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Variation de l'énerge interne d'un système

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Introduction :

La thermodynamique traite de l’énergie et de ses transformations.
Dans ce cours, nous verrons que deux types d’énergies contribuent à l’énergie totale d’un système thermodynamique. En effet, le système possède une énergie macroscopique qui correspond à une énergie mécanique. Il possède également une énergie de nature microscopique qui lui est propre : une énergie interne.

Dans un premier temps, nous définirons la notion d’énergie interne, notée UU, d’un système puis nous en expliciterons ses différentes contributions microscopiques.
Dans un second temps, nous verrons que s’il est très difficile voire impossible de mesurer l’énergie interne d’un système, il est tout de même possible d’en mesurer des variations.
Ainsi, nous montrerons comment s’exprime la variation d’énergie interne d’un système thermodynamique particulier qu’on définira au préalable : le système incompressible.

Énergie interne

L’énergie mécanique

Considérons un ensemble de NN particules de gaz en mouvement dans un récipient fermé.
Ce récipient qui délimite notre système thermodynamique (Σ)(\mathrm{\Sigma}), posé sur une surface plane, est macroscopiquement au repos dans le référentiel du laboratoire et sans interaction avec son environnement. On cherche ici à définir la formule de l’énergie mécanique EmE_\text{m} du système au repos.

Img-01 : Particules de gaz en mouvement dans un récipient fermé.

Notre système de masse mm étant au repos, sa vitesse vv est donc nulle et par voie de conséquence, son énergie cinétique macroscopique Ec, macro=12mv2E_{\text{c,\ macro}} =\dfrac 1 2 mv^2 est nulle.

De plus, notre système ne subissant aucune interaction avec son environnement, son énergie potentielle macroscopique Ep, macroE_\text{p,\ macro} est également nulle.

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À retenir

Dans ce cas bien particulier d’un système macroscopiquement au repos, l’énergie mécanique EmE\text{m} du système est nulle. Em=Ec, macro+Ep, macro=0E\text{m}= E{\text{c,\ macro}}+ E{\text{p,\ macro}}= 0

Cependant, bien que notre système thermodynamique ait une énergie mécanique EmE_\text{m} nulle en pareil cas, il possède malgré tout une énergie qui lui est propre d’origine microscopique appelée énergie interne UU.
Attachons-nous maintenant à en expliciter les différentes contributions.

L’énergie interne

Reprenons l’exemple précédent de notre enceinte contenant NN particules de gaz en mouvement dans un récipient fermé.

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Rappel

On sait que, d’un point de vue microscopique, nous pouvons interpréter la température comme l’énergie cinétique moyenne d’une particule ii soit : Ec=12mivi2E\text{c}= \dfrac{1}{2}mi v_i^2

Avec :

  • mim_i la masse d’une particule ii, en kg\text{kg} ;
  • viv_i la vitesse moyenne d’une particule ii, en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1}.
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À retenir

L’énergie cinétique de nature microscopique Ec, microE_{\text{c,\ micro}} liée à l’état d’agitation des particules est la somme de l’énergie cinétique de chaque particule composant le système.

De plus, dans ce mouvement désordonné, les particules ont aussi des interactions entre-elles qui donnent naissance à une autre forme d’énergie d’origine microscopique : l’énergie potentielle d’interaction Ep, microE_{\text{p,\ micro}}.

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À retenir

L’énergie potentielle d’interaction est importante dans les systèmes dits incompressibles (liquides et solides), due à la proximité des particules entre elles, et relativement faible dans les gaz.

