Exercices Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale

Indiquer en justifiant rigoureusement si les affirmations suivantes sont exactes ou fausses.
Les résultats seront arrondis au centième.

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(n,: 0.2)$ avec $n \ge 2$ alors $P(X=1)= 0.04 \times 0.8^{n-2}$.

Dans un parc de stationnement d’un hypermarché on sélectionne au hasard une voiture.
Pour chacune des quatre expériences aléatoires suivantes, justifier si on est en présence ou non d’une épreuve de Bernoulli.

On regarde si le véhicule est électrique.

Dans les réponses aux questions 1 à 4, les probabilités seront écrites sous forme de fraction irréductible.

Pour se faire connaître, une entreprise crée un jeu sous la forme d’un ticket de $16$ cases à gratter. Parmi les $16$ cases, sont cachées exactement $3$ cases représentant des trèfles.
Un joueur achète un ticket pour $3$ euros.
Les règles sont les suivantes : il gratte au hasard $2$ et seulement $2$ cases. S’il trouve $2$ trèfles, il gagne $15$ euros ; s’il trouve $1$ seul trèfle, il gagne $3$ euros ; enfin, s’il ne découvre aucun trèfle, il ne gagne rien.

On note $L_1$ l’événement : « Le joueur trouve un trèfle sous la première case grattée », et $L_2$ l’événement : « Le joueur trouve un trèfle sous la deuxième case grattée ».

Question 1

Quelle est la probabilité $P(L_1)$ que le joueur trouve un trèfle sous la première case choisie ?
Quelle est la probabilité $P_{L_1}(L_2)$ que le joueur trouve un trèfle sous la deuxième case sachant qu’il a déjà trouvé un trèfle sous la première ?

Question 2

Modéliser la situation par un arbre pondéré.

Question 3

Calculer la probabilité de l’événement $U$ : « Le joueur trouve un seul trèfle sur les deux cases choisies ».

Question 4

On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne, en euro, le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre ce qu’il a gagné et les $3$ euros que coûte un ticket.

• Quels sont les valeurs possibles pour $Y$ ?
• Calculer $E(Y)$, l’espérance de la variable aléatoire $Y$.
  Ce jeu est-il équitable ?
• Le joueur se considère « gagnant » et le ticket est dit « gagnant » si le gain algébrique est supérieur ou égal à $0$.
  Montrer que $P(Y\geq 0)=\dfrac 7{20}$.

Dans la suite de l’exercice, on notera $p$ cette probabilité et on utilisera $p=0,35$.
Les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.

Question 5

Antoine a acheté un ticket et n’a pas trouvé de trèfle : il a perdu. Mécontent, il décide d’acheter $10$ autres tickets et de jouer en grattant $2$ cases au hasard sur chacun d’entre eux.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de tickets gagnants.

• Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ?
• Calculer la probabilité que, sur ces $10$ tickets, $2$ soient des tickets gagnants.
• Calculer la probabilité qu’il y ait au moins $1$ ticket gagnant sur les $10$.

Question 6

Dans cette question, Antoine achète $n$ tickets ($n\geq 1$) et joue.
Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu’Antoine gagne au moins une fois soit supérieure à $99\,\%$ ?