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Représentation complète des actions

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Introduction :

Dans le cours précédent, nous avons décrit de manière précise la notion de force. Si celle-ci peut décrire le mouvement de translation d’un système, elle est insuffisante pour décrire un mouvement de rotation.

Dans ce nouveau cours, nous allons donc définir une nouvelle notion, le moment d’une force, qui nous permettra de rendre compte de la situation d’un système de manière plus complète.
Cela nous permettra d’identifier l’action qu’exercent une force et son moment sur un système.

Moment d’une force

Définition

Considérons deux plongeoirs, de poids identique mais l’un plus court que l’autre, et deux personnes, de poids identique, qui se trouvent à l’extrémité de la planche.

Pour les deux plongeoirs, les forces exercées sont :

  • le poids du plongeoir, qui s’applique en son point de gravité (GG et GG^\prime) : P\vec P ;
  • la force de la personne sur le plongeoir, qui s’applique en une extrémité (II et II^\prime) du plongeoir : Fperspl\vec F_{\text{pers}\rightarrow\text{pl}} (nous considérons qu’il s’agit de son seul poids) ;
  • la force du sol sur le plongeoir, qui s’applique en l’autre extrémité (BB et BB^\prime) : Fsolpl\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}.

sciences de l’ingénieur première représentation actions moment force (D’après un modèle de D. Vesvard)

Sur les deux plongeoirs, les poids étant identiques, les forces sont identiques. Pourtant, les deux systèmes « plongeoir » ne se comportent pas de la même façon : intuitivement, nous sentons que la personne de droite ira plus haut et plus loin que la personne de gauche.

Les seules différences entre les deux situations sont :

  • le point d’application de P\vec P, avec donc BG<BGBG ;
  • le point d’application de Fperspl\vec F_{\text{pers}\rightarrow\text{pl}}, avec donc BI<BIBI.
  • Pour décrire ce type de situation, nous utilisons la notion de moment d’une force.
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Définition

Moment d’une force :

Le moment est l’aptitude d’une force à faire tourner un système autour d’un point.

Soit F\vec F, une force exercée en un point BB, le moment de F\vec F en un point II s’écrit :

MI(F)\vec M_{\tiny I}(\vec F)

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À retenir

Pour déterminer le moment d’une force F\vec F en un point II, on utilise le produit vectoriel :

MI(F)=FBI\vec M_{\tiny I}(\vec F)=\vec F\land\overrightarrow{BI}

Ainsi, dans un repère orthonormé (O;ı,ȷ,k)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), si F\green{\vec F} a pour coordonnées (xFyFzF)\begin{pmatrix} \green{x{\tiny F}} \ \green{y{\tiny F}} \ \green{z{\tiny F}} \end{pmatrix} et BI  (xIyIzI)\red{ \overrightarrow{BI\ }}\ \begin{pmatrix} \red{x{\tiny I}} \ \red{y{\tiny I}} \ \red{z{\tiny I}} \end{pmatrix} :

MI(F)=(yFzIzFyIzFxIxFzIxFyIyFxI)(O;ı,ȷ,k)=(xMyMzM)(O;ı,ȷ,k)\begin{aligned} \blue{\vec M{\tiny I}(\vec F)}&=\begin{pmatrix} \green{y{\tiny F}} \red{z{\tiny I}}-\green{z{\tiny F}} \red{y{\tiny I}} \ \green{z{\tiny F}} \red{x{\tiny I}}-\green{x{\tiny F}} \red{z{\tiny I}} \ \green{x{\tiny F}} \red{y{\tiny I}}-\green{y{\tiny F}} \red{x{\tiny I}} \ \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ &=\begin{pmatrix} \blue{x{\tiny M}} \ \blue{y{\tiny M}} \ \blue{z{\tiny M}} \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}

Dans la plupart des cas, nous nous intéresserons principalement à la norme du moment :

MI(F)=F×BI ×sin(F, BI )\Big\Vert \vec M_{\tiny I}(\vec F) \Big \Vert=\Big \Vert \vec F\Big \Vert \times \Big \Vert \overrightarrow {BI\ }\Big \Vert \times \sin \Big(\vec F,\ \overrightarrow{BI\ }\Big)

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À retenir

Dans le plan, avec HH la projection orthogonale de II sur la droite de vecteur directeur F\vec F :

sciences de l’ingénieur première représentation actions moment force

  • MI(F)=F×HI\Big\Vert \vec M_{\tiny I} (\vec F) \Big\Vert=\Big\Vert \vec F\Big\Vert \times HI
  • La norme d’un moment, comme produit de la norme d’une force et d’une distance, s’exprime en newton mètre (Nm\text{N}\cdot \text{m}).

Ainsi, si nous reprenons l’exemple des deux plongeoirs, nous nous rendons compte que la norme du moment de la force Fsolpl\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}} est plus petite en II qu’en II^\prime (puisque BI<BIBI) :

MI(Fsolpl)<MI(Fsolpl)\Big\Vert \vec M{\tiny I}(\vec F{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}) \Big\Vert < \Big\Vert \vec M{\tiny I^\prime}(\vec F{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}) \Big\Vert

  • Nous comprenons mieux maintenant pourquoi la personne sur le plongeoir le plus long ira plus haut et plus loin.

