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Variable aléatoire et loi de probabilité

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction :

Ce cours commence avec la définition d’une variable aléatoire, avant celle de la loi de probabilité d’une telle variable.

Puis nous passerons aux définitions de l’espérance, de la variance et de l’écart-type d’une loi de probabilité, avant d’étudier une variable aléatoire pour voir si elle est équitable, c’est-à-dire d’espérance nulle.

Enfin, la troisième partie sera consacrée à un exemple qui concerne la répétition de deux expériences identiques et indépendantes.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Rappels de vocabulaire

  • Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir celui qui sera obtenu. Le résultat d’une telle expérience est uniquement dû au hasard.
  • Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé issue de cette expérience.
  • L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
  • Un événement de cette expérience est un sous-ensemble de son univers.
  • Un événement élémentaire de cette expérience est un événement contenant une seule issue.

Exemple :
L’expérience qui consiste à lancer un dé équilibré à 66 faces et à noter le numéro inscrit sur la face supérieure est une expérience aléatoire.

  • L’univers de l’expérience est l’ensemble Ω={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}\Omega=\lbrace1\ ;\,2\ ;\,3\ ;\,4\ ;\,5\ ;\,6\rbrace.
  • L’événement AA  : « Obtenir un résultat pair », est l’ensemble A={2 ;4 ;6}A=\lbrace2\ ;\,4\ ;\,6\rbrace.
  • L’événement élémentaire BB : « Obtenir un 6 », est l’ensemble B={6}B=\lbrace 6\rbrace.

Variable aléatoire

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Définition

Variable aléatoire :

On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini noté Ω\Omega.

  • Une variable aléatoire XX est une fonction définie sur Ω\Omega à valeurs dans R\mathbb R.

Définir une variable aléatoire consiste donc à associer un réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.

Exemple :
Un joueur lance un dé équilibré à 66 faces :

  • s’il obtient 11, 22 ou 33, il perd 55 euros ;
  • s’il obtient 44 ou 55, il gagne 11 euro ;
  • s’il obtient 66, il gagne 1010 euros.
  • On peut définir la variable aléatoire XX égale au gain algébrique du joueur.

Ω\Omega est l’ensemble des issues et X(Ω)X(\Omega) l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire XX.

mathématiques première réforme loi probabilité variable aléatoire

Loi de probabilité d’une variable aléatoire

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Définition

Loi de probabilité d’une variable aléatoire :

Soit XX une variable aléatoire discrète sur Ω\Omega qui prend les valeurs x1,x2, ,xkx1,\,x2,\,…\ ,\,x_k.

Définir la loi de probabilité de XX, c’est donner les valeurs de probabilités p(X=xi)p(X=x_i) pour tout entier ii, avec 1ik1\leq i\leq k.

On présente en général une loi de probabilité sous forme d’un tableau :

Valeur xixi prise par XX x1x1 x2x2 xkxk
Probabilité p(X=xi)p(X=xi) p1=p(X=x1)p1=p(X=x1) p2=p(X=x2)p2=p(X=x2) pk=p(X=xk)pk=p(X=x_k)
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Propriété

Dans le tableau qui donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à 11 :

p1+p2++pk=i=1kp(X=xi)=1\begin{aligned} p1+p2+…+pk&=\displaystyle\sum{i=1}^{k} p(X=x_i) \ &=1 \end{aligned}

Exemple :
On lance un dé équilibré à 66 faces :

  • on gagne 22 euros si le résultat est 55 ou 66 ;
  • on gagne 11 euro si le résultat est 44 ;
  • on perd 11 euro sinon.
  • On appelle GG la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en fin de partie.
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Astuce

Pour établir la loi de probabilité de GG, on doit d’abord trouver les valeurs prises par la variable aléatoire GG.

Ici, le joueur peut obtenir :

  • 55 ou 66, et dans ce cas le gain algébrique est de 22 euros ;
  • 44, et dans ce cas le gain algébrique est de 11 euro ;
  • 11, 22 ou 33, et dans ce cas le gain algébrique est de 1-1 euro.
  • G(Ω)={1 ;1 ;2}G(\Omega)=\lbrace -1\ ;\,1\ ;\,2\rbrace
  • Une fois les valeurs prises par GG trouvées, on doit calculer les probabilités correspondantes :

p(G=1)=36=12p(G=1)=16p(G=2)=26=13\begin{aligned} p(G=-1)&=\dfrac{3}{6} \ &=\dfrac{1}{2} \ p(G=1)&=\dfrac{1}{6} \ p(G=2)&=\dfrac{2}{6} \ &=\dfrac{1}{3} \end{aligned}

