Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir celui qui sera obtenu. Le résultat d’une telle expérience est uniquement dû au hasard.
Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé issue de cette expérience.
L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
Un événement de cette expérience est un sous-ensemble de son univers.
Un événement élémentaire de cette expérience est un événement contenant une seule issue.
On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini noté Ω.
Une variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R.
Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω qui prend les valeurs x1,x2,…,xk.
*Définir la loi de probabilité de X, c’est donner les valeurs de probabilités p(X=xi) pour tout entier i, avec 1≤i≤k.
On présente en général une loi de probabilité sous forme d’un tableau :
Valeur xi prise par X
x1
x2
…
xk
Probabilité p(X=xi)
p1=p(X=x1)
p2=p(X=x2)
…
pk=p(X=xk)
Dans ce tableau :
i=1∑kp(X=xi)=1
Indicateurs d’une variable aléatoire
L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel noté E(X) défini par :
E(X)=x1×p1+x2×p2+…+xk×pk=i=1∑kxipi
L’espérance d’une variable aléatoire X s’interprète comme la valeur moyenne prise par X lorsqu’on répète un très grand nombre de fois l’expérience.
Ω est l’ensemble des issues d’un jeu de hasard. X est la variable aléatoire définie sur Ω qui est égale au gain du joueur.
Dire que ce jeu est équitable signifie que E(X)=0.
La variance de la variable aléatoire X est le réel positif noté V(X) défini par :