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Représentation complète des actions

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Moment d’une force

  • Le moment d’une force est l’aptitude d’une force à faire tourner un système autour d’un point.
  • Soit F\vec F, une force exercée en un point BB, le moment de F\vec F en un point II s’écrit :

MI(F)\vec M_{\tiny I}(\vec F)

  • Pour déterminer le moment d’une force F\vec F en un point II, on utilise le produit vectoriel :

MI(F)=FBI\vec M_{\tiny I}(\vec F)=\vec F\land\overrightarrow{BI}

  • Dans un repère orthonormé (O;ı,ȷ,k)(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), si F\green{\vec F} a pour coordonnées (xFyFzF)\begin{pmatrix} \green{x{\tiny F}} \ \green{y{\tiny F}} \ \green{z{\tiny F}} \end{pmatrix} et BI  (xIyIzI)\red{ \overrightarrow{BI\ }}\ \begin{pmatrix} \red{x{\tiny I}} \ \red{y{\tiny I}} \ \red{z{\tiny I}} \end{pmatrix} :

MI(F)=(yFzIzFyIzFxIxFzIxFyIyFxI)(O;ı,ȷ,k)=(xMyMzM)(O;ı,ȷ,k)\begin{aligned} \blue{\vec M{\tiny I}(\vec F)}&=\begin{pmatrix} \green{y{\tiny F}} \red{z{\tiny I}}-\green{z{\tiny F}} \red{y{\tiny I}} \ \green{z{\tiny F}} \red{x{\tiny I}}-\green{x{\tiny F}} \red{z{\tiny I}} \ \green{x{\tiny F}} \red{y{\tiny I}}-\green{y{\tiny F}} \red{x{\tiny I}} \ \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ &=\begin{pmatrix} \blue{x{\tiny M}} \ \blue{y{\tiny M}} \ \blue{z{\tiny M}} \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}

  • La norme du moment, exprimée en newton mètre, s’écrit : MI(F)=F×BI ×sin(F, BI )\Big\Vert \vec M_{\tiny I}(\vec F) \Big \Vert=\Big \Vert \vec F\Big \Vert \times \Big \Vert \overrightarrow {BI\ }\Big \Vert \times \sin \Big(\vec F,\ \overrightarrow{BI\ }\Big)
  • Dans le plan, avec HH la projection orthogonale de II sur la droite de vecteur directeur F\vec F :

MI(F)=F×HI\Big\Vert \vec M_{\tiny I} (\vec F) \Big\Vert=\Big\Vert \vec F\Big\Vert \times HI

  • Cas particuliers :
  • le moment d’une force calculé en son point d’application est nul ;
  • le moment d’une force parallèle à l’axe de rotation est nul.

Représentation analytique d’une force

  • Pour mieux appréhender les lois de la statique, nous adoptons ici une présentation de la force.

Représentation complète d’une force

Intéressons-nous à l’un des plongeoirs, le plus court, par exemple.

sciences de l’ingénieur première représentation actions moment force (D’après un modèle de D. Vesvard)

L’action du sol sur le plongeoir se caractérise par la force Fsolpl\vec F{\text{sol}\rightarrow\text{pl}} et le moment qu’elle crée : MI(Fsolpl)\vec M{\tiny I}(\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}).

bannière à retenir

À retenir

Cette action s’écrit ainsi :

{AB(solpl)}I (O;ı,ȷ,k)={FB(solpl)MI(solpl)}(O;ı,ȷ,k)\begin{Bmatrix} A{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green{\vec F{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} \ \blue{\vec M{\tiny I} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Avec :

  • B\green B le point d’application de l’action ;
  • I\blue I le point où est calculé le moment ;
  • FB(solpl)\green{\vec F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} la force de l’action mécanique ;
  • MI(FB(solpl))\blue{\vec M{\tiny I}\big( F{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})\big)} le moment de l’action mécanique.

Nous pouvons maintenant détailler l’expression analytique de l’action, en projetant sa force et son moment sur les axes du repère.

{AB(solpl)}I (O;ı,ȷ,k)={xFBxMIyFByMIzFBzMI}(O;ı,ȷ,k)\begin{Bmatrix} A{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green {x{\tiny FB}} & \blue{x{\tiny MI}} \ \green{y{\tiny FB}} & \blue{y{\tiny MI}} \ \green{z{\tiny FB}} & \blue{z{\tiny MI}} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Avec :

  • FB(solpl)\green{\vec F{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} de coordonnées (xFByFBzFB)(O;ı,ȷ,k)\begin{pmatrix} \green{x{\tiny FB}} \ \green{y{\tiny FB}} \ \green{z{\tiny FB}} \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}
  • MI(solpl)\blue{\vec M{\tiny I} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} de coordonnées (xMIyMIzMI)(O;ı,ȷ,k)\begin{pmatrix} \blue{x{\tiny MI}} \ \blue{y{\tiny MI}} \ \blue{z{\tiny MI}} \end{pmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Bilan des forces

Nous l’avons vu plus haut, le moment d’une force calculé en son point d’application est nul.

  • Nous pouvons donc écrire :

{AB(solpl)}B (O;ı,ȷ,k)={xFB0yFB0zFB0}(O;ı,ȷ,k)\begin{Bmatrix} A{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green{x{\tiny FB}} & \blue 0 \ \green{y{\tiny FB}} & \blue 0 \ \green{z{\tiny FB}} & \blue0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}

Nous pouvons maintenant compléter le bilan des forces, en représentant complètement chacune des actions :

{AB(solpl)}B (O;ı,ȷ,k)={00yFB000}(O;ı,ȷ,k){AG(pesanteurpl)}G (O;ı,ȷ,k)={00mpl×g000}(O;ı,ȷ,k){AI(perspl)}I (O;ı,ȷ,k)={00mpers×g000}(O;ı,ȷ,k)\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \ \green{y{\tiny FB}} & \blue 0 \ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\green G}(\text{pesanteur}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue G\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \ \green{-m{\text{pl}}\times g} & \blue 0 \ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \ \ \begin{Bmatrix} A{\green I}(\text{pers}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \ \green{-m{\text{pers}}\times g} & \blue 0 \ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}