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Probabilités conditionnelles et indépendance

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Conditionnement

  • Soit AA et B B deux événements de l’univers Ω\Omega, avec AA de probabilité non nulle (p(A)0)(p(A)\neq0) :
  • la probabilité conditionnelle de BB sachant AA est le nombre noté pA(B)pA(B) défini par : pA(B)=p(AB)p(A)pA(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} ;
  • p(AB)=p(A)×pA(B) (avec p(A)0)p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)\ \big(\text{avec} \ p(A)\neq0\big) ;
  • p(AB)=p(B)×pB(A) (avec p(B)0)p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)\ (\text {avec} \ p(B)\neq0).
  • On peut représenter une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre pondéré :

 arbre de probabilités mathématiques terminale ES L

  • Sur les branches du 1er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
  • Sur les branches du 2e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
  • Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 11.
  • Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.
  • Un autre mode de représentation d’une telle expérience est le tableau à double entrée :

AA Aˉ\bar {A} Total
BB p(AB)p(A\cap B) p(AˉB)p(\bar{A}\cap B) p(B)p(B)
Bˉ\bar{B} p(ABˉ)p(A\cap \bar{B}) p(AˉBˉ)p(\bar{A}\cap \bar{B}) p(Bˉ)p(\bar{B})
Total p(A)p(A) p(Aˉ)p(\bar{A}) 11

Probabilités totales et événements indépendants

  • Les ensembles ADA\cap D, BDB\cap D et CDC\cap D forment une partition de DD, c’est-à-dire que leur intersection est l’ensemble vide et leur réunion est l’ensemble DD.
  • On a alors : p(D)=p(AD)+p(BD)+p(CD)p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D).
  • Deux événements AA et BB de probabilité non nulle sont dits indépendants si et seulement si :
  • pA(B)=p(B)pA(B)=p(B) ou pB(A)=p(A)pB(A)=p(A) ;
  • p(AB)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A)\times p(B).
  • Si deux événements AA et BB sont indépendants, alors il en est de même :
  • pour les événements Aˉ\bar{A} et BB ;
  • pour les événements AA et Bˉ\bar {B} ;
  • pour les événements Aˉ\bar{A} et Bˉ\bar{B}.