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Les nombres complexes

Les nombres complexes

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Episode 1
1. Notion
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Episode 2
2. Conjugué et équations du second degré à coefficients réels

Introduction :

Diverses catégories de nombres sont abordées en mathématiques : les entiers naturels, les entiers relatifs, les réels… Ce cours traite d’une nouvelle catégorie de nombres : les nombres complexes.

Notion de nombre complexe

Définitions et vocabulaire

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Théorème

Il existe un ensemble de nombres, noté C\mathbb{C} et appelé ensemble des nombres complexes, possédant les propriétés suivantes :

  • l’ensemble C\mathbb{C} contient R\mathbb{R} ;
  • on définit dans C\mathbb{C} une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans R\mathbb{R} ;
  • il existe dans C\mathbb{C} un nombre ii tel que i2=−1i^2=-1 :
  • tout élement zz de C\mathbb{C} s’écrit de manière unique z=a+ibz=a+ib avec aa et bb des réels.
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Définition

Forme algébrique :

L’écriture z=a+ibz=a+ib avec aa et bb réels est appelée forme algébrique de zz.

aa est la partie réelle de zz notée a=ℜ(z)a=\Re{(z)}, et bb est la partie imaginaire de zz, notée b=ℑ(z)b=\Im{(z)}.

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Exemple

z=−2+3i:{ℜ(z)=−2ℑ(z)=3z=-2+3i: \bigg\lbrace\begin{aligned}\Re{(z)}&=-2 \ \Im{(z)}&=3 \end{aligned}

z=5:{ℜ(z)=5ℑ(z)=0z=5: \bigg\lbrace\begin{aligned}\Re{(z)}&=5 \ \Im{(z)}&=0 \end{aligned} zz est un réel.

z=−4i:{ℜ(z)=0ℑ(z)=−4z=-4i: \bigg\lbrace\begin{aligned}\Re{(z)}&=0 \ \Im{(z)}&=-4 \end{aligned} zz est un imaginaire pur.

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Propriété

Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

  • Autrement dit, a+ib=c+id⇔{a=cb=da+ib=c+id \Leftrightarrow \bigg\lbrace\begin{aligned} a&=c \ b&=d \end{aligned}
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Exemple

Trouver xx et yy tels que : x+2−3yi=5+6ix+2-3yi=5+6i.

On résout le système : { x+2=5−3y=6\bigg\lbrace\begin{aligned}\ x+2&=5 \ -3y&=6 \end{aligned} d’où { x=3y=−2\bigg\lbrace\begin{aligned}\ x&=3 \ y&=-2 \end{aligned}

Calculs algébriques dans C\mathbb{C}

On note z=a+ibz=a+ib et z′=a′+ib′z'=a'+ib'.

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Propriété

Additions :

z+z′=(a+ib)+(a′+ib′)=(a+a′)+i(b+b′)z+z'=(a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')

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Exemple

(1+3i)+(−3+2i)=−2+5i(1+3i)+(-3+2i)=-2+5i

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Propriété

Multiplications :

zz′=(a+ib)(a′+ib′)=aa′+ab′i+a′bi+i2bb′=aa′+(ab′+a′b)i−bb′\begin{aligned}zz'&=(a+ib)(a'+ib')\&=aa'+ab'i+a'bi+i^2bb'\&=aa'+(ab'+a'b)i-bb'\end{aligned}

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Exemple

(4+i)(−5+3i)=−20+12i−5i+3i2=−23+7i(4+i)(-5+3i)=-20+12i-5i+3i^2=-23+7i

  • Ainsi les identités remarquables restent valables dans C\mathbb{C}.

Notamment : (a+ib)(a−ib)=a2+b2(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2.

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Propriété

Inverse d’un complexe non nul :

1z=1a+ib=a−ib(a+ib)(a−ib)=a−iba2+b2\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a+ib}=\dfrac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}

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Exemple

13−2i=3+2i(3−2i)(3+2i)=3+2i32+22=3+2i13\begin{aligned}\dfrac{1}{3-2i}&=\dfrac{3+2i}{(3-2i)(3+2i)} \ &=\dfrac{3+2i}{3^2+2^2} \&=\dfrac{3+2i}{13}\end{aligned}

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Propriété

Quotient :

zz′=a+iba′+ib′=(a+ib)(a′−ib′)(a′+ib′)(a′−ib′)=(a+ib)(a′−ib′)a′2+b′2\dfrac{z}{z'}=\dfrac{a+ib}{a'+ib'}=\dfrac{(a+ib)(a'-ib')}{(a'+ib')(a'-ib')}=\dfrac{(a+ib)(a'-ib')}{a'^2+b'^2}

