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Probabilités conditionnelles et indépendance

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Introduction :

Dans ce chapitre, nous allons voir les définitions et propriétés du conditionnement, ainsi que la représentation des probabilités conditionnelles sur un arbre pondéré, qui sont une nouveauté au programme de première.

Puis, nous donnerons la formule des probabilités totales et, enfin, nous définirons l’indépendance de deux événements.

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Rappel

Soit AA et B B deux événements de l’ensemble Ω\Omega et Aˉ\bar{A} l’événement contraire de AA :

  • p(Aˉ)=1p(A)p( \bar{A} )=1-p(A)
  • p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)

Conditionnement

Définitions et propriétés

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Définition

Probabilité conditionnelle de BB sachant AA :

Soit AA et B B deux événements de l’univers Ω\Omega, avec AA de probabilité non nulle (p(A)0)(p(A)\neq0).
La probabilité conditionnelle de BB sachant AA (probabilité que l’événement BB soit réalisé sachant que l’événement AA est réalisé) est le nombre noté pA(B)p_A(B) défini par :

pA(B)=p(AB)p(A)p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}

Grâce à cette définition, on peut calculer p(AB)p(A\cap B) de deux façons différentes :

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Propriété

p(AB)=p(A)×pA(B) (avec p(A)0)p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)\ (\text{avec} \ p(A)\neq0)

p(AB)=p(B)×pB(A) (avec p(B)0)p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)\ (\text {avec} \ p(B)\neq0)

Exemples :

  • Dans une population donnée, 84 %84\ \% des personnes possèdent un téléphone portable et 75 %75\ \% des personnes possèdent un ordinateur.
    De plus, 60 %60\ \% des personnes de cette population déclarent posséder les deux. On rencontre par hasard une personne de cette population.
  • On considère les événements :
  • TT : « La personne possède un téléphone portable ».
  • OO : « La personne possède un ordinateur ».
  • Déterminons la probabilité que la personne rencontrée possède un téléphone portable sachant qu’elle a un ordinateur.
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Astuce

La première étape est de traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités.

  • On a :
  • p(T)=0,84p(T)=0,84
  • p(O)=0,75p(O)=0,75
  • p(TO)=0,60p(T\cap O)=0,60
  • Et on cherche : pO(T)p_O(T)
  • On applique la formule :

pO(T)=p(TO)p(O)=0,600,75=0,8\begin{aligned} p_O(T)&=\dfrac{p(T\cap O)}{p(O)} \ &=\dfrac{0,60}{0,75} \ &=0,8 \end{aligned}

  • Lors d’une enquête menée auprès d’une population, on a constaté que 85 %85\ \% des personnes sont des femmes et que, parmi ces femmes, 62 %62\ \% travaillent à temps partiel.
  • On considère les événements :
  • FF : « La personne choisie est une femme ».
  • TT : « La personne choisie travaille à temps partiel ».
  • Déterminons la probabilité que la personne choisie soit une femme travaillant à temps partiel.
  • On a :
  • p(F)=0,85p(F)=0,85
  • pF(T)=0,62p_F(T)=0,62
  • Et on cherche : p(FT)p(F\cap T)
  • On applique la formule :

p(FT)=p(F)×pF(T)=0,85×0,62=0,527\begin{aligned} p(F\cap T)&=p(F)\times p_F(T) \ &=0,85\times0,62 \ &=0,527 \end{aligned}

Probabilités conditionnelles et arbre pondéré

On peut représenter une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre pondéré.

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Pour cela, il est nécessaire de respecter certaines règles :

  • Règle n°1 : Sur les branches du 1er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
  • Règle n°2 : Sur les branches du 2e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
  • Règle n°3 : Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 11.
  • Règle n°4 : Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.

Exemple :
Reprenons l’exemple ci-dessus, des femmes travaillant en temps partiel :

  • FF : « La personne choisie est une femme », avec p(F)=0,85p(F)=0,85.
  • TT : « La personne choisie travaille à temps partiel », pF(T)=0,62p_F(T)=0,62.
  • Nous cherchons la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit une femme en temps partiel, soit p(FT)p(F\cap T).
  • Utilisons un arbre pondéré :

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  • Nous ignorons les probabilités pour qu’un homme soit en temps partiel, mais cela ne nous intéresse pas.
  • Car nous cherchons uniquement la probabilité que la personne choisie au hasard soit une femme en temps partiel : il n’y a qu’un seul « chemin », le premier, qui mène à FTF\cap T, et nous y avons toutes les probabilités nécessaires.
  • Ainsi :

p(FT)=p(F)×pF(T)=0,85×0,62=0,527\begin{aligned} p(F\cap T)&=p(F)\times p_F(T) \ &=0,85\times0,62 \ &=0,527 \end{aligned}

Un autre mode de représentation d’une telle expérience est le tableau à double entrée :

AA Aˉ\bar {A} Total
BB p(AB)p(A\cap B) p(AˉB)p(\bar{A}\cap B) p(B)p(B)
Bˉ\bar{B} p(ABˉ)p(A\cap \bar{B}) p(AˉBˉ)p(\bar{A}\cap \bar{B}) p(Bˉ)p(\bar{B})
Total p(A)p(A) p(Aˉ)p(\bar{A}) 11
bannière attention

Attention

Les probabilités conditionnelles ne peuvent pas se lire directement dans un tableau (contrairement à un arbre). Il faudra passer par le calcul.

