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Les nombres complexes

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Nombre complexe

Théorème admis :

Il existe un ensemble de nombres, noté C et appelé ensemble des nombres complexes :

  • L'ensemble C contient R\mathbb{R} ;
  • On définit dans C une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans R\mathbb{R} ;
  • Il existe dans C un nombre ii tel que i2=1i^2=-1 ;
  • Tout élément zz de C s'écrit de manière unique z=a+ibz=a+ib avec aa et bb des réels.

Définition : forme algébrique

L'écriture z=a+ibz=a+ib avec aa et bb réels est appelée forme algébrique de zz.
aa est la partie réelle de zz notée a=R(z)a=R(z), et bb est la partie imaginaire de zz , notée b=I(z)b=I(z).

Propriétés : calcul avec des nombres complexes

  • Égalité : deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
  • Addition :

z+z=(a+ib)+(a+ib)=(a+a)+i(b+b)\begin{aligned} z+z' &=(a+ib)+(a'+ib')\ &=(a+a')+i(b+b')\end{aligned}

  • Multiplication :

zz=(a+ib)(a+ib)=aa+abi+abi+i2bb=aa+(ab+ab)ibb\begin{aligned}zz'&=(a+ib)(a'+ib') \ &=aa'+ab'i+a'bi+i^2bb' \ &=aa'+(ab'+a'b)i-bb'\end{aligned}

  • Inverse d’un complexe non nul :

1z=1a+ib=aib(a+ib)(aib)=aiba2+b2\begin{aligned}\dfrac {1}{z}&=\dfrac {1}{a+ib}\ &=\dfrac {a-ib}{(a+ib)(a-ib)}\ &=\dfrac {a-ib}{a^2+b^2}\end{aligned}

  • Quotient :

zz=a+iba+ib=(a+ib)(aib)(a+ib)(aib)=(a+ib)(aib)a2+b2\begin{aligned}\dfrac {z}{z'} &=\dfrac {a+ib}{a'+ib'}\ &= \dfrac{(a+ib)(a'-ib')}{(a'+ib')(a'-ib')} \ &= \dfrac {(a+ib)(a'-ib')}{a'^2+b'^2}\end{aligned}

Conjugué d’un nombre complexe

Définition : conjugué d’un nombre complexe

Soit z=a+ibz=a+ib un nombre complexe. Le conjugué de zz est le nombre complexe z=aibz=a-ib

Propriétés : calculs avec le conjugué du nombre complexe

z+z=z+z\overline{z+z'}=\overline z+\overline z'

zz=z×z\overline{zz'}=\overline z\times \overline z'

zn=zn\overline{z^n}=\overline{z}^n

Pour z0z\neq 0(1z)=1z\overline{(\dfrac{1}{z})}=\dfrac{1}{\overline z}

Pour z0z' \neq 0(zz)=zz\overline{(\dfrac{z}{z'})}=\dfrac{\overline z}{\overline z'}

zRz=zz\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z=\overline{z}

zz imaginaire pur ziRz=z\Leftrightarrow z\in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z=-\overline{z}

Équations du second degré à coefficients réels

Propriété :

Sur C, l'équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 admet les solutions suivantes :

  • si Δ0\Delta\rangle0 alors l’équation admet deux solutions réelles : {z1=b+Δ2az2=bΔ2a \Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} z1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ z2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \end{array}
  • si Δ=0\Delta=0 alors l’équation admet une unique solution : z=b2az=\dfrac{-b}{2a}
  • si Δ0\Delta\langle0 alors l’équation admet deux solutions complexes : {z1=b+iΔ2az2=biΔ2a \Bigg\lbrace \begin{array}{rcr} z1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \ z2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \ \end{array}