En 2010, un pays était couvert de $5$ millions de kilomètres carrés de forêts. Depuis, $2\,\%$ de ces forêts sont détruites chaque année pour être converties en terres agricoles ou en pâturages ; les arbres de la région ayant une durée de régénération beaucoup plus lente, on estime donc que la surface des forêts diminue annuellement de $2\,\%$.
On considère la suite $(u_n)$ qui modélise, pour tout entier naturel $n$, la surface des forêts de ce pays au début de l’année $2010+n$. $(u_n)$ s’exprime en millions de $\text{km}^2$.
$$u_0=5$$
Question 1
Calculer $u_1$ et $u_2$.
Question 2
$$u_n=5\times 0,98^n$$
Question 3
On note, pour tout entier naturel $n$, $s_n$ la surface d’arbres coupés l’année $2010+n$.
Exprimer la surface $s_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $s_0+s_1+⋯+s_{10}+s_{11}$ et montrer qu’elle vaut environ $1,08$.
Quelle interprétation donner à ce résultat ?
Alerté par les scientifiques spécialistes de la biodiversité, le gouvernement de ce pays décide, en 2021, de lancer un programme de reboisement. Les parcelles forestières sont défrichées à la même cadence, mais, dans le même temps, on plante chaque année des arbres à croissance « rapide » sur une surface de $50\,000\ \text{km}^2$.
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par la relation de récurrence :
$$v_{n+1}=0,98 v_n+0,05$$
$(v_n)$ modélise ainsi la surface des forêts de ce pays au début de l’année $2021+n$.
Son premier terme est $v_0=u_{11}=4$.
Question 4
On note $\alpha$ la solution de l’équation :
$$x=0,98x+0,05$$
$$w_n=v_n-\alpha$$
Prouver que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $0,98$.
Donner l’expression de $w_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
Quelle est la limite de $(v_n)$ ? Interpréter cette limite.
Question 5
Les scientifiques annoncent qu’afin de préserver toutes les espèces qui y vivent, il est nécessaire que soit conservée au moins $60\,\%$ de la surface des forêts de 2010.
$$v_n\geq 3$$
$$v_N < 3$$
Compléter cet algorithme :
$\quad\begin{aligned}
&\text N \leftarrow 0 \\
&\text V \leftarrow 4 \\
&\text{Tant que }…………… \\
&\qquad \text V \leftarrow\ …………… \\
&\qquad \text N \leftarrow\ …………… \\
&\text{Fin Tant que} \\
&\text{Afficher N}
\end{aligned}\quad$ |
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