Fiche de révision : Variable aléatoire et loi de probabilité

Variable aléatoire et loi de probabilité

• Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir celui qui sera obtenu. Le résultat d’une telle expérience est uniquement dû au hasard.
• Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé issue de cette expérience.
• L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
• Un événement de cette expérience est un sous-ensemble de son univers.
• Un événement élémentaire de cette expérience est un événement contenant une seule issue.
• On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini noté $\Omega$.
• Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur $\Omega$ à valeurs dans $\mathbb R$.
• Soit $X$ une variable aléatoire discrète sur $\Omega$ qui prend les valeurs $x$1,\,x2,\,…\ ,\,xkx1​,x2​,… ,xk​. *Définir la loi de probabilité de $X$, c’est donner les valeurs de probabilités $p(X=x$i) pour tout entier $i$, avec $1\leq i\leq k$.
• On présente en général une loi de probabilité sous forme d’un tableau :

• Dans ce tableau :

$\displaystyle\sum${i=1}^{k} p(X=xi)=1

Indicateurs d’une variable aléatoire

• L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est le réel noté $E(X)$ défini par :

$\begin{aligned} E(X)&=x$1\times p1+x2\times p2+…+xk\times pk \ &=\displaystyle\sum{i=1}^{k}xip_i \end{aligned}

• L’espérance d’une variable aléatoire $X$ s’interprète comme la valeur moyenne prise par $X$ lorsqu’on répète un très grand nombre de fois l’expérience.
• $\Omega$ est l’ensemble des issues d’un jeu de hasard. $X$ est la variable aléatoire définie sur $\Omega$ qui est égale au gain du joueur.
• Dire que ce jeu est équitable signifie que $E(X)=0$.
• La variance de la variable aléatoire $X$ est le réel positif noté $V(X)$ défini par :

$\begin{aligned} V(X)&=p$1×\big(x1-E(X)\big)^2+p2×\big(x2-E(X)\big)^2+…+pk×\big(xk-E(X)\big)^2 \ &=\displaystyle\sum^{k}{i=1}pi\big(x_i-E(X)\big)^2 \end{aligned}

• L’écart-type $\sigma(X)$ est défini comme la racine carrée de la variance :

$\sigma(X)= \sqrt{V(X)}$

• La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par $X$ autour de $E(X)$.
• Plus la variance et l’écart-type sont grands, plus les valeurs sont dispersées.