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Système optique et formation d'images : la lunette astronomique

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Celles présentes sont juste des « brouillons »
afin de permettre une meilleure compréhension du cours,
jusqu’à ce que les définitives soient prêtes.

Nos graphistes font tout leur possible pour les réaliser au plus vite.

Introduction :

L’association de deux lentilles pour créer une image agrandie d’un objet est une idée datant de la fin du XVIe siècle. Plusieurs scientifiques s’y sont intéressés, cependant Galilée, physicien, mathématicien mais aussi astronome italien eu l’idée d’associer deux lentilles pour créer un instrument optique : la lunette astronomique. Une vingtaine d’années après la première description de cette association, nous avons pu observer les objets célestes.

Ce cours présentera la lunette astronomique et son mode de fonctionnement, puis détaillera la lunette la plus utilisée : la lunette astronomique afocale. Enfin, sera traité une caractéristique très importante des lunettes : le grossissement.

La lunette astronomique

Le modèle optique d’une lunette astronomique afocale

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Définition

Lunette astronomique afocale :

La lunette astronomique est un dispositif optique qui permet d’obtenir une image agrandie, d’un objet très éloigné.

Une lunette astronomique est dite afocale si le point foyer image de l’objectif (F1)(F^\prime1) est confondu avec le point foyer objet de l’oculaire (F2)(F2).

La lunette astronomique dispose de deux lentilles convergentes ayant le même axe optique :

  • la première lentille est l’objectif et possède une distance focale importante ;
  • la deuxième lentille est l’oculaire et possède une plus faible distance focale.

physique chimie terminale système optique et formation d’images lunette astronomique Schéma d’une lunette astronomique

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Rappel

Une lentille convergente se schématise ainsi :

physique chimie terminale système optique et formation d’images lunette astronomique lentille convergente

Construction d’une image à travers une lunette astronomique afocale

Nous allons voir comment une lunette astronomique afocale construit l’image d’un objet ABAB situé « à l’infini ».
Nous nous intéressons notamment aux rayons émis par le point BB placé à l’infini : on considère que les rayons émis par un point placé « à l’infini » atteignent l’œil de l’observateur – ou l’objectif de la lunette – parallèles entre eux.

  • Une lunette astronomique sert à observer des images très lointaines, que l’on peut donc considérer comme « à l’infini ». Cette modélisation est donc justifiée.

Une lunette astronomique afocale renvoie à l’œil une image également « à l’infini ». Cela lui évite d’accommoder et permet une observation sans fatigue.
Ainsi, les rayons qui ont atteint l’objectif étaient parallèles entre eux, ceux qui sortent de l’oculaire le sont aussi : il n’y ni convergence ni divergence des rayons.

  • La lunette se comporte comme un instrument sans foyer, d’où le qualificatif afocale.
  • Considérons donc un objet ABAB situé à l’infini, avec le point BB placé à l’infini, noté BB\infty, et le point AA aussi placé à l’infini, sur l’axe optique, noté AA\infty. Nous représentons un rayon émis par le point BB.

Alt texte

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Attention

Les images de ce cours ne sont volontairement pas à l’échelle, afin d’avoir des schémas plus lisibles.

  • Nous allons maintenant montrer comment ce rayon se comporte après avoir traversé la lentille de l’objectif L1L_1.

Les rayons qui proviennent de BB à l’infini, après avoir traversé la lentille convergente L1L_1, vont tous se couper en un point.
Pour déterminer ce point d’intersection, nous allons nous servir de deux rayons particuliers, qui sont tous deux parallèles au rayon considéré :

  • le rayon représenté en bleu, qui passe par le centre optique O1O_1 et qui n’est pas dévié ;
  • le rayon représenté en violet, qui passe par le foyer objet F1F1 de L1L1 et qui émerge donc de manière parallèle à l’axe optique.
  • Les deux rayons particuliers se coupent en un point B1B_1, qui est l’image du point BB placé à l’infini.

