Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Variable aléatoire et loi de probabilité

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Variable aléatoire et loi de probabilité

  • Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir celui qui sera obtenu. Le résultat d’une telle expérience est uniquement dû au hasard.
  • Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé issue de cette expérience.
  • L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
  • Un événement de cette expérience est un sous-ensemble de son univers.
  • Un événement élémentaire de cette expérience est un événement contenant une seule issue.
  • On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini noté Ω\Omega.
  • Une variable aléatoire XX est une fonction définie sur Ω\Omega à valeurs dans R\mathbb R.
  • Soit XX une variable aléatoire discrète sur Ω\Omega qui prend les valeurs x1,x2, ,xkx1,\,x2,\,…\ ,\,xk. *Définir la loi de probabilité de XX, c’est donner les valeurs de probabilités p(X=xi)p(X=xi) pour tout entier ii, avec 1ik1\leq i\leq k.
  • On présente en général une loi de probabilité sous forme d’un tableau :

Valeur xixi prise par XX x1x1 x2x2 xkxk
Probabilité p(X=xi)p(X=xi) p1=p(X=x1)p1=p(X=x1) p2=p(X=x2)p2=p(X=x2) pk=p(X=xk)pk=p(X=x_k)
  • Dans ce tableau :

i=1kp(X=xi)=1\displaystyle\sum{i=1}^{k} p(X=xi)=1

Indicateurs d’une variable aléatoire

  • L’espérance mathématique de la variable aléatoire XX est le réel noté E(X)E(X) défini par :

E(X)=x1×p1+x2×p2++xk×pk=i=1kxipi\begin{aligned} E(X)&=x1\times p1+x2\times p2+…+xk\times pk \ &=\displaystyle\sum{i=1}^{k}xip_i \end{aligned}

  • L’espérance d’une variable aléatoire XX s’interprète comme la valeur moyenne prise par XX lorsqu’on répète un très grand nombre de fois l’expérience.
  • Ω\Omega est l’ensemble des issues d’un jeu de hasard. XX est la variable aléatoire définie sur Ω\Omega qui est égale au gain du joueur.
  • Dire que ce jeu est équitable signifie que E(X)=0E(X)=0.
  • La variance de la variable aléatoire XX est le réel positif noté V(X)V(X) défini par :

V(X)=p1×(x1E(X))2+p2×(x2E(X))2++pk×(xkE(X))2=i=1kpi(xiE(X))2\begin{aligned} V(X)&=p1×\big(x1-E(X)\big)^2+p2×\big(x2-E(X)\big)^2+…+pk×\big(xk-E(X)\big)^2 \ &=\displaystyle\sum^{k}{i=1}pi\big(x_i-E(X)\big)^2 \end{aligned}

  • L’écart-type σ(X)\sigma(X) est défini comme la racine carrée de la variance :

σ(X)=V(X)\sigma(X)= \sqrt{V(X)}

  • La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par XX autour de E(X)E(X).
  • Plus la variance et l’écart-type sont grands, plus les valeurs sont dispersées.