Exemple :
On considère un établissement scolaire dont la situation des élèves est donnée dans le tableau suivant :

Internes Demi-pensionnaires Externes Total
Filles 120120 240240 440440 800800
Garçons 200200 240240 760760 12001\,200
Total 320320 480480 12001\,200 20002\,000
  • On nomme les événements comme suit :
  • FF : « L’élève est une fille ».
  • GG : « L’élève est un garçon ».
  • II : « L’élève est interne ».
  • DD : « L’élève est demi-pensionnaire ».
  • EE : « L’élève est externe ».
  • On choisit un élève au hasard.
  • Quelle est la probabilité que l’élève soit interne :

p(I)=3202 000=425\begin{aligned} p(I)&=\dfrac{320}{2~000} \ &=\dfrac{4}{25} \end{aligned}

  • Quelle est la probabilité que l’élève soit une fille :

p(F)=8002 000=25\begin{aligned} p(F)&=\dfrac{800}{2~000} \ &=\dfrac{2}{5} \end{aligned}

  • Quelle est la probabilité que l’élève soit une fille interne :

p(IF)=1202000=350\begin{aligned} p(I\cap F)&=\dfrac{120}{2\,000} \ &=\dfrac{3}{50} \end{aligned}

  • Quelle est la probabilité que ce soit une fille sachant que l’élève est interne :

pI(F)=p(IF)p(I)=(1202000)(3202 000)=120320=38\begin{aligned} p_I(F)&=\dfrac{p(I\cap F)}{p(I)} \ &=\dfrac{\big(\frac{120}{2\,000}\big)}{\big(\frac{320}{2~000}\big)} \ &= \dfrac{120}{320} \ &=\dfrac{3}{8} \end{aligned}

Ou bien, parmi les 320320 internes, 120120 sont des filles, donc :

pI(F)=120320=38\begin{aligned} p_I(F)&=\dfrac{120}{320} \ &=\dfrac{3}{8} \end{aligned}

  • Sachant que c’est une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit interne :

pF(I)=p(IF)p(F)=(1202000)(8002000)=120800=320\begin{aligned} p_F(I)&=\dfrac{p(I\cap F)}{p(F)} \ &=\dfrac{\big(\frac{120}{2\,000}\big)}{\big(\frac{800}{2\,000}\big)} \ &=\dfrac{120}{800} \ &=\dfrac{3}{20} \end{aligned}

Ou bien, parmi les 800800 filles, 120120 sont internes, donc :

pF(I)=120800=320\begin{aligned} p_F(I)&=\dfrac{120}{800} \ &=\dfrac{3}{20} \end{aligned}

Formules des probabilités totales

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Propriété

Les ensembles ADA\cap D, BDB\cap D et CDC\cap D forment une partition de DD, c’est-à-dire que leur intersection est l’ensemble vide et leur réunion est l’ensemble DD.

On a alors :
p(D)=p(AD)+p(BD)+p(CD)p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D).

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Exemple :
Dans un pays, 2 %2\ \% de la population est contaminée par un virus.

On dispose d’un test de dépistage qui a les propriétés suivantes :

  • La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est 0,990,99.
  • La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est 0,970,97.

On fait passer le test à une personne choisie au hasard dans la population.
Quelle est la probabilité que le test soit positif :

  • On nomme les événements comme suit :
  • C : « La personne est contaminée ».
  • T : « Le test est positif ».
  • Commençons par traduire l’énoncé en termes de probabilités :
  • p(C)=0,02p(C)=0,02 et p(Cˉ)=1p(C)=10,02=0,98p(\bar{C})=1-p(C)=1-0,02=0,98
  • pC(T)=0,99pC (T)=0,99 et pC(Tˉ)=10,99=0,01pC(\bar{T})=1-0,99=0,01
  • pCˉ(Tˉ)=0,97p{\bar{C}}(\bar{T})=0,97 et pCˉ(T)=10,97=0,03p{\bar{C}}(T)=1-0,97=0,03

mathématiques première réforme probabilités conditionnelles indépendance arbre pondéré

On voit qu’il y a deux « chemins » qui conduisent à TT, il va donc falloir utiliser la formule des probabilités totales (notons que CTC\cap T et CˉT\bar{C}\cap T forment une partition de TT) :

p(T)=p(CT)+p(CˉT)=p(C)×pC(T)+p(Cˉ)×pCˉ(T)=0,02×0,99+0,98×0,03=0,0492\begin{aligned} p(T)&=p(C \cap T)+p(\bar{C} \cap T) \ &=p(C)\times pC(T)+p(\bar{C})\times p{\bar{C}}(T)\ &=0,02 \times0,99+0,98\times 0,03 \ &=0,0492 \end{aligned}

Indépendance de deux événements

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Définition

Événements indépendants :

Deux événements AA et BB de probabilité non nulle sont dits indépendants si et seulement si l’une des deux égalités suivantes est vérifiée :

pA(B)=p(B) ou : pB(A)=p(A)\begin{aligned}pA(B)&=p(B) \ \text{\ ou :\ }pB(A)&=p(A) \end{aligned}

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Propriété

Deux événements AA et BB de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si :

p(AB)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A)\times p(B)

Si deux événements AA et BB sont indépendants, alors il en est de même :

  • pour les événements Aˉ\bar{A} et BB,
  • pour les événements AA et Bˉ\bar {B},
  • pour les événements Aˉ\bar{A} et Bˉ\bar{B}.