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Exemple

1+3i4+2i=(1+3i)(4−2i)(4+2i)(4−2i)=4+12i−2i−6i216−8i+8i−4i2=10+10i20=1+i2\begin{aligned}\dfrac{1+3i}{4+2i}&=\dfrac{(1+3i)(4-2i)}{(4+2i)(4-2i)} \ &=\dfrac{4+12i-2i-6i^2}{16-8i+8i-4i^2} \ &=\dfrac{10+10i}{20} \ &=\dfrac{1+i}{2}\end{aligned}

Conjugué d’un nombre complexe

Définition du conjugué

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Définition

Conjugué :

Soit z=a+ibz=a+ib un nombre complexe. Le conjugué de zz est le nombre complexe z‾=a−ib\overline{z}=a-ib.

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Exemple

  • Le conjugué de 5−3i5-3i est 5+3i5+3i.
  • Le conjugué de 44 est 44.
  • Le conjugué de 2i2i est −2i-2i.

Propriétés du conjugué

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Propriété

  • z+z′‾=z‾+z′‾\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}
  • zz′‾=z‾z′‾\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}
  • zn‾=z‾n\overline{z^n}=\overline{z}^n

Pour zz non nul : (1z)‾=1z‾\overline{(\dfrac{1}{z})}=\dfrac{1}{\overline{z}}

Pour z′z' non nul : (zz′)‾=z‾z′‾\overline{(\dfrac{z}{z'})}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}

z∈R⇔z=z‾z\in \mathbb{R} \Leftrightarrow z=\overline{z}

zz imaginaire pur ⇔z∈iR⇔z=−z‾ \Leftrightarrow z\in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z=-\overline{z}

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Exemple

(1+2i)(2−i)‾=(1+2i‾)(2−i‾)=(1−2i)(2+i)=2−4i+i−2i2=4−3i\begin{aligned}\overline{(1+2i)(2-i)}&=(\overline{1+2i})(\overline{2-i})\&=(1-2i)(2+i)\&=2-4i+i-2i^2\&=4-3i\end{aligned}

(1+2i2−i)‾=1+2i‾2−i‾=1−2i2+i=(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=2−i−4i+2i25=−5i5=−i\begin{aligned}\overline{(\dfrac{1+2i}{2-i})}&=\dfrac{\overline{1+2i}}{\overline{2-i}}\&=\dfrac{1-2i}{2+i}\&=\dfrac{(1-2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}\&=\dfrac{2-i-4i+2i^2}{5}\&=\dfrac{-5i}{5}\&=-i\end{aligned}

Équations du second degré à coefficients réels

Nous allons étudier sur C\mathbb{C} l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 avec aa, bb et cc des nombres réels, avec aa non nul.

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Rappel

Étude sur R\mathbb{R} :

On utilise le discriminant Δ=(b2−4ac)\Delta=(b^2-4ac) :

  • si Δ>0\Delta>0 alors l’équation admet 2 solutions : {x1=−b+Δ2ax2=−b−Δ2a \begin{aligned}\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} x1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ x2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \end{array} \end{aligned}
  • si Δ=0\Delta=0 alors l’équation admet une unique solution : x=−b2ax=\dfrac{-b}{2a}
  • si Δ<0\Delta<0 alors l’équation n’admet aucune solution sur R\mathbb{R}.
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Propriété

Sur C\mathbb{C}, l’équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 admet les solutions suivantes :

  • si Δ>0\Delta>0 alors l’équation admet deux solutions réelles : {z1=−b+Δ2az2=−b−Δ2a \begin{aligned}\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} z1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ z2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \end{array}\end{aligned}
  • si Δ=0\Delta=0 alors l’équation admet une unique solution : z=−b2az=\dfrac{-b}{2a}
  • si Δ<0\Delta<0 alors l’équation admet deux solutions complexes : { z1=−b+i−Δ2a z2=−b−i−Δ2a \Bigg\lbrace \begin{aligned}\ z1&=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \ \ z2&=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \ \end{aligned}
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Exemple

Résolvons l’équation z2−6z+25=0z^2-6z+25=0

Calcul du discriminant : Δ=36−4×25=−64=−(82)\Delta=36-4 \times 25=-64=-(8^2)

d’où {z1=6+i−(−64)2z2=6−i−(−64)2 \begin{aligned}\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} z1=\dfrac{6+i\sqrt{-(-64)}}{2} \ z2=\dfrac{6-i\sqrt{-(-64)}}{2} \ \end{array}\end{aligned}

ainsi { z1=3+4i z2=3−4i\bigg\lbrace\begin{aligned}\ z1&=3+4i \ \ z2&=3-4i \end{aligned}

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