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Programme Lycée TleCours MathématiquesSemaine 5 - Fonction ln et trigonométrieFiche de révision : Semaine 5 - Fonction ln et trigonométrieFiche de révision Semaine 5 - Fonction ln et trigonométrie
Fonction logarithme népérien
Définition
Définition
Pour tout réel $a > 0$, l'équation $\text{e}^x = a$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$, appelée logarithme népérien de $a$ et notée $\ln(a)$.
$$\text{e}^b = a \Leftrightarrow b = \ln(a) \qquad (a > 0,\ b \in \mathbb{R})$$
→ La fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.
À retenir
Valeurs remarquables
$$\ln(1) = 0 \qquad \ln(\text{e}) = 1 \qquad \ln\left(\text{e}^b\right) = b \qquad \text{e}^{\ln(a)} = a$$
Propriétés algébriques
Propriété
Pour tous réels $a > 0$, $b > 0$ et tout entier relatif $n$ :
$$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$$ $$\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$$ $$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$$ $$\ln\left(\sqrt{a}\right) = \frac{1}{2}\ln(a)$$ $$\ln\left(a^n\right) = n\ln(a)$$
Attention
$$\ln(a + b) \neq \ln(a) + \ln(b)$$
Le logarithme transforme un produit en somme, pas une somme en somme.
Exemple
Simplifier $\ln(32)$ : $$\ln(32) = \ln(2^5) = 5\ln(2)$$
Simplifier $\ln\left(\dfrac{1}{1024}\right)$ : $$\ln\left(\frac{1}{1024}\right) = \ln\left(\frac{1}{2^{10}}\right) = \ln(2^{-10}) = -10\ln(2)$$
Résolution d'équations et d'inéquations
À retenir
Résoudre $\ln(u(x)) = \ln(v(x))$
- Déterminer l'ensemble $E$ des réels tels que $u(x) > 0$ et $v(x) > 0$.
- Résoudre $u(x) = v(x)$.
- Ne garder que les solutions appartenant à $E$.
À retenir
Signe du logarithme
$$\ln(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$$ $$\ln(x) > 0 \Leftrightarrow x > 1$$ $$\ln(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$$
Logarithme décimal
Définition
La fonction logarithme décimal, notée $\log$, est définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par : $$\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$$
Pour tous réels $a > 0$, $b > 0$ et tout entier relatif $n$ : $$\log(ab) = \log(a) + \log(b) \qquad \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b) \qquad \log(a^n) = n\log(a)$$
Si $a > 0$ et $b$ est un réel : $b = \log a \Leftrightarrow 10^b = a$.
Astuce
Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :
Continuité, dérivabilité et limites de ln
Dérivée de la fonction ln
Propriété
La fonction $\ln$ est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
Sa dérivée est : $$\left(\ln(x)\right)' = \frac{1}{x}$$
Plus généralement, pour $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ : $$\left(\ln(u)\right)' = \frac{u'}{u}$$
Exemple
Soit $f(x) = \ln(3x+1)$ définie sur $\left]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[$.
On pose $u(x) = 3x+1$, donc $u'(x) = 3$.
$$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{3}{3x+1}$$
Limites de la fonction ln
À retenir
Limites aux bornes
$$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$
À retenir
Croissances comparées
Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$$
→ En $+\infty$, toute puissance de $x$ l'emporte sur $\ln(x)$.
→ En $0^+$, $x^n$ l'emporte sur $|\ln(x)|$.
Attention
Ces limites de croissances comparées sont très fréquentes au bac. Il faut les connaître par cœur et savoir les utiliser pour lever des formes indéterminées.
Étude complète d'une fonction avec ln
Astuce
Méthode pour une étude complète
- Déterminer le domaine de définition (conditions $u(x) > 0$ pour les $\ln$).
- Calculer la dérivée en utilisant $(\ln(u))' = \dfrac{u'}{u}$.
- Étudier le signe de la dérivée pour dresser le tableau de variations.
- Calculer les limites aux bornes en utilisant les croissances comparées si nécessaire.
Exemple
Soit $f(x) = x\ln(x) - 2x$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$.
Dérivée : $f'(x) = \ln(x) + x \cdot \dfrac{1}{x} - 2 = \ln(x) - 1$
Signe de $f'$ : $f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow \ln(x) \geq 1 \Leftrightarrow x \geq \text{e}$
Limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
Astuce
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Consulte le cours :
Fonctions cosinus et sinus
Rappels et valeurs remarquables
Définition
Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$.
