Savoir-faire Savoir reconnaître et étudier une suite géométrique

Prérequis

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est le résultat du produit du terme précédent avec une constante appelée raison.

Par exemple $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ est une suite géométrique de raison $2$.

$u_0$	$u_1$	$u_2$	$u_3$	$u_4$
$1$	$2$	$4$	$8$	$16$

Une suite géométrique est donc définie par sa raison notée $q$ et par son premier terme noté $u_0$.

Étapes

Reconnaître une suite géométrique.

Si la suite est définie par récurrence, elle doit être de la forme : $$u_{n+1}=u_n\times r$$

Cette relation peut être également écrite : $$u_n=u_0\times q^n$$

Application numérique :
Pour la suite de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=2$, le 4^e terme $(u_3)$ se calcule : $$u_3=1\times 2^3=8$$

Déterminer la variation et la convergence de la suite.

La variation d’une suite géométrique dépend de $q$ est de $u_0$.

Si $q$ est strictement inférieur à $0$, la suite est dite alternée car oscillant entre des valeurs positives et négatives.
Pour $q$ est compris dans l’intervalle $[0;1[$,
si $u_0$ est positif, la suite sera décroissante et convergera vers $0$,
si $u_0$ est négatif, la suite sera croissante et convergera vers $0$.
Pour $q$ est supérieur à $1$,
si $u_0$ est positif, la suite sera croissant et divergera,
si $u_0$ est négatif, la suite sera décroissante et divergera.