Exercices Suites numériques, modèles discrets et limites

En 2010, un pays était couvert de $5$ millions de kilomètres carrés de forêts. Depuis, $2\,\%$ de ces forêts sont détruites chaque année pour être converties en terres agricoles ou en pâturages ; les arbres de la région ayant une durée de régénération beaucoup plus lente, on estime donc que la surface des forêts diminue annuellement de $2\,\%$.

On considère la suite $(u_n)$ qui modélise, pour tout entier naturel $n$, la surface des forêts de ce pays au début de l’année $2010+n$. $(u_n)$ s’exprime en millions de $\text{km}^2$.

• Ainsi, $u_0$ représente la surface boisée, en $\text{km}^2$, au début de l’année $2010$ :

$$u_0=5$$

Question 1

Calculer $u_1$ et $u_2$.

Question 2

• Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique et donner sa raison.
  En déduire que, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_n=5\times 0,98^n$$

• Calculer $u_{11}$ et donner le résultat arrondi au centième.
  Interpréter le résultat trouvé.
• Déterminer en justifiant la limite de la suite $(u_n)$.

Question 3

On note, pour tout entier naturel $n$, $s_n$ la surface d’arbres coupés l’année $2010+n$.

• Exprimer la surface $s_n$ en fonction de $n$.
• Calculer la somme $s_0+s_1+⋯+s_{10}+s_{11}$ et montrer qu’elle vaut environ $1,08$.
  Quelle interprétation donner à ce résultat ?

Alerté par les scientifiques spécialistes de la biodiversité, le gouvernement de ce pays décide, en 2021, de lancer un programme de reboisement. Les parcelles forestières sont défrichées à la même cadence, mais, dans le même temps, on plante chaque année des arbres à croissance « rapide » sur une surface de $50\,000\ \text{km}^2$.

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par la relation de récurrence :

$$v_{n+1}=0,98 v_n+0,05$$

$(v_n)$ modélise ainsi la surface des forêts de ce pays au début de l’année $2021+n$.
Son premier terme est $v_0=u_{11}=4$.

Question 4

On note $\alpha$ la solution de l’équation :

$$x=0,98x+0,05$$

• Déterminer la valeur de $\alpha$.
• On note $(w_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :

$$w_n=v_n-\alpha$$

Prouver que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $0,98$.

• Donner l’expression de $w_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
• Quelle est la limite de $(v_n)$ ? Interpréter cette limite.

Question 5

Les scientifiques annoncent qu’afin de préserver toutes les espèces qui y vivent, il est nécessaire que soit conservée au moins $60\,\%$ de la surface des forêts de 2010.

• Justifier que cette contrainte peut se traduire par l’inéquation :

$$v_n\geq 3$$

• On admet que la suite $(v_n)$ est décroissante.
  À la fin de son exécution, l’algorithme suivant renvoie la valeur de la variable $N$ telle que, pour la première fois :

$$v_N < 3$$

Compléter cet algorithme :

• Quand on programme et exécute cet algorithme, il affiche la valeur $55$. Interpréter ce résultat.