Calcul algébrique

Nombre complexe

Théorème admis :

Il existe un ensemble de nombres, noté $ℂ$ et appelé ensemble des nombres complexes :

• L'ensemble $ℂ$ contient $\mathbb{R}$ ;
• On définit dans $ℂ$ une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans $\mathbb{R}$ ;
• Il existe dans $ℂ$ un nombre $i$ tel que $i^2=-1$ ;
• Tout élément $z$ de $ℂ$ s'écrit de manière unique $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ des réels.

Définition : forme algébrique

L'écriture $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels est appelée forme algébrique de $z$.
$a$ est la partie réelle de $z$ notée $a=R(z)$, et $b$ est la partie imaginaire de $z$ , notée $b=I(z)$.

Propriétés : calcul avec des nombres complexes

• Égalité : deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
• Addition :

$\begin{aligned} z+z' &=(a+ib)+(a'+ib')\\ &=(a+a')+i(b+b')\end{aligned}$

• Multiplication :

$\begin{aligned}zz'&=(a+ib)(a'+ib') \\ &=aa'+ab'i+a'bi+i^2bb' \\ &=aa'+(ab'+a'b)i-bb'\end{aligned}$

• Inverse d’un complexe non nul :

$\begin{aligned}\dfrac {1}{z}&=\dfrac {1}{a+ib}\\ &=\dfrac {a-ib}{(a+ib)(a-ib)}\\ &=\dfrac {a-ib}{a^2+b^2}\end{aligned}$

• Quotient :

$\begin{aligned}\dfrac {z}{z'} &=\dfrac {a+ib}{a'+ib'}\\ &= \dfrac{(a+ib)(a'-ib')}{(a'+ib')(a'-ib')} \\ &= \dfrac {(a+ib)(a'-ib')}{a'^2+b'^2}\end{aligned}$

Conjugué d’un nombre complexe

Définition : conjugué d’un nombre complexe

Soit $z=a+ib$ un nombre complexe. Le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z=a-ib$

Propriétés : calculs avec le conjugué du nombre complexe

$\overline{z+z'}=\overline z+\overline z'$

$\overline{zz'}=\overline z\times \overline z'$

$\overline{z^n}=\overline{z}^n$

Pour $z\neq 0$ : $\overline{(\dfrac{1}{z})}=\dfrac{1}{\overline z}$

Pour $z' \neq 0$ : $\overline{(\dfrac{z}{z'})}=\dfrac{\overline z}{\overline z'}$

$z\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z=\overline{z}$

$z$ imaginaire pur $\Leftrightarrow z\in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z=-\overline{z}$

Équations du second degré à coefficients réels

Propriété :

Sur $ℂ$, l'équation $az^2+bz+c=0$ admet les solutions suivantes :

• si $\Delta\rangle0$ alors l’équation admet deux solutions réelles : $\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \end{array}$
• si $\Delta=0$ alors l’équation admet une unique solution : $z=\dfrac{-b}{2a}$
• si $\Delta\langle0$ alors l’équation admet deux solutions complexes : $\Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \\ z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \ \end{array}$