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Astuce

On peut toujours vérifier en faisant la somme des probabilités. On sait que le résultat doit être égal à 11.

p(G=1)+p(G=1)+p(G=2)=36+16+26=66=1\begin{aligned} p(G=-1)+p(G=1)+p(G=2)&=\dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6} \ &=\dfrac{6}{6} \ &=1 \end{aligned}

  • La loi de probabilité de GG est donc :

gigi 1-1 11 22
p(G=gi)p(G=gi) 12\dfrac{1}{2} 16\dfrac{1}{6} 13\dfrac{1}{3}
  • Si on souhaite calculer la probabilité p(G1)p(G\leq1), on doit calculer :

p(G1)=p(G=1)+p(G=1)=36+16=46=23\begin{aligned} p(G\leq 1)&=p(G=-1)+p(G=1) \ &=\dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6} \ &=\dfrac{4}{6} \ &=\dfrac{2}{3} \end{aligned}

  • On peut aussi calculer cette probabilité à l’aide de l’événement contraire (le gain est strictement supérieur à 11 euro seulement lorsqu’il est égal à 22 euros) :

p(G1)=1p(G>1)=1p(G=2)=113=23\begin{aligned} p(G\leq1)&=1-p(G>1) \ &=1-p(G=2) \ &=1-\dfrac{1}{3} \ &=\dfrac{2}{3} \end{aligned}

Indicateurs d’une variable aléatoire

Espérance, variance, écart-type

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Définition

Espérance mathématique :

L’espérance mathématique de la variable aléatoire XX est le réel noté E(X)E(X) défini par :

E(X)=x1×p1+x2×p2++xk×pk=i=1kxipi\begin{aligned} E(X)&=x1\times p1+x2\times p2+…+xk\times pk \ &=\displaystyle\sum{i=1}^{k}xip_i \end{aligned}

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À retenir

L’espérance d’une variable aléatoire XX s’interprète comme la valeur moyenne prise par XX lorsqu’on répète un très grand nombre de fois l’expérience.

Exemple :
Reprenons l’exemple précédent :

gigi 1-1 11 22
p(G=gi)p(G=gi) 12\dfrac{1}{2} 16\dfrac{1}{6} 13\dfrac{1}{3}
  • Calculons l’espérance mathématique de la variable aléatoire GG.

E(G)=g1p1+g2p2+g3p3=1×12+1×16+2×13=12+16+23=36+16+46=26=130,33\begin{aligned} E(G)&=g1p1+g2p2+g3p3 \ &=-1\times\dfrac{1}{2}+1\times\dfrac{1}{6}+2\times\dfrac{1}{3} \ &=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{3} \ &=-\dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{6} \ &=\dfrac{2}{6} \ &=\dfrac13 \ &\approx0,33 \end{aligned}

On peut interpréter le résultat de la manière suivante :

  • si un joueur participait 100100 fois à ce jeu, c’est-à-dire un grand nombre de fois, son « gain » total serait d’environ : 100×0,3333100\times0,33\approx33 euros ;
  • ainsi, sur 100 parties, le joueur gagnerait environ 3333 euros.
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Définition

Variance d’une variable aléatoire :

La variance de la variable aléatoire XX est le réel positif noté V(X)V(X) défini par :

V(X)=p1×(x1E(X))2+p2×(x2E(X))2++pk×(xkE(X))2=i=1kpi(xiE(X))2\begin{aligned} V(X)&=p1×\big(x1-E(X)\big)^2+p2×\big(x2-E(X)\big)^2+… \ &+pk×\big(xk-E(X)\big)^2 \ &=\displaystyle\sum^{k}{i=1}pi\big(x_i-E(X)\big)^2 \end{aligned}

Exemple :
Reprenons encore une fois l’exemple précédent où l’on avait trouvé E(G)=13E(G)=\dfrac{1}{3}.

gigi 1-1 11 22
p(G=gi)p(G=gi) 12\dfrac{1}{2} 16\dfrac{1}{6} 13\dfrac{1}{3}
  • Calculons la variance de la variable aléatoire GG.