- Le cosinus de $x$, noté $\cos(x)$, est l'abscisse de $M$.
- Le sinus de $x$, noté $\sin(x)$, est l'ordonnée de $M$.
→ Pour tout réel $x$ : $-1 \leq \cos(x) \leq 1$, $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ et $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.
À retenir
Valeurs remarquables
$x$ |
$\cos(x)$ |
$\sin(x)$ |
$0$ |
$1$ |
$0$ |
$\dfrac{\pi}{6}$ |
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
$\dfrac{1}{2}$ |
$\dfrac{\pi}{4}$ |
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
$\dfrac{\pi}{3}$ |
$\dfrac{1}{2}$ |
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
$\dfrac{\pi}{2}$ |
$0$ |
$1$ |
Propriétés des fonctions cosinus et sinus
Propriété
Pour tout réel $x$ :
Parité : $\cos(-x) = \cos(x)$ (cosinus est paire) ; $\sin(-x) = -\sin(x)$ (sinus est impaire).
Périodicité : $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ (période $2\pi$).
Angles associés : $$\cos(\pi - x) = -\cos(x) \qquad \sin(\pi - x) = \sin(x)$$ $$\cos(\pi + x) = -\cos(x) \qquad \sin(\pi + x) = -\sin(x)$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$$
Dérivées et variations
Propriété
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ :
$$\left(\cos(x)\right)' = -\sin(x) \qquad \left(\sin(x)\right)' = \cos(x)$$
Plus généralement, pour $u$ dérivable sur un intervalle $I$ :
$$\left(\cos(u)\right)' = -u' \cdot \sin(u) \qquad \left(\sin(u)\right)' = u' \cdot \cos(u)$$
À retenir
Variations de cosinus sur $[0\,;\,\pi]$
$x$ |
$0$ |
$\,$ |
$\pi$ |
$\cos'(x) = -\sin(x)$ |
$-$ |
$-$ |
$-$ |
$\cos(x)$ |
$1$ |
$\searrow$ |
$-1$ |
Variations de sinus sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$
$x$ |
$-\dfrac{\pi}{2}$ |
$\,$ |
$\dfrac{\pi}{2}$ |
$\sin'(x) = \cos(x)$ |
$+$ |
$+$ |
$+$ |
$\sin(x)$ |
$-1$ |
$\nearrow$ |
$1$ |
Limites remarquables
À retenir
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} = 0$$
→ Les fonctions cosinus et sinus n'ont pas de limite en $\pm\infty$ (elles oscillent entre $-1$ et $1$).
Résolution d'équations trigonométriques
À retenir
Équations du type $\cos(x) = k$
Si $-1 \leq k \leq 1$, les solutions sont : $$x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$ où $\alpha$ est une valeur dont le cosinus vaut $k$.
À retenir
Équations du type $\sin(x) = k$
Si $-1 \leq k \leq 1$, les solutions sont : $$x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$ où $\alpha$ est une valeur dont le sinus vaut $k$.
Astuce
Pour résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle donné :
- Trouver toutes les solutions générales (avec $k \in \mathbb{Z}$).
- Chercher les valeurs de $k$ telles que les solutions appartiennent à l'intervalle demandé.
- Lister les solutions retenues.
Astuce
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Consulte le cours :
🎯 À maîtriser pour le bac
- Connaître la définition du logarithme népérien comme réciproque de l'exponentielle.
- Connaître et utiliser les propriétés algébriques de $\ln$ (produit, quotient, puissance).
- Résoudre des équations et inéquations faisant intervenir $\ln$.
- Calculer la dérivée d'une fonction du type $\ln(u)$.
- Connaître les limites de $\ln$ en $0^+$ et en $+\infty$.
- Connaître et appliquer les limites de croissances comparées avec $\ln$.
- Mener une étude complète d'une fonction faisant intervenir $\ln$.
- Connaître les valeurs remarquables de cosinus et sinus.
- Connaître les propriétés de parité, périodicité et angles associés.
- Calculer les dérivées de $\cos(u)$ et $\sin(u)$ pour une fonction $u$ dérivable.
- Connaître les limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} = 0$.
- Résoudre des équations et inéquations trigonométriques sur un intervalle donné.