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Les nombres complexes

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Introduction :

Diverses catégories de nombres sont abordées en mathématiques : les entiers naturels, les entiers relatifs, les réels… Ce cours traite d’une nouvelle catégorie de nombres : les nombres complexes.

Notion de nombre complexe

Définitions et vocabulaire

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Théorème

Il existe un ensemble de nombres, noté $\mathbb{C}$ et appelé ensemble des nombres complexes, possédant les propriétés suivantes :

  • l’ensemble $\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$ ;
  • on définit dans $\mathbb{C}$ une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans $\mathbb{R}$ ;
  • il existe dans $\mathbb{C}$ un nombre $i$ tel que $i^2=-1$ :
  • tout élement $z$ de $\mathbb{C}$ s’écrit de manière unique $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ des réels.
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Définition

Forme algébrique :

L’écriture $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels est appelée forme algébrique de $z$.

$a$ est la partie réelle de $z$ notée $a=\Re{(z)}$, et $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $b=\Im{(z)}$.

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Exemple

$z=-2+3i: \bigg\lbrace\begin{aligned}\Re{(z)}&=-2 \\ \Im{(z)}&=3 \end{aligned}$

$z=5: \bigg\lbrace\begin{aligned}\Re{(z)}&=5 \\ \Im{(z)}&=0 \end{aligned}$ $z$ est un réel.

$z=-4i: \bigg\lbrace\begin{aligned}\Re{(z)}&=0 \\ \Im{(z)}&=-4 \end{aligned}$ $z$ est un imaginaire pur.

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Propriété

Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

  • Autrement dit, $a+ib=c+id \Leftrightarrow \bigg\lbrace\begin{aligned} a&=c \\ b&=d \end{aligned}$
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Exemple

Trouver $x$ et $y$ tels que : $x+2-3yi=5+6i$.

On résout le système : $\bigg\lbrace\begin{aligned}\ x+2&=5 \\ -3y&=6 \end{aligned}$ d’où $\bigg\lbrace\begin{aligned}\ x&=3 \\ y&=-2 \end{aligned}$

Calculs algébriques dans $\mathbb{C}$

On note $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$.

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Propriété

Additions :

$z+z'=(a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')$

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Exemple

$(1+3i)+(-3+2i)=-2+5i$

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Propriété

Multiplications :

$\begin{aligned}zz'&=(a+ib)(a'+ib')\\&=aa'+ab'i+a'bi+i^2bb'\\&=aa'+(ab'+a'b)i-bb'\end{aligned}$

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Exemple

$(4+i)(-5+3i)=-20+12i-5i+3i^2=-23+7i$

  • Ainsi les identités remarquables restent valables dans $\mathbb{C}$.

Notamment : $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$.

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Propriété

Inverse d’un complexe non nul :

$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a+ib}=\dfrac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}$

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Exemple

$\begin{aligned}\dfrac{1}{3-2i}&=\dfrac{3+2i}{(3-2i)(3+2i)} \\ &=\dfrac{3+2i}{3^2+2^2} \\&=\dfrac{3+2i}{13}\end{aligned}$

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Propriété

Quotient :

$\dfrac{z}{z'}=\dfrac{a+ib}{a'+ib'}=\dfrac{(a+ib)(a'-ib')}{(a'+ib')(a'-ib')}=\dfrac{(a+ib)(a'-ib')}{a'^2+b'^2}$

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Exemple

$\begin{aligned}\dfrac{1+3i}{4+2i}&=\dfrac{(1+3i)(4-2i)}{(4+2i)(4-2i)} \\ &=\dfrac{4+12i-2i-6i^2}{16-8i+8i-4i^2} \\ &=\dfrac{10+10i}{20} \\ &=\dfrac{1+i}{2}\end{aligned}$

Conjugué d’un nombre complexe

Définition du conjugué

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Définition

Conjugué :

Soit $z=a+ib$ un nombre complexe. Le conjugué de $z$ est le nombre complexe $\overline{z}=a-ib$.

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Exemple

  • Le conjugué de $5-3i$ est $5+3i$.
  • Le conjugué de $4$ est $4$.
  • Le conjugué de $2i$ est $-2i$.

Propriétés du conjugué

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Propriété

  • $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
  • $\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
  • $\overline{z^n}=\overline{z}^n$

Pour $z$ non nul : $\overline{(\dfrac{1}{z})}=\dfrac{1}{\overline{z}}$

Pour $z'$ non nul : $\overline{(\dfrac{z}{z'})}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$

$z\in \mathbb{R} \Leftrightarrow z=\overline{z}$

$z$ imaginaire pur $ \Leftrightarrow z\in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z=-\overline{z}$

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Exemple

$\begin{aligned}\overline{(1+2i)(2-i)}&=(\overline{1+2i})(\overline{2-i})\\&=(1-2i)(2+i)\\&=2-4i+i-2i^2\\&=4-3i\end{aligned}$

$\begin{aligned}\overline{(\dfrac{1+2i}{2-i})}&=\dfrac{\overline{1+2i}}{\overline{2-i}}\\&=\dfrac{1-2i}{2+i}\\&=\dfrac{(1-2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}\\&=\dfrac{2-i-4i+2i^2}{5}\\&=\dfrac{-5i}{5}\\&=-i\end{aligned}$

Équations du second degré à coefficients réels

Nous allons étudier sur $\mathbb{C}$ l’équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ des nombres réels, avec $a$ non nul.

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Rappel

Étude sur $\mathbb{R}$ :

On utilise le discriminant $\Delta=(b^2-4ac)$ :

  • si $\Delta>0$ alors l’équation admet 2 solutions : $\begin{aligned}\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \end{array} \end{aligned}$
  • si $\Delta=0$ alors l’équation admet une unique solution : $x=\dfrac{-b}{2a}$
  • si $\Delta<0$ alors l’équation n’admet aucune solution sur $\mathbb{R}$.
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Propriété

Sur $\mathbb{C}$, l’équation $az^2+bz+c=0$ admet les solutions suivantes :

  • si $\Delta>0$ alors l’équation admet deux solutions réelles : $\begin{aligned}\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \end{array}\end{aligned}$
  • si $\Delta=0$ alors l’équation admet une unique solution : $z=\dfrac{-b}{2a}$
  • si $\Delta<0$ alors l’équation admet deux solutions complexes : $\Bigg\lbrace \begin{aligned}\ z_1&=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \\ \ z_2&=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \ \end{aligned} $
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Exemple

Résolvons l’équation $z^2-6z+25=0$

Calcul du discriminant : $\Delta=36-4 \times 25=-64=-(8^2)$

d’où $\begin{aligned}\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} z_1=\dfrac{6+i\sqrt{-(-64)}}{2} \\ z_2=\dfrac{6-i\sqrt{-(-64)}}{2} \ \end{array}\end{aligned}$

ainsi $\bigg\lbrace\begin{aligned}\ z_1&=3+4i \\ \ z_2&=3-4i \end{aligned}$