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Système optique et formation d'images : la lunette astronomique

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Introduction :

L’association de deux lentilles pour créer une image agrandie d’un objet est une idée datant de la fin du XVIe siècle. Plusieurs scientifiques s’y sont intéressés, cependant Galilée, physicien, mathématicien mais aussi astronome italien eu l’idée d’associer deux lentilles pour créer un instrument optique : la lunette astronomique. Une vingtaine d’années après la première description de cette association, nous avons pu observer les objets célestes.

Ce cours présentera la lunette astronomique et son mode de fonctionnement, puis détaillera la lunette la plus utilisée : la lunette astronomique afocale. Enfin, sera traite une caractéristique très importante des lunettes : le grossissement.

La lunette astronomique

Le modèle optique d’une lunette astronomique

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Définition

Lunette astronomique :

La lunette astronomique est un dispositif optique qui permet d’obtenir une image agrandie, d’un objet très éloigné.

La lunette astronomique dispose de deux lentilles convergentes ayant le même axe optique :

  • la première lentille est l’objectif et possède une distance focale importante ;
  • la deuxième lentille est l’oculaire et possède une plus faible distance focale.

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Rappel

Une lentille convergente se schématise ainsi :

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La construction d’une image à travers une lunette astronomique afocale

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Définition

Lunette astronomique afocale :

Une lunette astronomique est dite afocale si le point foyer image de l’objectif (F1)(F^\prime1) est confondu avec le point foyer objet de l’oculaire (F2)(F2).

Le principe de fonctionnement d’une lunette astronomique repose sur quatre étapes, que vous pouvez suivre grâce au schéma ci-dessous.

  • L’objet ABAB observé par la lunette est très loin, on le considère donc à l’infini. Ainsi, les rayons lumineux qui atteignent l’objectif sont parallèles entre eux.
  • L’objectif forme alors l’image A1B1A1B1 renversée de l’objet observé. Sachant que l’objet est à l’infini, l’image se formera sur le plan focal image de l’objectif.
  • L’image A1B1A1B1 devient l’objet de l’oculaire et ce dernier produit un image droite A2B2A2B2 se trouvant à l’endroit et à l’infini.
  • Ainsi, l’œil n’accommode pas et observe l’image finale A2B2A2B2 sans se fatiguer à travers la lunette astronomique.

Ainsi, une lunette astronomique afocale est représentée selon le schéma suivant :

Img-03

Comme nous pouvons l’observer sur le schéma, les faisceaux lumineux émis par l’objet situé à l’infini arrivent sur l’objectif parallèles entre eux. Ainsi, l’image A1B1A1B1 se forme sur le plan focal image de l’objectif L1L1 et sur le plan focal objet de l’oculaire L2L2. Puis l’image A2B2A2B2 de l’image intermédiaire se situe à l’infini, puisque l’objet A1B1A1B1 se situe sur le plan focal de l’oculaire.

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À retenir

L’intérêt majeur d’une lunette astronomique afocale est la constitution de l’image à l’endroit et à l’infini. Ainsi l’œil qui regarde un objet par cette lunette n’a pas besoin de s’accommoder. En effet, l’œil en parfaite santé arrive à voir clairement une image qui se situe à l’infini.

Le grossissement d’une lunette astronomique

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Définition

Grossissement :

Le grossissement standard, noté GG, d’une lunette astronomique est le rapport de l’angle θ\theta^\prime sous lequel est vu l’image formée A2B2A2B2 à travers la lunette et l’angle θ\theta sous lequel est vu l’objet ABAB à l’œil nu. C’est une grandeur sans dimension.

Dans le cas d’une lunette astronomique afocale, on obtient le schéma suivant :

Img-04

Les angles θ\theta et θ\theta^\prime sont des petits angles exprimés en radian, ainsi nous pouvons faire l’approximation de ces petits angles :

  • tan θθ\text{tan}\ \theta\approx \theta ;
  • tan θθ\text{tan}\ \theta^\prime \approx \theta^\prime .
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Rappel

La distance focale image ff^\prime est positive dans le cas d’une lentille convergente, nous pouvons aussi noter que f=OF=OFf^\prime= OF^\prime= OF.

