Probabilités conditionnelles et indépendance

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Conditionnement

  • Soit $A$ et $ B$ deux événements de l’univers $\Omega$, avec $A$ de probabilité non nulle $(p(A)\neq0)$ :
  • la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est le nombre noté $p_A(B)$ défini par : $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$ ;
  • $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)\ \big(\text{avec} \ p(A)\neq0\big)$ ;
  • $p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)\ (\text {avec} \ p(B)\neq0)$.
  • On peut représenter une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre pondéré :

 arbre de probabilités mathématiques terminale ES L

  • Sur les branches du 1er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
  • Sur les branches du 2e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
  • Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à $1$.
  • Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.
  • Un autre mode de représentation d’une telle expérience est le tableau à double entrée :

$A$ $\bar {A}$ Total
$B$ $p(A\cap B)$ $p(\bar{A}\cap B)$ $p(B)$
$\bar{B}$ $p(A\cap \bar{B})$ $p(\bar{A}\cap \bar{B})$ $p(\bar{B})$
Total $p(A)$ $p(\bar{A})$ $1$

Probabilités totales et événements indépendants

  • Les ensembles $A\cap D$, $B\cap D$ et $C\cap D$ forment une partition de $D$, c’est-à-dire que leur intersection est l’ensemble vide et leur réunion est l’ensemble $D$.
  • On a alors : $p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D)$.
  • Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont dits indépendants si et seulement si :
  • $p_A(B)=p(B)$ ou $p_B(A)=p(A)$ ;
  • $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
  • Si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors il en est de même :
  • pour les événements $\bar{A}$ et $B$ ;
  • pour les événements $A$ et $\bar {B}$ ;
  • pour les événements $\bar{A}$ et $\bar{B}$.