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  • Et notre rayon initial émergent de L1L_1 passe aussi par ce point :

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  • Le point A1A1, image du point AA placé à l’infini, est donc logiquement placé à la verticale de B1B1, sur l’axe optique : il est confondu avec le foyer image de l’objectif.
  • L’image d’un objet placé à l’infini se forme ainsi sur le plan focal image de l’objectif, c’est-à-dire le plan qui passe par F1F^{\prime}_1 et qui est orthogonal à l’axe optique.

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Démonstration

Nous pouvons d’ailleurs le montrer avec la formule de conjugaison que nous avons vue en première.
Le point A1A1 est l’image du point AA par la lentille L1L1, de centre optique O1O1 et de foyer image F1F^{\prime}1.

  • Nous avons donc, par la relation de conjugaison :

1OA11OA=1OF1\dfrac 1{\overline{OA1}}-\dfrac 1{\overline{OA}}=\dfrac 1{\overline{OF^{\prime}1}}

Or, AA est placé à l’infini, donc : OA\overline{OA} tend vers -\infty (nous travaillons pour rappel avec des mesures algébriques).
Et 1OA\frac 1{\overline{OA}} tend vers 00.

Nous arrivons donc à :

1OA11OA0=1OF1\dfrac 1{\overline{OA1}}\overbrace{-\dfrac 1{\overline{OA}}}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\to 0}}}=\dfrac 1{\overline{OF^{\prime}1}}

  • A1A1 et F1F^{\prime}1 sont confondus. L’image se forme sur le plan focal image.
  • C’est cette image A1B1A1B1, appelée image intermédiaire, qui est l’objet observé par l’oculaire. Nous allons donc maintenant voir comment l’image finale se forme, en étudiant les trois rayons déjà tracés, issus de B1B1, lorsqu’ils atteignent la lentille de l’oculaire L2L2.

Nous l’avons dit, les rayons émergents de L2L_2 seront parallèles entre eux.

  • Traçons là aussi un rayon particulier, celui qui passe par le centre optique O2O2 de L2L2 et qui ne sera pas dévié :

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Nous connaissons maintenant la direction des rayons émergents, nous pouvons prolonger les trois rayons considérés et obtenons l’image BB^{\prime}, aussi à l’infini, que nous notons BB^{\prime}_\infty :

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Remarquons que le rayon représenté en violet, qui est parallèle à l’axe optique, passe par le foyer image F2F^{\prime}2 de la lentille de l’oculaire.
Précisons aussi que le point B1B
1 est placé sur le plan focal objet de L2L_2.

  • Tous les rayons provenant d’un point appartenant au plan focal objet d’une lentille convergente émergent de cette lentille parallèlement entre eux.
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À retenir

Nous comprenons ainsi mieux pourquoi, dans une lunette astronomique afocale, le foyer image de l’objectif doit coïncider avec le foyer objet de l’oculaire si l’on veut que, à la sortie, l’image d’un objet placé à l’infini soit aussi à l’infini.

Construction du faisceau émergent issu d’un point objet situé à l’infini

Dans la partie précédente, nous avons étudié quelques rayons issus du point BB placé à l’infini. Nous allons maintenant nous intéresser à l’ensemble des rayons issus de BB qui atteignent l’objectif, c’est-à-dire au faisceau lumineux qu’il capte.

  • Nous avons vu que le point image de BB appartient au plan focal image de L1L1. Nous ne gardons que le rayon qui passe par le centre O1O1 et qui n’est pas dévié : B1B_1 est à l’intersection de ce rayon et du plan focal image.

Nous représentons cette fois les rayons qui passent par les bords de la lentille de l’objectif et qui délimitent le faisceau lumineux capté (ils sont parallèles au rayon bleu) :

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  • Nous prolongeons ces rayons, qui passent donc par B1B1, pour avoir le faisceau qui émerge de L1L1 :

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  • Nous savons aussi prolonger les rayons après avoir traversé L2L2, puisqu’ils sont parallèles entre eux (et donc à celui qui passe par O2O2). Nous obtenons ainsi le faisceau émergent issu du point BB placé à l’infini :

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Le faisceau émergent est plus étroit que celui incident : il y a concentration de la lumière.

