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Les nombres complexes
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Introduction :
Diverses catégories de nombres sont abordées en mathématiques : les entiers naturels, les entiers relatifs, les réels… Ce cours traite d’une nouvelle catégorie de nombres : les nombres complexes.
Notion de nombre complexe
Définitions et vocabulaire
Il existe un ensemble de nombres, noté et appelé ensemble des nombres complexes, possédant les propriétés suivantes :
Forme algébrique :
L’écriture avec et réels est appelée forme algébrique de .
est la partie réelle de notée , et est la partie imaginaire de , notée .
est un réel.
est un imaginaire pur.
Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Trouver et tels que : .
On résout le système : d’où
Calculs algébriques dans
On note et .
Notamment : .
Quotient :
Conjugué d’un nombre complexe
Définition du conjugué
Conjugué :
Soit un nombre complexe. Le conjugué de est le nombre complexe .
Propriétés du conjugué
Pour non nul :
Pour non nul :
imaginaire pur
Équations du second degré à coefficients réels
Nous allons étudier sur l’équation avec , et des nombres réels, avec non nul.
Étude sur :
On utilise le discriminant :
Sur , l’équation admet les solutions suivantes :
Résolvons l’équation
Calcul du discriminant :
d’où
ainsi