistent à mathématiser le hasard ou chiffrer la chance. Pour cela nous aurons besoin d’aborder le vocabulaire spécifique à la notation des probabilités, puis les ensembles dans les probabilités, et enfin le calcul des probabilités à l’aide d’outils spéciaux.

Vocabulaire

Rappels

Faisons d’abord le point sur le vocabulaire nécessaire :

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Définition

Expérience aléatoire :

Une expérience aléatoire, ou épreuve aléatoire, est une expérience faisant apparaître au hasard des résultats.

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Définition

Issues d’une expérience aléatoire :

Les issues sont les résultats possibles d’une expérience aléatoire.

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Définition

Univers d’une expérience aléatoire :

L’univers associé à une expérience aléatoire est l’ensemble de toutes les éventualités qu’implique le résultat de cette expérience. L’univers est noté par la majuscule grecque Ω\Omega (ce qui se lit oméga).

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Définition

Événement d’une expérience aléatoire :

Un événement est une partie de l’univers composée d’un ou plusieurs éléments de cet univers. On utilise une lettre majuscule pour le désigner.

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Définition

Événement élémentaire d’une expérience aléatoire :

Un événement élémentaire est un événement composé d’un seul élément de l’univers.

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Définition

Événement impossible d’une expérience aléatoire :

Un événement impossible est un événement qui n’a aucun élément.

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Définition

Événement contraire :

​L’événement contraire de l’événement AA (noté Aˉ\bar A) est l’ensemble de toutes les issues qui n’appartiennent pas à AA.

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Exemple

On lance un dé à six faces et on note le numéro inscrit sur la face supérieure.
On connaît les six résultats possibles : « 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6 » :

  • l’expérience aléatoire consiste à lancer un dé à 6 faces,
  • les issues sont {1};{2};{3};{4};{5} ou {6}{1};{2};{3};{4};{5}\text{ ou }{6},
  • l’univers est {1;2;3;4;5;6}{1;2;3;4;5;6}.

Soit AA l’événement : « obtenir un nombre pair ».
Les issues de cet événement sont {2};{4} ou {6}.{2};{4}\text{ ou }{6}.

Un événement élémentaire est BB : « obtenir la face 2 ».
Cet événement n’a qu’une seule issue possible : {2}{2}.

L’événement CC : « obtenir un 7 » est un événement impossible.

L’événement Aˉ\bar A est : « obtenir un nombre impair » ou « ne pas obtenir un nombre pair ».

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Astuce

Il est possible de simuler un lancer de dé à l’aide d'une calculatrice (CASIO, TI), de même qu’un lancer de pièce (CASIO, TI).

Probabilités

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Définition

Probabilité d’un évènement :

La probabilité d’un événement est la fréquence théorique à laquelle cet événement se réalise, on peut donc dire qu’en général :

p(A)=nombre d’issues favorables pour Anombre d’issues possiblesp(A)=\dfrac{\text{nombre d'issues favorables pour }A}{\text{nombre d'issues possibles} }

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Exemple

En reprenant l’énoncé de l’exemple précedent, on a :

  • Probabilité d’obtenir un chiffre pair : p(A)=36=12p(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
  • Probabilité d’obtenir l’univers : p(Ω)=1p(\Omega)=1
  • Probabilité de l’événement impossible : p(C)=0p(C)=0
  • Probabilité de l’événement contraire de AA : p(Aˉ)=1p(A)=112=12p(\bar A)=1-p(A)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}

Probabilités ensemblistes

Les événements d’un univers peuvent se représenter à l’aide d’ensembles.

Soient A et B deux événements de l’univers Ω\Omega, on a :

Réunion

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Définition

Réunion d'événements :

L’événement ABA\cup B est la réunion des événements AA et BB.

Les issues favorables de ABA\cup B sont les issues favorables à AA ou bien celles favorables à BB, en faisant attention à ne comptabiliser qu’une seule fois les issues favorables à la fois à AA et à BB.

  • La partie rayée de cette représentation permet de visualiser ABA\cup B.
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Astuce

ABA\cup B se lit «  A union B ».

Intersection

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Définition

Intersection d'événements :

L’événement ABA \cap B est l’intersection des événements AA et BB.

Les issues favorables de ABA \cap B sont les issues à la fois favorables à AA et à la fois favorables à BB.

  • La partie rayée de cette représentation suivante permet de visualiser ABA \cap B
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Astuce

ABA \cap B se lit «  A inter B ».

Probabilités

Pour calculer la probabilité des évènementsABA \cup B et ABA \cap B, on utilise la propriété suivante.

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Propriété

p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)\begin{aligned} p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A \cap B) \ p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(A \cup B) \end{aligned}

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Propriété

Il se peut que les événements AA et BB soient incompatibles. Cela signifie que ABA \cap B n’existe pas.
Donc que p(AB)=0p(A \cap B)=0.

Dans ce cas, on peut écrire cette relation :

p(AB)=p(A)+p(B)p(A \cup B)=p(A)+p(B)

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Exemple

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit RR l’événement « obtenir un roi », TT l’événement « obtenir un ♣ » et DD l’événement « obtenir un 10 ».

L’événement RR a 4 issues : le roi de ♥, le roi de ♠, le roi de ♦ et le roi de ♣.

  • Donc p(R)=432=18p(R)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}

L’événement TT a 8 issues : le nombre de cartes de ♣.