V(G)=12×(113)2+16×(113)2+13×(213)2=12×169+16×49+13×259=4854+454+5054=10254=1791,89\begin{aligned} V(G)&=\dfrac{1}{2}\times\Big(-1-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{1}{6}\times\Big(1-\dfrac{1}{3}\Big)^2+\dfrac{1}{3}\times\Big(2-\dfrac{1}{3}\Big)^2 \ &=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{16}{9}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{25}{9} \ &=\dfrac{48}{54} + \dfrac{4}{54} +\dfrac{50}{54} \&= \dfrac{102}{54} \ &=\dfrac{17}{9} \ &\approx1,89 \end{aligned}

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Définition

Écart-type :

L’écart-type σ(X)\sigma(X) est défini comme la racine carrée de la variance :

σ(X)=V(X)\sigma(X)= \sqrt{V(X)}

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Astuce

La lettre grecque σ\sigma se lit sigma.

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À retenir

La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par XX autour de E(X)E(X).

  • Plus la variance et l’écart-type sont grands, plus les valeurs sont dispersées.

Jeu équitable

Maintenant que l’on sait calculer l’espérance d’une variable aléatoire, il est intéressant de l’appliquer aux exercices, de manière à analyser l’expérience aléatoire et se demander si elle équitable.

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Définition

Jeu équitable :

Ω\Omega est l’ensemble des issues d’un jeu de hasard.
XX est la variable aléatoire définie sur Ω\Omega qui est égale au gain du joueur.

  • Dire que ce jeu est équitable signifie que E(X)=0E(X)=0.

Exemple :
Un ticket de jeu à gratter coûte 22 euros.

On considère l’expérience aléatoire qui consiste à tirer au hasard un ticket de ce jeu parmi l’ensemble des tickets disponibles.

XX est la variable aléatoire qui donne le gain du joueur, en tenant compte du prix d’achat du ticket.
Ce gain peut aussi être négatif.

  • La loi de probabilité de la variable aléatoire XX est donnée dans le tableau ci-dessous :

Gain xixi (en euros) 2-2 00 33 88 1818 4848 198198
p(X=xi)p(X=xi) 0,60,6 0,21730,2173 0,12050,1205 0,04850,0485 0,01240,0124 0,00120,0012 0,00010,0001
  • L’espérance de la variable aléatoire XX est :

E(X)=(0,6×(2))+(0,2173×0)+(0,1205×3)+(0,0485×8)+(0,0124×18)+(0,0012×48)+(0,0001×198)\begin{aligned} E(X)=\big(0,6\times(-2)\big)&+(0,2173\times0)+(0,1205\times 3)+(0,0485\times 8) \ &+(0,0124\times 18)+(0,0012\times 48)+(0,0001\times 198) \ \end{aligned}

E(X)=1,2+0,3615+0,388+0,2232+0,0576+0,0198=0,1499\begin{aligned} E(X)&=-1,2+0,3615+0,388+0,2232+0,0576+0,0198 \ &=-0,1499\ \end{aligned}

  • E(X)0E(X)\neq0, donc ce jeu n’est pas équitable.
  • E(X)<0E(X)<0, donc ce jeu est défavorable au joueur.

Répétition d’expériences identiques et indépendantes

Expériences identiques et indépendantes, arbre pondéré

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Définition

Expériences aléatoires identiques et indépendantes :

Deux expériences aléatoires sont considérées comme identiques et indépendantes si elles ont les mêmes issues et les mêmes probabilités, et si la réalisation de l’une ne modifie pas les probabilités des issues de l’autre.

Exemple :
Je lance un premier dé équilibré et j’observe la face supérieure, puis je lance un second dé équilibré.

  • Ces deux expériences aléatoires sont identiques et indépendantes.

Pour modéliser une situation d’expériences répétées indépendantes, on utilise un arbre pondéré.

Exemple :

mathématiques première réforme loi probabilité variable aléatoire arbre pondéré

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Propriété

Sur un arbre pondéré :

  • la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est 11 ;
  • la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin ;
  • la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins menant à cet événement.

Exemple de résolution

Voyons comment un arbre pondéré permet d’étudier une variable aléatoire.
Dans un jeu de 3232 cartes, on tire successivement et avec remise 22 cartes.

On appelle YY la variable aléatoire égale :

  • à 3030 si on tire 22 figures ;
  • à 2020 si on tire une figure et une autre carte qui n’est pas une figure ;
  • à 1010 sinon.
  • L’objectif est de déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire YY.
  • Pour cela, commençons par construire un arbre pondéré.
  • On note FF l’événement : « Tirer une figure ».
  • L’événement Fˉ\bar F est l’événement contraire de FF, c’est-à-dire : « Tirer une carte qui n’est pas de figure ».

