Exercices Représentations paramétriques de droites et équations cartésiennes de plans de l’espace

On donne :

$D_1 :\left\lbrace\begin{array}{rcr} x=&1-t \\ y=&2+t \\ z=&3-2t \end{array}, t \in \mathbb{R}\right.$

$D_2 :\left\lbrace\begin{array}{rcr} x=&1+2t \\ y=&2-2t \\ z=&-1-4t \end{array}, t \in \mathbb{R}\right.$

$D_3 :\left\lbrace\begin{array}{rcr} x=&-2+4t \\ y=&1+4t \\ z=&1 \end{array}, t \in \mathbb{R}\right.$

Parmi ces trois droites, déterminer celles qui sont parallèles entre elles.

On donne les deux droites $\Delta$ et $\Delta'$ et les deux plans $P$ et $P'$ suivants :

$\Delta\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x=&-1-t \\ y=&2-3t \\ z=&3t \end{array}, t \in \mathbb{R}$

$P\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x=&-1+2m+3p \\ y=&1+m-p \\ z=&-2m-p \end{array}, m, p \in \mathbb{R}$

$\Delta'\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x=&-1-2t \\ y=&2+t \\ z=&4 \end{array}, t \in \mathbb{R}$

$P'\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x=&-1+m-3p \\ y=&1+m-2p \\ z=&-m+p \end{array}, m, p \in \mathbb{R}$

$\Delta$ et $P$ sont-ils parallèles ?

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$. On considère :

• le vecteur $\vec n$ :

$$\vec n \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

• les points : $A\,(-2\ ;\, 1\ ;\, 6)$ ; $B\,(0\ ;\, 3\ ;\, -4)$ ; $C\,(1\ ;\, 5\ ;\, 2)$ et $D\,(1\ ;\, 0\ ;\, 3)$.
• On admet que les points $A$, $B$ et $D$ ne sont pas alignés et que $C \notin (ABD)$.

Question 1

• Montrer que $\vec n$ est un vecteur normal au plan $(ABD)$.
• En déduire que $(ABD)$ admet pour équation cartésienne :

$$2x+3y+z-5=0$$

Question 2

• Soit $(d)$ la droite passant par $A$
  et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}$.

Quelle est la position relative de $(d)$ et de $(ABD)$ ? Justifier.

• Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

Question 3

• Prouver que le projeté orthogonal de $C$ sur $(ABD)$ est le point $I$ de coordonnées $(-1\ ;\, 2\ ;\, 1)$.
• Quelle est la distance du point $C$ au plan $(ABD)$ ?

Question 4

On considère la sphère $\mathcal S$ de centre $C$ et de rayon $R=\sqrt{41}$.
On admet que la sphère $\mathcal S$ admet pour équation cartésienne :

$$(E):(x-1)^2+(y-5)^2+(z-2)^2=41$$

C’est-à-dire qu’un point $M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)$ appartient à $\mathcal S$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation $(E)$.

• Le point $I$ est-il à l’intérieur ou à l’extérieur de la sphère ? Justifier.
• Déterminer l’intersection de la sphère et de la droite $(d)$.
• On rappelle que, lorsqu’elle existe, la section d’une sphère par un plan est un cercle.

Ici, la section de $\mathcal S$ par $(ABD)$ est un cercle de centre $I$.
Calculer le rayon $r$ de ce cercle.

Soit $D :\left\lbrace \begin{array}{rcr} x=&-1+t \\ y=&5-2t \\ z=&3-t \end{array}\right.,t\in \mathbb{R}$

Donner un système d'équations paramétriques de $\Delta$, la parallèle à $D$ passant par $A(1 ; -2 ;0)$.