  • La lunette astronomique afocale permet ainsi d’avoir une image plus lumineuse.

Remarquons aussi que le diamètre de l’objectif est une caractéristique importante : plus il est grand, plus il collecte de lumière.

Le grossissement d’une lunette astronomique

Nous venons de voir qu’une lunette astronomique permet de concentrer la lumière. Évidemment, elle permet aussi de grossir les objets observés.

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Définition

Grossissement :

Le grossissement standard, noté GG, d’une lunette astronomique est le rapport de l’angle θ\theta^\prime sous lequel est vu l’image formée ABA^\prime B^\prime à travers la lunette et l’angle θ\theta sous lequel est vu l’objet ABAB à l’œil nu.

  • L’intérêt de la lunette est d’augmenter l’angle θ\theta pour mieux discerner les points AA et BB.

G=θθG=\dfrac{\theta^\prime}{\theta} C’est une grandeur sans dimension.

Dans le cas d’une lunette astronomique afocale, on obtient le schéma suivant :

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Les angles θ\theta et θ\theta^\prime sont des petits angles exprimés en radian, ainsi nous pouvons faire l’approximation de ces petits angles :

  • tan θθ\tan\ \theta\approx \theta ;
  • tan θθ\tan\ \theta^\prime \approx \theta^\prime .
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Rappel

La distance focale image ff^\prime est positive dans le cas d’une lentille convergente, nous pouvons aussi noter que f=OF=OFf^\prime= OF^\prime= OF.

De plus, la vergenceest l’inverse de la distance focale image et s’exprime en dioptrie (δ)( \delta), c’est-à-dire en m1\text{m}^{-1}. V=1fV=\dfrac{1}{f^\prime}

  • Soit le triangle O1A1B1O1A1B1 rectangle en A1A1 :

tan (θ)=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent=A1B1O1A1=A1B1OF1=A1B1f1\begin{aligned} \tan\ (\theta) &=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\ &=\dfrac{A1B1}{O1A1}\ &= \dfrac{A1B1}{OF^\prime1}\ &= \dfrac{A1B_1}{f^\prime _1} \end{aligned}

Ainsi, en appliquant l’approximation des petits angles en radian, nous obtenons : θA1B1f1\theta\approx\dfrac{A1B1}{f^\prime_1}

  • Soit le triangle O2A1B1O2A1B1 rectangle en A1A1 :

\begin{aligned} (\tan) \theta^\prime &=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\ &=\dfrac{A1B1}{O2A1}\ &= \dfrac{A1B1}{OF2}\ &= \dfrac{A1B_1}{f^\prime _2} \end{aligned}

Ainsi, en appliquant l’approximation des petits angles en radian, nous obtenons : θA1B1f2\theta^\prime \approx\dfrac{A1B1}{f^\prime _2}

  • Le grossissement d’une lunette afocale est donc :

G=θθ=A1B1f2A1B1f1=f1f2G=\dfrac{\theta^\prime}{\theta}=\dfrac{\frac{A1B1}{f^\prime2}}{\frac{A1B1}{f^\prime1}}=\dfrac{f^\prime1}{f^\prime2}

Avec :

  • f1f^\prime_1 la distance focale de l’objectif ;
  • f2 f^\prime_2 la distance focale de l’oculaire.
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À retenir

Le grossissement GG d’une lunette astronomique afocale est donné par l’expression : G=f1f2G=\dfrac{f^\prime1}{f^\prime2}

Avec :

  • f1f^\prime_1 la distance focale de l’objectif exprimée en mètre (m)(\text{m}) ;
  • f2 f^\prime_2 la distance focale de l’oculaire exprimée en mètre (m)(\text{m}).

