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Simplification des expressions logiques
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Introduction :
Ici, nous allons appliquer les propriétés apprises dans le cours précédent, afin de simplifier une équation logique.
Nous verrons aussi une autre méthode, plus visuelle et rapide, pour opérer une simplification à partir d’une table de vérité.
Exemple de table de vérité
Nous l’avons vu, une table de vérité nous donne une équation logique sous sa forme canonique disjonctive. Celle-ci peut donc avoir de nombreux termes et il conviendra alors de la simplifier.
Pour montrer le principe, nous allons nous appuyer sur la table de vérité suivante :
Simplification algébrique
Utilisons, d’abord, la technique que nous connaissons tous, celle algébrique, en nous appuyant sur les propriétés vues dans le cours précédent.
Dans le tableau suivant, nous indiquons chaque étape de la simplification et nous précisons la propriété appliquée.
Forme canonique disjonctive | |
Distributivité : factorisation par | |
Distributivité : factorisation par | |
élément neutre de , puis commutativité | |
Absorption : | |
Distributivité : développement | |
Distributivité : factorisation par | |
Commutativité | |
Absorption : | |
Distributivité : développement, puis commutativité |
Simplification par la méthode de Karnaugh
Pour simplifier par la méthode algébrique, il faut parfois de nombreuses étapes, procéder à tâtons, sans parler du fait qu’il faut connaître toutes les propriétés (même si ce dernier point, bien sûr, ne nous pose aucun problème…).
De la table de vérité au tableau de Karnaugh
La méthode repose sur la propriété vue et démontrée dans le cours précédent :
Et elle consiste à identifier tous les mintermes qui ne diffèrent que par l’état d’une seule variable (appelés adjacents) : nous pourrons alors « éliminer » la variable qui change d’état.
Dans la propriété citée, seul l’état de change, nous supprimons donc la variable pour ne conserver que .
Nous l’avons dit, si une fonction dépend de variables, il y aura au maximum mintermes.
Tableau de Karnaugh :
Il s’agit d’une table de vérité particulière, à double entrée, qui présente tous les produits possibles entre les variables et leurs compléments.
Le lien entre le nombre de cases d’un tableau de Karnaugh et le nombre de lignes de la table de vérité associée est direct : il y a autant de produits possibles que de lignes dans la table de vérité et de cases dans le tableau de Karnaugh.
Si le nombre de variables est pair, les lignes représenteront les valeurs des premières variables et les colonnes les variables restantes.
Si le nombre de variables est impair, les lignes représenteront les valeurs des premières variables et les colonnes les variables restantes.
Puisqu’il s’agit d’identifier les termes où une seule variable change d’état, il est important, pour les lignes et les colonnes, de donner les valeurs des variables selon l’ordre du code de Gray, et non selon celui du code binaire naturel (comme dans une table de vérité classique).
Voici les tableaux de Karnaugh pour , et variables.
Tableau à variables
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Tableau à variables
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Tableau à variables
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Pour passer d’une table de vérité à un tableau de Karnaugh, il suffit d’écrire dans les cellules qui correspondent aux combinaisons ayant pour sortie , et dans les cellules restantes.
Appliquons ce principe à la table de vérité donnée en début de cours :
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Par exemple :
Simplification à partir du tableau de Karnaugh
Voyons maintenant à quoi ce tableau sert.
Par exemple, intéressons-nous aux deux cellules correspondant à et .
Nous le savons, l’équation de vérité contiendra les termes : .
La simplification par la méthode de Karnaugh repose sur ce principe.
Insistons sur ce point : les termes doivent être groupés par une puissance de .
Regardons deux tableaux de Karnaugh avec variables.
Nous regroupons les termes égaux à . Dans le groupe ainsi formé :
Nous pouvons ici former groupes, l’un de termes, l’autre de termes.
Nous écrivons le terme correspondant : .
Nous écrivons le terme correspondant : .
Pour terminer, reprenons le tableau de Karnaugh constitué à partir de la table de vérité prise en exemple :
Nous constituons groupes de termes.
Conclusion :
Vous l’avez vu, l’algèbre de Boole est régie par des lois proches de celle que vous manipulez depuis longtemps.
Apprendre les formules, bien sûr, mais, en réalité, il ne s’agit que de logique, donc faites travailler votre bon sens et peut-être qu’une lumière s’allumera !
Ainsi pouvez-vous retrouver comment tout cela fonctionne et manipuler les portes logiques même si elles sont nombreuses et qu’elles dépendent de nombreuses variables. Comme dans un microprocesseur, par exemple !