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Programme Lycée TleCours MathématiquesSemaine 4 - Limites et continuité des fonctionsFiche de révision : Semaine 4 - Limites et continuité des fonctionsFiche de révision Semaine 4 - Limites et continuité des fonctions
Limites de fonctions
Limite finie en un point
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $a$ un réel.
Dire que $f$ a pour limite $l$ en $a$ signifie que $f(x)$ peut être rendu aussi proche que l'on veut de $l$ lorsque $x$ est suffisamment proche de $a$. On note : $$\lim_{x \to a} f(x) = l$$
Définition
Limites à gauche et à droite
- La limite à gauche de $f$ en $a$ est la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ avec $x < a$. On note : $\displaystyle\lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x)$
- La limite à droite de $f$ en $a$ est la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ avec $x > a$. On note : $\displaystyle\lim_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x)$
→ $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
Limites infinies et limites en l'infini
Définition
- Dire que $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que $f(x)$ devient arbitrairement grand lorsque $x$ tend vers $a$.
- Dire que $f$ a pour limite $l$ en $+\infty$ signifie que $f(x)$ peut être rendu aussi proche que l'on veut de $l$ lorsque $x$ est suffisamment grand.
Définition
Asymptotes
- Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.
- Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = l$, la droite d'équation $y = l$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$.
- Si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$, la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$.
Opérations sur les limites
À retenir
Formes indéterminées (FI)
Certaines combinaisons de limites ne permettent pas de conclure directement : on parle de forme indéterminée.
Les principales formes indéterminées sont : $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$.
→ Il faut alors lever l'indétermination en transformant l'expression, le plus souvent en factorisant par le terme de plus haut degré.
À retenir
Limites de la somme
$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ |
$\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)$ |
$\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)$ |
$l$ |
$l'$ |
$l+l'$ |
$l$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$l$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
FI |
À retenir
Limites du produit
$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ |
$\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)$ |
$\displaystyle\lim_{x\to a}(f \times g)(x)$ |
$l$ |
$l'$ |
$l \times l'$ |
$l \neq 0$ |
$\pm\infty$ |
$\pm\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
$0$ |
$\pm\infty$ |
FI |
À retenir
Limites du quotient
$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ |
$\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)$ |
$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ |
$l$ |
$l' \neq 0$ |
$\dfrac{l}{l'}$ |
$l$ |
$\pm\infty$ |
$0$ |
$\pm\infty$ |
$l$ |
$\pm\infty$ |
$\pm\infty$ |
$\pm\infty$ |
FI |
$0$ |
$0$ |
FI |
Théorèmes de comparaison et des gendarmes
Propriété
Théorème de comparaison
Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x) \geq g(x)$ sur un intervalle $]a\,;\,+\infty[$ :
- Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
- Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$.
Propriété
Théorème des gendarmes
Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions telles que $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ sur un intervalle $I$. Si : $$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = l$$ → alors $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = l$.
Limites à connaître
À retenir
Croissances comparées
Pour tout entier naturel $n \geq 1$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{\text{e}^x} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\text{e}^x}{x^n} = +\infty$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$$
→ L'exponentielle l'emporte sur tout polynôme en $+\infty$.
→ Le logarithme est dominé par tout polynôme en $+\infty$.
Limite par composition
Propriété
Soit $a$, $l$ et $L$ trois réels, et $f$ et $g$ deux fonctions telles que : $$\lim_{x \to a} g(x) = l \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to l} f(x) = L$$ → Alors : $\displaystyle\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$
Cette propriété est aussi valable lorsque $a$, $l$ ou $L$ sont $\pm\infty$.
Astuce
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Consulte le cours :
Dérivée de fonctions composées
Dérivée d'une fonction composée
Propriété
Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$ et $f$ une fonction dérivable sur $u(I)$.
La fonction $x \mapsto f(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est : $$(f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'(u(x))$$
Dérivées usuelles de fonctions composées
À retenir
Tableau des dérivées de fonctions composées
Fonction |
Dérivée |
Conditions |
$u^n$ |
$n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ |
$n \in \mathbb{Z}$, $u \neq 0$ si $n < 0$ |
$\sqrt{u}$ |
$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
$u > 0$ |
$\text{e}^u$ |
$u' \cdot \text{e}^u$ |
$u$ dérivable |
$\ln u$ |
$\dfrac{u'}{u}$ |
$u > 0$ |
Exemple
Soit $f(x) = \text{e}^{2x^2 - 3x}$.
On pose $u(x) = 2x^2 - 3x$, donc $u'(x) = 4x - 3$.
$$f'(x) = u'(x) \cdot \text{e}^{u(x)} = (4x-3)\,\text{e}^{2x^2-3x}$$
Exemple
Soit $f(x) = \ln(3x+1)$ définie sur $\left]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[$.