  • Donc p(T)=832=14p(T)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}

L’événement DD a 4 issues : le 10 de ♥, le 10 de ♦, le 10 de ♣ et le 10 de ♠.

  • Donc p(D)=432=18p(D)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}

L’événement RTR \cap T a 1 seule issue possible : le roi de ♣.

  • Donc p(RT)=132p(R \cap T)=\dfrac{1}{32}

L’événement RTR \cup T a pour probabilité :

p(RT)=p(R)+p(T)p(RT)=18+14132p(RT)=1132\begin{aligned}\begin {aligned} p(R \cup T)&=p(R)+p(T)-p(R\cap T)\ &=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{32}\ p(R \cup T)&=\dfrac{11}{32} \end{aligned}\end{aligned}

Les événements RR et DD sont incompatibles car il n’existe pas de carte qui soit à la fois un roi et un 10.

L’événement RDR\cap D est un événement impossible.

Donc p(RD)=0p(R\cap D)=0 et p(RD)=p(R)+p(D)=18+18=14p(R \cup D)=p(R)+p(D)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}

Outils de probabilités

Tableau

Pour calculer la probabilité d’un événement, il faut déterminer le nombre d’événements élémentaires de l’expérience aléatoire et le nombre d’événements élémentaires constituant l’événement.

Le tableau à double entrée peut être un outil pratique à ce dénombrement.

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Exemple

On considère un établissement scolaire dont la situation des élèves est donnée dans le tableau suivant :

Internes Demi-pensionnaires Externes Total
Filles 120 240 440 800
Garçons 200 240 760 1200
Total 320 480 1200 2000

Dans ce tableau :

  • Les événements sont en bleu (première ligne et première colonne)
  • Les événements qui sont incompatibles sont dans la même ligne ou dans la même colonne.
  • On ne peut pas être une fille et un garçon à la fois, ni externe et interne à la fois.
  • Dans les cases, il y a le nombre d’issues favorables à la ligne et la colonne qui correspond.
  • Par exemple, il y a 120 élèves qui sont des filles et internes. Ce sont les intersections d’événement.
  • La case intersection entre la colonne total et la ligne total donne le nombre d’élèves total dans l’établissement : 2 000
  • On ne peut pas lire directement les probabilités des unions.
  • Pour les trouver, il faut utiliser la formule p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)

On nomme les évènements comme suit :

FF : « l’élève est une fille »

GG : « l’élève est un garçon »

II : « l’élève est interne »

DD : « l’élève est demi-pensionnaire »

EE : « l’élève est externe »

On choisit un élève au hasard :

quelle est la propbabilité qu’il soit interne ?

p(I)=3202000=425p(I)=\dfrac{320}{2000}=\dfrac{4}{25};

Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

p(F)=8002000=25p(F)=\dfrac{800}{2000}=\dfrac{2}{5} 

Quelle est la probabilité que ce soit une fille interne ?

p(IF)=1202000=350p(I \cap F)=\dfrac{120}{2000}=\dfrac{3}{50}

Arbre de probabilités

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À retenir

Dans le cas d’une expérience aléatoire mettant en œuvre des choix successifs, le tableau ne peut rendre compte de la situation.

Il faut utiliser un arbre de probabilités pour dénombrer et déterminer les événements élémentaires de l’expérience aléatoire.

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Exemple

Une urne contient huit boules indiscernables au toucher, cinq blanches et trois noires.
On tire au hasard une boule puis on lance une pièce équilibrée et on note si on obtient pile ou face.

On note les événements :

BB : « obtenir une boule blanche »

NN : « obtenir une boule noire »

PP : « obtenir pile »

FF : « obtenir face »

Cet arbre décrit donc la situation :

Dans cet arbre :

  • Les événements sont au bout des branches.
  • Les probabilités sont sur les branches.
  • On peut voir qu’il y a 4 issues possibles : BP, BF, NPBP,\ BF,\ NP et NFNF.
  • Les probabilités qui partent du même nœud ont une somme égale à 1.

Ici, 58+38=1\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}=1.

  • Les événements incompatibles partent du même nœud.
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Exemple

On ne peut pas tirer une boule blanche et noire à la fois.

  • On peut lire les probabilités des premiers événements mais pas des seconds.
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Exemple

p(B)=58  p(B)=\dfrac{5}{8}\; et   p(N)=38  \;p(N)=\dfrac{3}{8}\; mais   p(P)=?  \;p(P)=?\; et   p(F)=?\;p(F)=?

  • Les intersections d’événement se retrouvent en ligne. Les probabilités correspondantes se calculent donc en multipliant les probabilités sur le chemin.
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Exemple

p(BF)=58×12=516p(B \cap F)=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{16}

  • On ne peut pas lire directement les probabilités des unions. Pour les trouver, il faut utiliser la formule : p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).

Conclusion :

Maîtriser les formules de calcul et le vocabulaire des probabilités est essentiel en seconde. Mais la grande nouveauté, ce sont les arbres de probabilité, très utiles pour analyser un problème et y répondre.

Pensez à tracer systématiquement l’arbre de probabilités lorsqu’un exercice consiste en des choix aléatoires successifs.

Même s’il n’est pas demandé, ce sera une garantie pour votre professeur que vous avez bien compris ce que l’exercice demandait.