Fiche de révision : Représentation complète des actions

Moment d’une force

• Le moment d’une force est l’aptitude d’une force à faire tourner un système autour d’un point.
• Soit $\vec F$, une force exercée en un point $B$, le moment de $\vec F$ en un point $I$ s’écrit :

$\vec M_{\tiny I}(\vec F)$

• Pour déterminer le moment d’une force $\vec F$ en un point $I$, on utilise le produit vectoriel :

$\vec M_{\tiny I}(\vec F)=\vec F\land\overrightarrow{BI}$

• Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, si $\green{\vec F}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \green{x${\tiny F}} \ \green{y{\tiny F}} \ \green{z{\tiny F}} \end{pmatrix}⎝⎛​xF​yF​zF​​⎠⎞​ et $\red{ \overrightarrow{BI\ }}\ \begin{pmatrix} \red{x${\tiny I}} \ \red{y{\tiny I}} \ \red{z{\tiny I}} \end{pmatrix} :

$\begin{aligned} \blue{\vec M${\tiny I}(\vec F)}&=\begin{pmatrix} \green{y{\tiny F}} \red{z{\tiny I}}-\green{z{\tiny F}} \red{y{\tiny I}} \ \green{z{\tiny F}} \red{x{\tiny I}}-\green{x{\tiny F}} \red{z{\tiny I}} \ \green{x{\tiny F}} \red{y{\tiny I}}-\green{y{\tiny F}} \red{x{\tiny I}} \ \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ &=\begin{pmatrix} \blue{x{\tiny M}} \ \blue{y{\tiny M}} \ \blue{z{\tiny M}} \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}

• La norme du moment, exprimée en newton mètre, s’écrit : $\Big\Vert \vec M_{\tiny I}(\vec F) \Big \Vert=\Big \Vert \vec F\Big \Vert \times \Big \Vert \overrightarrow {BI\ }\Big \Vert \times \sin \Big(\vec F,\ \overrightarrow{BI\ }\Big)$
• Dans le plan, avec $H$ la projection orthogonale de $I$ sur la droite de vecteur directeur $\vec F$ :

$\Big\Vert \vec M_{\tiny I} (\vec F) \Big\Vert=\Big\Vert \vec F\Big\Vert \times HI$

• Cas particuliers :
• le moment d’une force calculé en son point d’application est nul ;
• le moment d’une force parallèle à l’axe de rotation est nul.

Représentation analytique d’une force

• Pour mieux appréhender les lois de la statique, nous adoptons ici une présentation de la force.

Représentation complète d’une force

Intéressons-nous à l’un des plongeoirs, le plus court, par exemple.

L’action du sol sur le plongeoir se caractérise par la force $\vec F${\text{sol}\rightarrow\text{pl}}Fsol→pl​ et le moment qu’elle crée : $\vec M${\tiny I}(\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}).

À retenir

Cette action s’écrit ainsi :

$\begin{Bmatrix} A${\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green{\vec F{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} \ \blue{\vec M{\tiny I} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Avec :

• $\green B$ le point d’application de l’action ;
• $\blue I$ le point où est calculé le moment ;
• $\green{\vec F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})}$ la force de l’action mécanique ;
• $\blue{\vec M${\tiny I}\big( F{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})\big)} le moment de l’action mécanique.

Nous pouvons maintenant détailler l’expression analytique de l’action, en projetant sa force et son moment sur les axes du repère.

$\begin{Bmatrix} A${\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green {x{\tiny FB}} & \blue{x{\tiny MI}} \ \green{y{\tiny FB}} & \blue{y{\tiny MI}} \ \green{z{\tiny FB}} & \blue{z{\tiny MI}} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Avec :

• $\green{\vec F${\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})}FB​(sol→pl) de coordonnées $\begin{pmatrix} \green{x${\tiny FB}} \ \green{y{\tiny FB}} \ \green{z{\tiny FB}} \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}
• $\blue{\vec M${\tiny I} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})}MI​(sol→pl) de coordonnées $\begin{pmatrix} \blue{x${\tiny MI}} \ \blue{y{\tiny MI}} \ \blue{z{\tiny MI}} \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Bilan des forces

Nous l’avons vu plus haut, le moment d’une force calculé en son point d’application est nul.

• Nous pouvons donc écrire :

$\begin{Bmatrix} A${\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green{x{\tiny FB}} & \blue 0 \ \green{y{\tiny FB}} & \blue 0 \ \green{z{\tiny FB}} & \blue0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Nous pouvons maintenant compléter le bilan des forces, en représentant complètement chacune des actions :

$\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A${\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \ \green{y{\tiny FB}} & \blue 0 \ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\green G}(\text{pesanteur}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue G\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \ \green{-m{\text{pl}}\times g} & \blue 0 \ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\green I}(\text{pers}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \ \green{-m{\text{pers}}\times g} & \blue 0 \ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}