On pose $u(x) = 3x+1$, donc $u'(x) = 3$.
$$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{3}{3x+1}$$
Astuce
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Consulte le cours :
Fonctions convexes
Définitions graphiques
Définition
Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$.
- $f$ est convexe sur $I$ lorsque sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$.
- $f$ est concave sur $I$ lorsque sa courbe représentative est en dessous de toutes ses tangentes sur $I$.
Définition
Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction passe de convexe à concave, ou inversement.
→ C'est un point où la tangente traverse la courbe.
Convexité et dérivée
Propriété
Convexité et sens de variation de la dérivée
Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction dérivable sur $I$ :
- $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$.
- $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f'$ est décroissante sur $I$.
Propriété
Convexité et dérivée seconde
Si $f$ est dérivable deux fois sur $I$, on appelle dérivée seconde de $f$, notée $f''$, la dérivée de $f'$.
- $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$.
- $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''(x) \leq 0$ pour tout $x$ de $I$.
À retenir
Point d'inflexion et dérivée seconde
Un point d'abscisse $a$ est un point d'inflexion si et seulement si $f''$ change de signe en $a$.
→ On cherche donc les zéros de $f''$ et on étudie son signe.
Astuce
Pour identifier rapidement la convexité d'une courbe :
- Courbe convexe (en forme de $\cup$) → $f'' \geq 0$
- Courbe concave (en forme de $\cap$) → $f'' \leq 0$
Astuce
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Consulte le cours :
Continuité des fonctions
Définition de la continuité
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à $I$.
$f$ est continue en $a$ si : $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$
$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Propriété
Toute fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$.
→ La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable.
Fonctions continues usuelles
Propriété
Les fonctions suivantes sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition :
- les fonctions affines et polynômes sur $\mathbb{R}$,
- la fonction inverse sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$,
- la fonction racine carrée sur $[0\,;\,+\infty[$,
- la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$,
- la fonction logarithme sur $]0\,;\,+\infty[$.
Propriété
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$, alors :
- $u + v$ et $u \times v$ sont continues sur $I$.
- $\dfrac{u}{v}$ est continue sur tout intervalle où $v$ ne s'annule pas.
- $f \circ u$ est continue sur $I$ si $f$ est continue sur $u(I)$.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Propriété
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a\,;\,b]$ tel que $f(c) = k$.
Propriété
Corollaire (cas strict)
Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, alors pour tout $k$ compris strictement entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c \in ]a\,;\,b[$ tel que $f(c) = k$.
À retenir
Application pratique — méthode de dichotomie
Pour trouver une valeur approchée de $c$ telle que $f(c) = 0$ :
- On encadre $c$ dans un intervalle $[a\,;\,b]$ tel que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés.
- On calcule $f!\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$ et on détermine dans quelle moitié se trouve le zéro.
- On répète l'opération jusqu'à obtenir la précision souhaitée.
Attention
Le TVI garantit l'existence d'une solution, mais ne donne pas sa valeur exacte. Il faut s'assurer que $f$ est bien continue sur l'intervalle considéré avant de l'appliquer.
Limite d'une suite et point fixe
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite vérifiant $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$, où $f$ est une fonction continue.
Si la suite $(u_n)$ est convergente de limite $l$, alors $l$ est solution de l'équation : $$f(l) = l$$
→ On appelle $l$ un point fixe de $f$.
Astuce
Pour trouver la limite éventuelle d'une suite $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1} = f(u_n)$ :
- On résout $f(l) = l$ pour identifier les candidates.
- On démontre ensuite que la suite est bien convergente (par exemple en montrant qu'elle est monotone et bornée).
- On conclut que la limite est la valeur $l$ trouvée.
Astuce
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Consulte le cours :
🎯 À maîtriser pour le bac
- Calculer une limite finie ou infinie en un point ou en l'infini.
- Identifier et lever une forme indéterminée.
- Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et obliques d'une courbe.
- Appliquer le théorème des gendarmes et le théorème de comparaison.
- Connaître et utiliser les limites de croissances comparées (exponentielle, logarithme, puissances).
- Calculer la limite d'une fonction composée.
- Dériver une fonction composée en utilisant la formule $(f \circ u)' = u' \times f'(u)$.
- Connaître et appliquer les dérivées usuelles de fonctions composées.
- Définir et caractériser la convexité à l'aide de $f''$.
- Identifier un point d'inflexion par le changement de signe de $f''$.
- Définir la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle.
- Énoncer et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
- Utiliser la méthode de dichotomie pour encadrer une solution.
- Identifier la limite d'une suite récurrente à l'aide d'un point fixe.