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Programme Lycée 1ereCours Enseignement scientifiqueSemaine 2 - Probabilités et phénomènes aléatoiresFiche de révision : Semaine 2 - Probabilités et phénomènes aléatoiresFiche de révision Semaine 2 - Probabilités et phénomènes aléatoires
Ce planning de révision concerne les élèves de Première suivant l’enseignement scientifique. Il regroupe les notions, QCM et exercices correspondant au programme spécifique de cet enseignement.
👉 Les élèves suivant la spécialité mathématiques doivent utiliser le planning dédié à la spécialité, disponible ici :
Fréquences marginales et conditionnelles
Fréquence marginale
Définition
Dans un tableau croisé d’effectifs, la fréquence marginale est le quotient de la somme des effectifs d’une ligne (ou d’une colonne) par l’effectif total.
$$f = \dfrac{\text{somme ligne ou colonne}}{\text{effectif total}}$$
À retenir
- On utilise les totaux « en marge » du tableau.
- C’est une proportion sur l’ensemble de la population.
Fréquence conditionnelle
Définition
La fréquence conditionnelle de $B$ parmi $A$ est la fréquence du caractère $B$ dans la sous-population des individus vérifiant $A$.
$$f_A(B) = \dfrac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}$$
À retenir
- On change de total : on travaille uniquement dans $A$.
- C’est une proportion « sachant que ».
Des fréquences aux probabilités
Équiprobabilité
Définition
Lors d’un tirage aléatoire dans une population finie (équiprobabilité), une fréquence peut être assimilée à une probabilité.
$$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$$
À retenir
- Une fréquence marginale devient une probabilité simple.
- Une fréquence conditionnelle devient une probabilité conditionnelle.
Probabilité conditionnelle
Définition
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$, est : $$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
À retenir
$$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$$
Arbre de probabilités
Construction
Définition
Un arbre de probabilités représente les issues d’une expérience aléatoire et les probabilités associées.
À retenir
- 1er niveau : probabilités simples
- 2e niveau : probabilités conditionnelles
- La somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1 $$P(A) + P(\overline{A}) = 1$$
Calculs dans un arbre
Propriété
- Probabilité d’un chemin : $$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$$
- Probabilité totale : $$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$$
- La somme des probabilités issues d’un même nœud est égale à $1$. Par exemple :
$$\text{P}(\text{A})+\text{P}(\overline \text{A})=1\qquad\qquad \text{P}_{\overline \text{A}}(\text{B})+\text{P}_{\overline \text{A}}(\overline \text{B})=1$$ - La probabilité de l’événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités des branches composant ce chemin. Par exemple :
$$\text{P}(\text{A}\cap \overline \text{B})=\text{P}(\text{A})\times \text{P}_\text{A}(\overline \text B)$$ - La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités correspondant aux chemins qui y mènent. Par exemple :
$$\begin{aligned} \text{P}(\overline \text{B})&=\text{P}(\text{A}\cap \overline \text{B})+\text{P}(\overline \text{A}\cap \overline \text{B}) \\ &=\text{P}(\text{A})\times \text{P}_\text{A}(\overline \text{B})+\text{P}(\overline \text{A})\times \text{P}_{\overline \text{A}}(\overline \text{B}) \end{aligned}$$
Indépendance
Événements indépendants
Définition
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si : $$P_A(B) = P(B)$$
Ce qui est équivalent à : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
À retenir
- La réalisation de $A$ n’influence pas celle de $B$.
- Tester avec la formule du produit.
Succession d’épreuves indépendantes
Définition
Des épreuves successives sont indépendantes si le résultat de l’une n’influence pas les suivantes.
À retenir
- Avec remise → indépendance
- Sans remise → dépendance en général $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Astuce
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Consulte le cours :
🎯 À maîtriser pour le bac
- Calculer une fréquence marginale
- Calculer une fréquence conditionnelle
- Utiliser $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
- Exploiter un arbre de probabilités
- Tester l’indépendance avec $P(A \cap B) = P(A)P(B)$