Cas particuliers

  • BB et II sont confondus :

sciences de l’ingénieur première représentation actions moment force

MI(F)=MB(F)=F0=0\begin{aligned} \vec M{\tiny I}(\vec F)&= \vec MB(\vec F) \ &=\vec F\land\vec 0 \ &=\vec 0 \end{aligned}

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À retenir

Le moment d’une force calculé en son point d’application est nul.

  • F\vec F est parallèle à l’axe de rotation :

sciences de l’ingénieur première représentation actions moment force

MI(F)=F×BI ×sin0=0\begin{aligned} \vec M_{\tiny I} (\vec F) &= \Big\Vert \vec F\Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{BI\ }\Big\Vert \times \sin 0 \ &=\vec 0 \end{aligned}

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À retenir

Le moment d’une force parallèle à l’axe de rotation est nul.

Représentation analytique d’une force

Comme nous le verrons dans le cours suivant, les lois de la statique se détaillent en prenant en compte les expressions analytiques des forces et de leurs moments.

  • Nous allons donc adopter une présentation de la force qui permettra de faciliter l’écriture de ces lois.

De plus, cette présentation vous permettra d’appréhender plus facilement la notion de torseur, que vous découvrirez en classe supérieure.

Représentation complète d’une force

Intéressons-nous à l’un des plongeoirs, le plus court, par exemple.

sciences de l’ingénieur première représentation actions moment force (D’après un modèle de D. Vesvard)

L’action du sol sur le plongeoir se caractérise par la force Fsolpl\vec F{\text{sol}\rightarrow\text{pl}} et le moment qu’elle crée : MI(Fsolpl)\vec M{\tiny I}(\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}).

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À retenir

Cette action s’écrit ainsi :

{AB(solpl)}I (O;ı,ȷ,k)={FB(solpl)MI(solpl)}(O;ı,ȷ,k)\begin{Bmatrix} A{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green{\vec F{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} \ \blue{\vec M{\tiny I} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Avec :

  • B\green B le point d’application de l’action ;
  • I\blue I le point où est calculé le moment ;
  • FB(solpl)\green{\vec F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} la force de l’action mécanique ;
  • MI(FB(solpl))\blue{\vec M{\tiny I}\big( F{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})\big)} le moment de l’action mécanique.

Nous pouvons maintenant détailler l’expression analytique de l’action, en projetant sa force et son moment sur les axes du repère.

{AB(solpl)}I (O;ı,ȷ,k)={xFBxMIyFByMIzFBzMI}(O;ı,ȷ,k)\begin{Bmatrix} A{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green {x{\tiny FB}} & \blue{x{\tiny MI}} \ \green{y{\tiny FB}} & \blue{y{\tiny MI}} \ \green{z{\tiny FB}} & \blue{z{\tiny MI}} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Avec :

  • FB(solpl)\green{\vec F{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} de coordonnées (xFByFBzFB)(O;ı,ȷ,k)\begin{pmatrix} \green{x{\tiny FB}} \ \green{y{\tiny FB}} \ \green{z{\tiny FB}} \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}
  • MI(solpl)\blue{\vec M{\tiny I} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} de coordonnées (xMIyMIzMI)(O;ı,ȷ,k)\begin{pmatrix} \blue{x{\tiny MI}} \ \blue{y{\tiny MI}} \ \blue{z{\tiny MI}} \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Bilan des forces

Nous l’avons vu plus haut, le moment d’une force calculé en son point d’application est nul.

  • Nous pouvons donc écrire :

{AB(solpl)}B (O;ı,ȷ,k)={xFB0yFB0zFB0}(O;ı,ȷ,k)\begin{Bmatrix} A{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green{x{\tiny FB}} & \blue 0 \ \green{y{\tiny FB}} & \blue 0 \ \green{z{\tiny FB}} & \blue0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Nous pouvons maintenant compléter le bilan des forces, en représentant complètement chacune des actions :

{AB(solpl)}B (O;ı,ȷ,k)={00yFB000}(O;ı,ȷ,k){AG(pesanteurpl)}G (O;ı,ȷ,k)={00mpl×g000}(O;ı,ȷ,k){AI(perspl)}I (O;ı,ȷ,k)={00mpers×g000}(O;ı,ȷ,k)\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \ \green{y{\tiny FB}} & \blue 0 \ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\green G}(\text{pesanteur}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue G\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \ \green{-m{\text{pl}}\times g} & \blue 0 \ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\green I}(\text{pers}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \ \green{-m{\text{pers}}\times g} & \blue 0 \ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}

Conclusion :

Grâce à cette nouvelle notion de moment d’une force, qui se calcule grâce au produit vectoriel, nous pouvons décrire maintenant de manière beaucoup plus complète les actions qui s’opèrent sur un système.

Il reste maintenant à évaluer toutes ces forces. Le principe fondamental de la statique, que nous allons découvrir dans le prochain cours, va nous y aider.