Système optique et formation des images

La lunette astronomique

Le modèle optique d’une lunette astronomique

Définition

Lunette astronomique :

La lunette astronomique est un dispositif optique qui permet d’obtenir une image agrandie, d’un objet très éloigné.

La lunette astronomique dispose de deux lentilles convergentes ayant le même axe optique :

• la première lentille est l’objectif et possède une distance focale importante ;
• la deuxième lentille est l’oculaire et possède une plus faible distance focale.

Rappel

Une lentille convergente se schématise ainsi :

Img-02

La construction d’une image à travers une lunette astronomique afocale

Définition

Lunette astronomique afocale :

Une lunette astronomique est dite afocale si le point foyer image de l’objectif $(F^\prime$1)(F1′​) est confondu avec le point foyer objet de l’oculaire $(F$2).

Le principe de fonctionnement d’une lunette astronomique repose sur quatre étapes, que vous pouvez suivre grâce au schéma ci-dessous.

• L’objet $AB$ observé par la lunette est très loin, on le considère donc à l’infini. Ainsi, les rayons lumineux qui atteignent l’objectif sont parallèles entre eux.
• L’objectif forme alors l’image $A$1B1 renversée de l’objet observé. Sachant que l’objet est à l’infini, l’image se formera sur le plan focal image de l’objectif.
• L’image $A$1B1 devient l’objet de l’oculaire et ce dernier produit un image droite $A$2B2 se trouvant à l’endroit et à l’infini.
• Ainsi, l’œil n’accommode pas et observe l’image finale $A$2B2 sans se fatiguer à travers la lunette astronomique.

Ainsi, une lunette astronomique afocale est représentée selon le schéma suivant :

Comme nous pouvons l’observer sur le schéma, les faisceaux lumineux émis par l’objet situé à l’infini arrivent sur l’objectif parallèles entre eux. Ainsi, l’image $A$1B1 se forme sur le plan focal image de l’objectif $L$1L1​ et sur le plan focal objet de l’oculaire $L$2. Puis l’image $A$2B2 de l’image intermédiaire se situe à l’infini, puisque l’objet $A$1B1 se situe sur le plan focal de l’oculaire.

À retenir

L’intérêt majeur d’une lunette astronomique afocale est la constitution de l’image à l’endroit et à l’infini. Ainsi l’œil qui regarde un objet par cette lunette n’a pas besoin de s’accommoder. En effet, l’œil en parfaite santé arrive à voir clairement une image qui se situe à l’infini.

Le grossissement d’une lunette astronomique

Définition

Grossissement :

Le grossissement standard, noté $G$, d’une lunette astronomique est le rapport de l’angle $\theta^\prime$ sous lequel est vu l’image formée $A$2B2 à travers la lunette et l’angle $\theta$ sous lequel est vu l’objet $AB$ à l’œil nu. C’est une grandeur sans dimension.

Dans le cas d’une lunette astronomique afocale, on obtient le schéma suivant :

Les angles $\theta$ et $\theta^\prime$ sont des petits angles exprimés en radian, ainsi nous pouvons faire l’approximation de ces petits angles :

• $\text{tan}\ \theta\approx \theta$ ;
• $\text{tan}\ \theta^\prime \approx \theta^\prime$.

Rappel

La distance focale image $f^\prime$ est positive dans le cas d’une lentille convergente, nous pouvons aussi noter que $f^\prime= OF^\prime= OF$.

De plus, la vergenceest l’inverse de la distance focale image et s’exprime en dioptrie $( \delta)$, c’est-à-dire en $\text{m}^{-1}$. $V=\dfrac{1}{f^\prime}$

• Soit le triangle $O$1A1B1O1​A1​B1​ rectangle en $A$1 :

$\begin{aligned} tan\ \theta &=\dfrac{\text{cot\'e oppos\'e}}{\text{cot\'e adjacent}}\ &=\dfrac{A$1B1}{O1A1}\ &= \dfrac{A1B1}{OF^\prime1}\ &= \dfrac{A1B_1}{f^\prime _1} \end{aligned}

Ainsi, en appliquant l’approximation des petits angles en radian, nous obtenons : $\theta\approx\dfrac{A$1B1}{f^\prime_1}

• Soit le triangle $O$2A1B1O2​A1​B1​ rectangle en $A$1 :

$\begin{aligned} tan\ \theta &=\dfrac{\text{cot\'e oppos\'e}}{\text{cot\'e adjacent}}\ &=\dfrac{A$1B1}{O2A1}\ &= \dfrac{A1B1}{OF2}\ &= \dfrac{A1B_1}{f^\prime _2} \end{aligned}

Ainsi, en appliquant l’approximation des petits angles en radian, nous obtenons : $\theta^\prime \approx\dfrac{A$1B1}{f^\prime _2}

• Le grossissement d’une lunette afocale est donc :

$G=\dfrac{\theta^\prime}{\theta}=\dfrac{\frac{A$1B1}{f^\prime2}}{\frac{A1B1}{f^\prime1}}=\dfrac{f^\prime1}{f^\prime2}

Avec :

• $f^\prime_1$ la distance focale de l’objectif ;
• $f^\prime_2$ la distance focale de l’oculaire.

À retenir

Le grossissement $G$ d’une lunette astronomique afocale est donné par l’expression : $G=\dfrac{f^\prime$1}{f^\prime2}

Avec :

• $f^\prime_1$ la distance focale de l’objectif exprimée en mètre $(\text{m})$ ;
• $f^\prime_2$ la distance focale de l’oculaire exprimée en mètre $(\text{m})$.

Ainsi, pour que la lunette grossisse l’objet, par rapport à si on l’observait sans lunette, il faut que la distance focale de l’objectif soit supérieure à la distance focale de l’oculaire.

• Plus la distance focale de l’objectif est grande, plus la lunette grossit l’objet.
• Plus la distance focale de l’oculaire est petite, plus la lunette grossit l’objet.

Exemple

• Soit une lunette astronomique afocale artisanale constituée de deux lentilles convergentes : un objectif ayant une distance focale $f^\prime$1=1,5\ \text{m}f1′​=1,5 m et un oculaire ayant une distance focale $f^\prime$2=1\ \text{cm}.
• Calculer la distance $O$1O2

Cette lunette est afocale, ainsi le plan focal objet de l’oculaire est confondu avec le plan focal image de l’objectif. Donc, $\begin{aligned} O$1O2 &= O1F^\prime1 + F2O2\ &= f^\prime1 + f^\prime2\ &= 150 + 1\ &= 151\ \text{cm}\end{aligned}

• Calculer le grossissement de cette lunette

D’après la formule du grossissement on obtient : $\begin{aligned} G&=\dfrac{f^\prime$1}{f^\prime2}\ &=\dfrac{150}{1}\ &=150 \end{aligned}

Cette lunette grossit donc l’objet $150$ fois, par rapport à une observation à l’œil nu.

• Soit une lunette afocale commerciale constituée de deux lentilles convergentes, l’une de vergence $+2\delta$ et l’une $+20\ \delta$.
• Identifier laquelle des deux lentilles est l’objectif

Quand la vergence augmente en valeur absolue, la distance focale diminue. La lentille ayant une vergence de $+2\ \delta$ est donc l’objectif.

• Calculez le grossissement de cette lunette

$G=\dfrac{f^\prime$1}{ f^\prime2}=\dfrac{\frac{1}{V1}}{\frac{1}{V2}}=\dfrac{V2}{V1}

Soit,
$G=\dfrac{20}{2}=10$