  • Rappelons-nous que par définition cette énergie est considérée nulle dans le cas des gaz parfaits, les particules n’ayant pas d’interaction entre-elles.
  • L’énergie interne, énergie propre au système, est donc la somme de deux contributions de nature microscopique :
  • une énergie cinétique liée au mouvement des particules Ec, microE_{\text{c,\ micro}} ;
  • une énergie potentielle liée aux interactions qu’elles engagent mutuellement Ep, microE_{\text{p,\ micro}}.
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Définition

Énergie interne UU :

L’énergie interne UU d’un système est liée à la fois au mouvement des particules qu’il contient, mais aussi aux interactions qu’elles peuvent avoir les unes avec les autres.
Elle peut donc s’écrire comme la somme de deux termes : U=Ec, micro+Ep, microU = E{\text{c,\ micro}}+ E{\text{p,\ micro}}

  • Nous pouvons donc clarifier, qu’un système thermodynamique est macroscopiquement au repos, lorsque son énergie cinétique macroscopique et son énergie potentielle macroscopique ne varient pas au courant du temps. Seule son énergie interne peut varier.

À partir de ces observations, essayons maintenant d’exprimer de façon simple l’énergie totale d’un système thermodynamique.

Variations d’énergie interne

L’énergie totale

L’énergie totale EE d’un système constitué de NN particules est la somme de deux contributions :

  • l’une de nature macroscopique : Emacro=Ec, macro+Ep, macroE\text{macro} = E{\text{c,\ macro}} + E{\text{p,\ macro}} ou énergie mécanique EmE\text{m} ;
  • et une autre de nature microscopique, appelée énergie interne : U=Ec, micro+Ep, microU = E{\text{c,\ micro}} + E{\text{p,\ micro}}.
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Définition

Énergie totale EE :

À tout système thermodynamique, on peut associer une grandeur appelée énergie totale EE. Cette énergie est la somme de l'énergie mécanique macroscopique EmE\text{m} et de l'énergie interne UU du système : E=Em+UE = E\text{m} + U

D’origine microscopique, l’énergie interne UU ne peut être mesurée. Cependant, nous pouvons tout de même en calculer des variations.

La variation d’énergie interne

Considérons à nouveau notre système constitué de NN particules de gaz en mouvement dans un récipient fermé et faisons-lui subir une transformation qui le ferait passer d’un état initial d’énergie interne à un état final d’énergie interne.

Img-02 : Particules de gaz en mouvement dans un récipient fermé dans deux états différents

Décrivons maintenant la variation d’énergie totale ΔE\Delta E de notre système.

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Attention

ΔE\Delta E se lit « delta E » et correspond à la variation de la grandeur EE au cours de la transformation.

En utilisant un indice ii pour désigner l’état initial et ff pour désigner l’état final, on peut écrire : ΔE=EfinalEinitial=(Ef, m+Uf)(Ei, m+Ui)=(Ef, mEi, m)+(UfUi)=ΔEm+ΔU\begin{aligned} \Delta E &= E{\text{final}}- E{\text{initial}} \ &= (E{\text{f,\ m}}+Uf) - (E{\text{i,\ m}}+Ui) \ &= (E{\text{f,\ m}} - E{\text{i,\ m}}) +(Uf - Ui)\ &=\Delta E_{\text{m}}+\Delta U \end{aligned}

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À retenir

En thermodynamique, on ne considère que des systèmes où l’énergie de nature macroscopique est constante ou nulle, comme vu dans la partie 1 de ce cours, ce qui implique ΔEm=0\Delta E_{\text{m}} = 0.

  • La variation d’énergie totale est alors égale à la variation d’énergie interne du système :

ΔE=ΔU\Delta E=\Delta U

Dans la suite du cours, nous nous placerons dans des situations où l’énergie de nature macroscopique reste toujours constante. Ainsi, la variation d’énergie interne d’un système thermodynamique ΔU\Delta U sera alors égale à sa variation d’énergie totale.

Cherchons maintenant à calculer la variation d’énergie interne ΔU\Delta U de systèmes thermodynamiques particuliers qu’on définira au préalable : les systèmes incompressibles.

Variations d’énergie interne dans le cas des systèmes incompressibles

Les systèmes incompressibles

Illustrons la notion de compressibilité, en observant l’expérience suivante :

Img-03 : Expériences de compression d’un liquide et d’un gaz dans une seringue

Deux récipients cylindriques sont remplis respectivement d’eau et d’air. Une pression est exercée sur le piston après en avoir obturé l’extrémité. On constate que contrairement au gaz, le volume de l’eau n’a pas changé, on dit que l’eau est incompressible.

