Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Appliquer la deuxième loi de Newton

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Les images ne sont pas encore disponibles pour ce cours. Nos graphistes font tout leur possible pour les réaliser au plus vite. 😉

Introduction :

Faire atterrir un avion convenablement sur la terre ferme demande de l’entraînement. L’atterrissage sur un porte-aéronefs (ou « porte-avions ») est rendu périlleux par les dimensions et les mouvements de la « piste » qui se trouve sur le pont du navire. Déjà bien plus étroite et courte qu’une piste terrestre, elle monte et descend avec la houle.

Le décollage présente aussi une difficulté : un avion doit atteindre une vitesse minimale pour décoller, sans quoi la portance n’est pas suffisante et il retombe au sol. Or le pont d’envol est trop court pour permettre à un avion d’atteindre la vitesse de décollage grâce à la seule poussée de ses réacteurs. En pratique, une catapulte, consistant en un très gros piston à vapeur, exerce la poussée nécessaire pour faire décoller l’avion. Mais comment déduire la force à exercer pour atteindre la vitesse voulue ?

Tout d’abord dans ce chapitre nous rappelons la notion de référentiel galiléen et présentons des applications de la 1re loi de Newton. Puis, des applications de la 2e loi de Newton sont abordées, comme la détermination d’une force appliquée à un système mécanique, ou de sa trajectoire, après une discussion sur la notion de centre de masse.

Le principe d’inertie

bannière rappel

Rappel

Énoncé du principe d’inertie, ou 1re loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, tout système reste immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (MRU), si et seulement si la résultante des forces extérieures qui s’y appliquent est nulle.

Référentiels galiléens

Le principe d’inertie ne peut s’appliquer que dans un référentiel galiléen.

bannière definition

Définition

Référentiel galiléen :

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie s’applique. Tout référentiel en MRU par rapport à un référentiel galiléen, est aussi galiléen.

Cette définition permet, en pratique de déterminer si un référentiel est galiléen ou non. En première, nous avons vu que le référentiel héliocentrique et le référentiel géocentrique peuvent être considérés comme galiléens, ainsi qu’un référentiel terrestre lié au sol, à condition de respecter certaines limites sur les intervalles de temps considérés.

bannière exemple

Exemple

Dans un bus roulant en ligne droite à vitesse constante, un passager est assis. Les forces qui s’exercent sur le passager sont :

  • son poids P\vec P ;
  • la réaction du siège R\vec R.

D’après le principe d’inerte, ces deux forces se compensent, soit : P+R=0\vec P+\vec R=\vec 0 De plus dans le référentiel du bus, le passager est immobile. Ceci est conforme au principe d’inertie, on peut donc dire que ce référentiel est galiléen.

Img01

Un peu plus tard, le même bus prend un virage. Les forces s’exerçant sur le passager assis sont les mêmes, et se compensent. Cependant, le passager tend à être entraîné vers l’extérieur du virage. Ceci n’est pas conforme avec le principe d’inertie, on peut donc dire que le bus, qui n’est pas en MRU par rapport au référentiel terrestre, n’est pas dans un référentiel galiléen.
On appelle souvent pseudo-force centrifuge l’effet d’entraînement ressenti par le passager dans le virage. Il ne s’agit pas d’une force car aucun élément extérieur n’exerce cette action sur le système.

Le bus du cas 1 est en MRU par rapport au sol. On peut dire, de manière équivalente quoique moins intuitive, que le sol est en MRU par rapport au bus. Le référentiel terrestre lié au sol est donc en MRU par rapport à un référentiel galiléen : il est galiléen aussi.

De même, pour des expériences bien plus courtes que la période de rotation de la Terre, on peut dire que le référentiel terrestre est en MRU par rapport au référentiel géocentrique, et réciproquement : le référentiel géocentrique est donc galiléen.
De même, le référentiel héliocentrique peut être considéré galiléen, car sur une durée bien plus courte que la période de révolution de la Terre, celle-ci, et donc le référentiel géocentrique galiléen, est en MRU par rapport au référentiel héliocentrique.

L’équilibre mécanique

bannière definition

Définition

Équilibre mécanique :

Dans un référentiel galiléen, un système mécanique est à l’équilibre mécanique (aussi appelé équilibre statique) si la résultante des forces qui s’y appliquent est nulle.

  • Un système à l’équilibre n’est donc pas forcément immobile. D’après le principe d’inertie, il peut aussi bien être en mouvement rectiligne uniforme.

On appelle équilibre en translation l’équilibre défini ci-dessus, qui garantit que le système ne subit pas d’accélération. Vous verrez plus tard un autre aspect de l’équilibre mécanique : l’équilibre en rotation, qui garantit que le système ne « bascule » pas ou ne tourne pas sur lui-même.

bannière exemple

Exemple

Considérons un dynamomètre. Celui-ci indique la force exercée par l’objet en suspension, qui met en extension le ressort contenu dans le dynamomètre. Pour cet exemple, le système est le crochet à l’extrémité du ressort.

Img02

Les forces exercées sont la force à mesurer F\vec F, qui tend à étirer le ressort, et la force de rappel T\vec T de celui-ci, qui s’oppose à son étirement. Au cours de la mesure, ce crochet est immobile, donc à l’équilibre.

  • La force de rappel compense donc exactement la force à mesurer.