Comme on effectue deux tirages, il faut construire un arbre pondéré à deux niveaux.

Dans un jeu de 3232 cartes, il y a 1212 figures, donc :

p(F)=1232=38p(Fˉ)=11232=2032=58\begin{aligned} p(F)&=\dfrac{12}{32} \ & =\dfrac{3}{8} \ p(\bar F)&=1-\dfrac{12}{32} \ &=\dfrac{20}{32} \ &=\dfrac{5}{8} \end{aligned}

mathématiques première réforme loi probabilité variable aléatoire arbre pondéré

Pour chaque chemin, on note la correspondance avec la loi de probabilité :

  • Lisons maintenant l’arbre.
  • L’événement : « Obtenir deux figures », est réalisé par le premier chemin FFF\cap F, au bout duquel on note donc : Y=30Y=30.
  • L’événement : « Obtenir une figure et une carte qui n’est pas une figure », est réalisé par deux chemins FFˉF\cap\bar F et FˉF\bar F\cap F, au bout desquels on note donc : Y=20Y=20.
  • L’événement : « Ne pas obtenir de figure » est réalisé par le dernier chemin FˉFˉ\bar F\cap\bar F, au bout duquel on note donc : Y=10Y=10.

mathématiques première réforme loi probabilité variable aléatoire arbre pondéré

  • D’après les propriétés de calcul avec un arbre pondéré, on obtient :

p(Y=30)=p(FF)=38×38=964p(Y=20)=p(FFˉ)+p(FˉF)=38×58+58×38=1564+1564=3064=1532p(Y=10)=p(FˉFˉ)=58×58=2564\begin{aligned} p(Y=30)&=p(F\cap F) \ &=\dfrac{3}{8}\times\dfrac{3}{8} \ &=\dfrac{9}{64} \ p(Y=20)&=p(F\cap\bar F)+p(\bar F\cap F) \ &=\dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{8}+\dfrac{5}{8}\times\dfrac{3}{8} \ &=\dfrac{15}{64}+\dfrac{15}{64} \ &=\dfrac{30}{64} \ &=\dfrac{15}{32} \ p(Y=10)&=p(\bar F\cap \bar F) \ &=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{5}{8} \ &=\dfrac{25}{64} \end{aligned}

  • On obtient la loi de probabilité suivante pour YY :

yiyi 1010 2020 3030
p(Y=yi)p(Y=yi) 2564\dfrac{25}{64} 1532\dfrac{15}{32} 964\dfrac{9}{64}
  • L’espérance mathématique de la variable aléatoire YY est :

E(Y)=y1p1+y2p2+y3p3=10×2564+20×1532+30×964=25064+60064+27064=112064=17,5\begin{aligned} E(Y)&=y1p1+y2p2+y3p3 \ &= 10\times\dfrac{25}{64}+20\times\dfrac{15}{32}+30\times\dfrac{9}{64} \ &=\dfrac{250}{64}+\dfrac{600}{64}+\dfrac{270}{64} \ &=\dfrac{1\,120}{64} \ &= 17,5 \end{aligned}

  • La variance de la variable aléatoire YY est :

V(Y)=2564×(1017,5)2+1532×(2017,5)2+964×(3017,5)2=2564×(7,5)2+1532×2,52+964×(12,5)2=2564×56,25+1532×6,25+964×156,25=1406,25+187,5+1406,2564=300064=46,875\begin{aligned} V(Y)&=\dfrac{25}{64}\times(10-17,5)^2+\dfrac{15}{32}\times(20-17,5)^2+\dfrac{9}{64}\times(30-17,5)^2 \ &=\dfrac{25}{64}\times(-7,5)^2+\dfrac{15}{32}\times2,5^2+\dfrac{9}{64}\times(12,5)^2 \ &=\dfrac{25}{64}\times56,25+\dfrac{15}{32}\times6,25+\dfrac{9}{64}\times156,25 \ &=\dfrac{1\,406,25+187,5+1\,406,25}{64} \ &=\dfrac{3\,000}{64} \ &=46,875 \end{aligned}

  • L’écart-type de la variable aléatoire YY est :

σ(Y)=V(Y)=46,8756,85\begin{aligned} \sigma(Y)&=\sqrt{V(Y)} \ &=\sqrt{46,875} \ &\approx6,85 \end{aligned}