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Simplification des expressions logiques

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Simplification algébrique

  • Écrivons l’équation à partir de la table de vérité :

S=aˉbc+abˉc+abcˉ+abcS=\bar a\cdot b\cdot c+a\cdot \bar b\cdot c+a\cdot b\cdot \bar c+a\cdot b\cdot c

  • Elle est sous sa forme canonique disjonctive.
  • Nous cherchons donc à la simplifier. Dans le tableau suivant, nous indiquons chaque étape de la simplification et nous précisons la propriété appliquée.

S=aˉbc+abˉc+abcˉ+abcS=\bar a\cdot b\cdot c+a\cdot \bar b\cdot c+a\cdot b\cdot \bar c+a\cdot b\cdot c Forme canonique disjonctive
S=aˉbc+a(bˉc+bcˉ+bc)S=\bar a\cdot b\cdot c+\red{a\cdot (\bar b\cdot c+ b\cdot \bar c+ b\cdot c)} Distributivité : factorisation par aa
S=aˉbc+a(bˉc+b(cˉ+c))S=\bar a\cdot b\cdot c+a\cdot \big(\bar b\cdot c+ \red{b\cdot (\bar c+ c)}\big) Distributivité : factorisation par bb
S=aˉbc+a(bˉc+b1)S=\bar a\cdot b\cdot c+a\cdot (\bar b\cdot c+ b\cdot \red 1) cˉ+c=1\bar c + c=1
S=aˉbc+a(b+bˉc)S=\bar a\cdot b\cdot c+a\cdot \red{(b + \bar b\cdot c)} 11 élément neutre de ET\text{ET}, puis commutativité
S=aˉbc+a(b+c)S=\bar a\cdot b\cdot c+a\cdot \red{(b + c)} Absorption : b+bˉc=b+cb + \bar b\cdot c = b+c
S=aˉbc+ab+acS=\bar a\cdot b\cdot c+\red{a\cdot b + a\cdot c} Distributivité : développement
S=c(aˉb+a)+abS=\red{c\cdot(\bar a\cdot b+a)}+a\cdot b Distributivité : factorisation par cc
S=c(a+aˉb)+abS=c\cdot\red{ (a+\bar a\cdot b)}+a\cdot b Commutativité
S=c(a+b)+abS=c\cdot\red{(a+ b)}+a\cdot b Absorption : a+aˉb=a+ba + \bar a\cdot b = a+b
S=ab+ac+bcS=a\cdot b + a\cdot c+b\cdot c Distributivité : développement, puis commutativité
  • L’expression simplifiée est donc : S=ab+ac+bcS=a\cdot b + a\cdot c+b\cdot c.

Simplification par la méthode de Karnaugh

De la table de vérité au tableau de Karnaugh

  • La méthode repose sur la propriété suivante : ab+abˉ=aa\cdot \red b+a\cdot \red {\bar b}=a.
  • Elle consiste à identifier tous les mintermes qui ne diffèrent que par l’état d’une seule variable.
  • Si une fonction dépend de nn variables, il y aura au maximum 2n2^n mintermes. Nous les représentons dans un tableau de Karnaugh.
  • Ce tableau est une table de vérité, à double entrée, qui présente tous les produits possibles entre les variables et leurs compléments. Un tel tableau comptera 2n2^n cellules :
  • si le nombre de variables nn est pair, les lignes représenteront les valeurs des n2\frac n2 premières variables et les colonnes les n2\frac n2 variables restantes ;
  • si le nombre de variables nn est impair, les lignes représenteront les valeurs des n12\frac {n-1}2 premières variables et les colonnes les n+12\frac {n+1}2 variables restantes.
  • Pour passer d’une table de vérité à un tableau de Karnaugh, il suffit d’écrire 11 dans les cellules qui correspondent aux combinaisons ayant pour sortie 11, et 00 dans les cellules restantes.
  • Pour montrer le principe, nous allons nous appuyer sur la table de vérité suivante :

aa bb cc S\red S
00 00 00 0\red 0
00 00 11 0\red 0
00 11 00 0\red 0
00 11 11 1\red1
11 00 00 0\red0
11 00 11 1\red1
11 11 00 1\red1
11 11 11 1\red1
  • Nous obtenons le tableau de Karnaugh suivant :

bcbc\rightarrow

aa\downarrow

0000 0101 1111 1010
00 00 00 11 00
11 00 11 11 11

Simplification à partir du tableau de Karnaugh

  • Dans le tableau, nous regroupons les valeurs égales adjacentes par une puissance de 22 (11, 22, 44, 88, 1616, etc.).
  • La dernière ligne est adjacente à la première, la dernière colonne est adjacente à la première colonne.
  • Nous veillons à ce que toutes les valeurs égales appartiennent à un groupe.
  • Un terme peut participer à plusieurs groupes (car a+a=aa + a = a).
  • Dans chaque groupe, nous supprimons la ou les variables qui changent d’état.
  • Si un groupe contient un seul terme, nous ne pouvons évidemment supprimer aucune variable.
  • Nous écrivons le produit des variables restantes, avec leurs valeurs dans le tableau.
  • Nous faisons la somme de l’ensemble des termes ainsi obtenus.

première sciences de l’ingénieur table de vérité tableau de Karnaugh

  • Nous constituons 33 groupes de 22 termes.
  • Pour celui encadré en bleu, seul aa change de valeur : bcb\cdot c.
  • Pour celui encadré en rouge, seul bb change de valeur : aca\cdot c.
  • Pour celui encadré en vert, seul cc change de valeur : aba\cdot b.
  • D’où l’équation logique : S=ab+ac+bcS=a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c.