  • Les liquides et les solides sont des phases condensées. Contrairement aux gaz, ils sont peu sujets à la compression et très peu dilatables. Autrement dit, leur volume ne varie que très peu sous l’effet de la pression.
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Définition

Compressibilité :

La compressibilité quantifie l’aptitude d’un corps à se comprimer sous l’effet de la pression.

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À retenir

En thermodynamique, les phases condensées (liquides et solides) sont considérées comme incompressibles et indilatables.

  • Les fluides incompressibles ne voient donc pas leur volume diminuer lors d’une compression.

Variation d’énergie interne d’un système incompressible

Considérons une barre de métal de masse mm constante qui subirait une transformation l’amenant d’un état initial à un état final. Cette transformation pourrait par exemple consister en une élévation de température.
De plus, on considère que notre système n’a pas subi de modification de volume par dilatation durant cette transformation.

Img-04 : Barreau métallique ayant subi une augmentation de température sans dilatation

  • On considère un système incompressible de masse mm et de capacité thermique massique cmc_m. On admet que la variation d’énergie interne ΔU\Delta U de ce système ne dépend que de la variation de la température TT entre l’état initial et l’état final.
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À retenir

La variation d’énergie interne ΔU\Delta U d’un système incompressible s’exprime de la manière suivante : ΔU=mcmΔT\Delta U= m c_m \Delta T Avec :

  • ΔU\Delta U la variation d’énergie interne du système, en Joule (J)(\text{J}) ;
  • mm la masse du matériau, en kilogramme (kg)(\text{kg}) ;
  • cmc_m la capacité thermique massique du matériau, en Jkg1K1\text{J}\cdot \text{kg}^{-1}\cdot \text{K}^{-1} ;
  • ΔU\Delta U la variation de température, en kelvin (K)(\text{K}).
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Exemple

Reprenons notre exemple précédent et supposons que notre système thermodynamique soit une barre d’aluminium de masse m=1,2 kgm = 1,2\ \text{kg} portée à une température de 40°C40\degree \text{C}, la température initiale de la barre d’aluminium étant de 20°C20\degree \text{C}.
On donne la capacité thermique massique de l’aluminium cm=890 Jkg1K1c_m = 890\ \text{J}\cdot \text{kg}^{-1}\cdot \text{K}^{-1}.

Calculer la variation d’énergie interne au cours de cette transformation.

Le système pouvant être considéré comme incompressible et non dilatable, on peut écrire : ΔU=mcmΔT\Delta U= m c_m \Delta T Nous avons donc : ΔT=4020=20 K\begin{aligned} \Delta T &=40-20 \ &=20\ \text{K} \end{aligned}

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Astuce

ΔT\Delta T étant une variation de température entre deux états, il est inutile de convertir les températures en kelvin, car le celsius et le kelvin auront la même valeur.

D’où, ΔU=mcmΔT=1,2×890×20=+2,1×101 J\begin{aligned} \Delta U &= m c_m \Delta T \&=1,2\times890\times20\ &=+2,1\times 10^1\ \text{J} \end{aligned}

Le système voit son énergie interne UU augmenter de 2,1×101 J2,1\times 10^1\ \text{J}.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu que tout système thermodynamique possède une énergie qui lui est propre : l’énergie interne. Cette dernière, dont les contributions à l’échelle microscopique sont diverses, ne peut être ni mesurée ni calculée.
Cependant nous avons, et ce fut l’élément essentiel de ce cours, montré qu’il est possible d’en mesurer des variations entre un état initial et un état final.
Enfin, pour clore ce cours nous avons abordé le cas des systèmes dits incompressibles et montré que la variation d’énergie interne de tels systèmes ne dépendait que de la variation de température entre l’état final et l’état initial.