De plus, la vergenceest l’inverse de la distance focale image et s’exprime en dioptrie (δ)( \delta), c’est-à-dire en m1\text{m}^{-1}. V=1fV=\dfrac{1}{f^\prime}

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  • Soit le triangle O1A1B1O1A1B1 rectangle en A1A1 :

tan θ=coteˊ opposeˊcoteˊ adjacent=A1B1O1A1=A1B1OF1=A1B1f1\begin{aligned} tan\ \theta &=\dfrac{\text{cot\'e oppos\'e}}{\text{cot\'e adjacent}}\ &=\dfrac{A1B1}{O1A1}\ &= \dfrac{A1B1}{OF^\prime1}\ &= \dfrac{A1B_1}{f^\prime _1} \end{aligned}

Ainsi, en appliquant l’approximation des petits angles en radian, nous obtenons : θA1B1f1\theta\approx\dfrac{A1B1}{f^\prime_1}

  • Soit le triangle O2A1B1O2A1B1 rectangle en A1A1 :

tan θ=coteˊ opposeˊcoteˊ adjacent=A1B1O2A1=A1B1OF2=A1B1f2\begin{aligned} tan\ \theta &=\dfrac{\text{cot\'e oppos\'e}}{\text{cot\'e adjacent}}\ &=\dfrac{A1B1}{O2A1}\ &= \dfrac{A1B1}{OF2}\ &= \dfrac{A1B_1}{f^\prime _2} \end{aligned}

Ainsi, en appliquant l’approximation des petits angles en radian, nous obtenons : θA1B1f2\theta^\prime \approx\dfrac{A1B1}{f^\prime _2}

  • Le grossissement d’une lunette afocale est donc :

G=θθ=A1B1f2A1B1f1=f1f2G=\dfrac{\theta^\prime}{\theta}=\dfrac{\frac{A1B1}{f^\prime2}}{\frac{A1B1}{f^\prime1}}=\dfrac{f^\prime1}{f^\prime2}

Avec :

  • f1f^\prime_1 la distance focale de l’objectif ;
  • f2 f^\prime_2 la distance focale de l’oculaire.
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À retenir

Le grossissement GG d’une lunette astronomique afocale est donné par l’expression : G=f1f2G=\dfrac{f^\prime1}{f^\prime2}

Avec :

  • f1f^\prime_1 la distance focale de l’objectif exprimée en mètre (m)(\text{m}) ;
  • f2 f^\prime_2 la distance focale de l’oculaire exprimée en mètre (m)(\text{m}).

Ainsi, pour que la lunette grossisse l’objet, par rapport à si on l’observait sans lunette, il faut que la distance focale de l’objectif soit supérieure à la distance focale de l’oculaire.

  • Plus la distance focale de l’objectif est grande, plus la lunette grossit l’objet.
  • Plus la distance focale de l’oculaire est petite, plus la lunette grossit l’objet.
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Exemple

  • Soit une lunette astronomique afocale artisanale constituée de deux lentilles convergentes : un objectif ayant une distance focale f1=1,5 mf^\prime1=1,5\ \text{m} et un oculaire ayant une distance focale f2=1 cmf^\prime2=1\ \text{cm}.
  • Calculer la distance O1O2O1O2

Cette lunette est afocale, ainsi le plan focal objet de l’oculaire est confondu avec le plan focal image de l’objectif. Donc, O1O2=O1F1+F2O2=f1+f2=150+1=151 cm\begin{aligned} O1O2 &= O1F^\prime1 + F2O2\ &= f^\prime1 + f^\prime2\ &= 150 + 1\ &= 151\ \text{cm}\end{aligned}

  • Calculer le grossissement de cette lunette

D’après la formule du grossissement on obtient : G=f1f2=1501=150\begin{aligned} G&=\dfrac{f^\prime1}{f^\prime2}\ &=\dfrac{150}{1}\ &=150 \end{aligned}

Cette lunette grossit donc l’objet 150150 fois, par rapport à une observation à l’œil nu.

  • Soit une lunette afocale commerciale constituée de deux lentilles convergentes, l’une de vergence +2δ+2\delta et l’une +20 δ+20\ \delta.
  • Identifier laquelle des deux lentilles est l’objectif

Quand la vergence augmente en valeur absolue, la distance focale diminue. La lentille ayant une vergence de +2 δ+2\ \delta est donc l’objectif.

  • Calculez le grossissement de cette lunette

G=f1f2=1V11V2=V2V1G=\dfrac{f^\prime1}{ f^\prime2}=\dfrac{\frac{1}{V1}}{\frac{1}{V2}}=\dfrac{V2}{V1}

Soit,
G=202=10G=\dfrac{20}{2}=10

Conclusion :

La lunette astronomique est le dispositif optique employé majoritairement pour regarder les objets dans le ciel. Elle est constituée de deux lentilles convergentes : l’objectif et l’oculaire. L’objet lointain forme une image intermédiaire renversée à travers l’objectif. Cette image intermédiaire constitue l’objet de la seconde lentille qui formera une image finale droite et à l’infini. Ensuite, cette image sera observée par la personne qui regarde le ciel à travers une lunette astronomique.
Quand la lunette astronomique est afocale, le plan focal objet de l’oculaire et le plan focal image de l’objectif sont confondus. Ainsi, les lunettes astronomiques afocales créent une image à l’infini à partir d’un objet situé à l’infini de la lunette.