Ainsi, pour que la lunette grossisse l’objet, par rapport à si on l’observait sans lunette, il faut que la distance focale de l’objectif soit supérieure à la distance focale de l’oculaire.

  • Plus la distance focale de l’objectif est grande, plus la lunette grossit l’objet.
  • Plus la distance focale de l’oculaire est petite, plus la lunette grossit l’objet.
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Exemple

  • Soit une lunette astronomique afocale artisanale constituée de deux lentilles convergentes : un objectif ayant une distance focale f1=1,5 mf^\prime1=1,5\ \text{m} et un oculaire ayant une distance focale f2=1 cmf^\prime2=1\ \text{cm}.
  • Calculer la distance O1O2O1O2

Cette lunette est afocale, ainsi le plan focal objet de l’oculaire est confondu avec le plan focal image de l’objectif. Donc, O1O2=O1F1+F2O2=f1+f2=150+1=151 cm\begin{aligned} O1O2 &= O1F^\prime1 + F2O2\ &= f^\prime1 + f^\prime2\ &= 150 + 1\ &= 151\ \text{cm}\end{aligned}

  • Calculer le grossissement de cette lunette

D’après la formule du grossissement on obtient : G=f1f2=1501=150\begin{aligned} G&=\dfrac{f^\prime1}{f^\prime2}\ &=\dfrac{150}{1}\ &=150 \end{aligned}

Cette lunette grossit donc l’objet 150150 fois, par rapport à une observation à l’œil nu.

  • Soit une lunette afocale commerciale constituée de deux lentilles convergentes, l’une de vergence +2δ+2\delta et l’une +20 δ+20\ \delta.
  • Identifier laquelle des deux lentilles est l’objectif

Quand la vergence augmente en valeur absolue, la distance focale diminue. La lentille ayant une vergence de +2 δ+2\ \delta est donc l’objectif.

  • Calculez le grossissement de cette lunette

G=f1f2=1V11V2=V2V1G=\dfrac{f^\prime1}{ f^\prime2}=\dfrac{\frac{1}{V1}}{\frac{1}{V2}}=\dfrac{V2}{V1}

Soit,
G=202=10G=\dfrac{20}{2}=10

Caractéristiques d’une lunette astronomique commerciale

Prenons l’exemple d’une lunette astronomique disponible dans le commerce, présentée comme lunette « 70/350 » et dont la fiche technique donne :

Diamètre optique 70 mm70\ \text{mm}
Longueur focale 350 mm350\ \text{mm}
Poids du tube 1 kg1\ \text{kg}
Trépied Hauteur max. : 160 cm160\ \text{cm}
Oculaires fournis 20 mm20\ \text{mm}
12,5 mm12,5\ \text{mm}
4 mm4\ \text{mm}

Ainsi, l’indication « 70/350 » donne le diamètre de l’objectif : 70 mm70\ \text{mm}, et la distance focale de la lentille de l’objectif : 350 mm350\ \text{mm}.

  • Nous avons vu dans ce cours qu’il s’agit des caractéristiques les plus importantes pour une lunette astronomique afocale.

La fiche technique indique aussi les distances focales des oculaires fournis, et nous pouvons déduire les grossissements associés :

Oculaires fournis 20 mm20\ \text{mm} G=35020=17,5G=\dfrac{350}{20}=17,5
12,5 mm12,5\ \text{mm} G=35012,5=28G=\dfrac{350}{12,5}=28
4 mm4\ \text{mm} G=3504=87,5G=\dfrac{350}4=87,5

Conclusion :

La lunette astronomique afocale est le dispositif optique employé majoritairement pour regarder les objets dans le ciel. Elle est constituée de deux lentilles convergentes : l’objectif et l’oculaire. Le plan focal objet de l’oculaire et le plan focal image de l’objectif sont confondus.
Ainsi, les lunettes astronomiques afocales créent une image à l’infini à partir d’un objet situé à l’infini de la lunette.