Le principe fondamental de la dynamique

bannière rappel

Rappel

Énoncé de la 2e loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces extérieures exercées sur un système mécanique est égale à la dérivée temporelle de sa quantité de mouvement.

bannière rappel

Rappel

Le vecteur quantité de mouvement d’un système est le produit de sa masse par son vecteur vitesse :

p=mv\vec{p}=m\vec{v}

La quantité de mouvement s’exprime en kgms1\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.

Les systèmes étudiés cette année sont de masse constante. La dérivée de la quantité de mouvement vaut donc le produit de la masse mm du système par l’accélération a\vec a de son centre de masse. On obtient la relation vectorielle, avec ΣF\Sigma\vec F la résultante des forces extérieures : ΣF=ma\Sigma \vec F=m \vec a Avec :

  • F\vec F la force en N\text{N}, soit 1 N=1 kgms21\ \text{N}=1\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2} ;
  • mm la masse du système en kg\text{kg} ;
  • a\vec a l’accélération du système en ms2\text{m}\cdot \text{s}^{-2}.

Le centre de masse d’un système mécanique

L’étude du mouvement d’un système mécanique inclut sa modélisation par un point matériel : la trajectoire déterminée est celle de ce point. Celui-ci est en général confondu avec le centre de masse du système.

bannière definition

Définition

Centre de masse :

Le centre de masse d’un système mécanique est le barycentre (centre de gravité) des masses qui le composent. Il s’agit aussi du point d’application du poids du système.

bannière exemple

Exemple

Considérons une règle en métal de 20 cm20\ \text{cm}, qu’on cherche à placer en équilibre sur la tranche de sa main (ou un autre support). Les deux forces qui s’exercent sur la règle sont son poids P\vec P et la réaction du support R\vec R.
La condition d’équilibre en translation est que les deux forces se compensent. Même si l’équilibre en rotation n’a pas encore été abordé, on comprend bien que, si la main est mal placée, la règle bascule du côté où est appliqué le poids. La règle reste immobile si la réaction du support est appliquée exactement au niveau du centre de masse. La règle étant un objet assez homogène, son centre de masse se trouve au milieu.

Img03 – Centre de masse d’une règle en équilibre

  • L’équilibre d’une règle sur un support ponctuel n’est assuré que si celui-ci est placé au niveau du centre de masse de la règle, au point d’application du poids.

Applications de la 2e loi de Newton

Par son énoncé cette loi relie explicitement l’accélération du système, aux forces extérieures exercées sur le système. Sans compter les cas particuliers vus dans ce chapitre, le lien entre la trajectoire exacte et les composantes de l’accélération sera fait à l’aide de méthodes vues dans le chapitre suivant.

bannière à retenir

À retenir

On peut donc appliquer la 2e loi de Newton pour déterminer :

  • l’accélération du système, et sa trajectoire, connaissant les forces extérieures exercées ;
  • la résultante des forces extérieures (ou l’une d’elles si les autres sont connues), connaissant le mouvement du système.
bannière exemple

Exemple

Prenons l’exemple d’un avion au décollage sur le pont d’un porte-avions. Les forces exercées sur le système sont : son poids P\vec P, la poussée de ses réacteurs Fp\vec Fp, la réaction normale du pont R\vec R, et une force de poussée supplémentaire exercée par la catapulte Fc\vec Fc.

Img04 – Avion de chasse « Rafale » catapulté depuis le pont du porte-avions « Charles de Gaulle ».

L’avion roule sur la piste en prenant de la vitesse, on peut donc négliger ici les forces de frottements. Le poids et la réaction du pont se compensent, soit R+P=0\vec R+ \vec P=\vec 0.
La résultante des deux forces restantes Fp\vec Fp et Fc\vec Fc est une force constante, horizontale et orientée vers l’avant : l’avion est en mouvement rectiligne uniformément accéléré jusqu’à son décollage.

Estimons la force exercée par la catapulte Fc\vec F_c.
L’avion, immobile au départ, doit atteindre une vitesse v=90 ms1v=90\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} après une durée Δt=3,0 s\Delta t=3,0\ \text{s}.

Son accélération vaut donc : a=vΔt=30 ms2\begin{aligned} a&=\dfrac{v}{\Delta t}\ &=30\ \text{m}\cdot \text{s}^2 \end{aligned}

L’avion a une masse m=20 tm=20\ \text{t} et la poussée de ses réacteurs vaut Fp=150 kN\vec Fp=150\ \text{kN}.
On applique alors la 2e loi de Newton, soit : P+R+Fp+Fc=maFp+Fc=ma\vec P+\vec R+\vec F
p +\vec Fc=m \vec a \Longleftrightarrow \vec Fp +\vec F_c=m \vec a

La force que doit exercer la catapulte vaut donc :

Fc=maFp=20×103×30150×103=450 kN\begin{aligned} Fc&=ma-Fp\ &=20\times10^3\times 30-150\times 10^3\ &=450\ \text{kN} \end{aligned}

Conclusion :

Nous avons vu dans ce chapitre des applications des 1re et 2e lois de Newton. D’abord, l’équilibre mécanique (en translation) d’un système a été défini, comme l’état dans lequel la résultante des forces extérieures exercées sur le système est nulle, c’est-à-dire dans lequel le principe d’inertie s’applique. Puis nous avons vu qu’il est possible de déterminer, soit la trajectoire d’un système mécanique hors équilibre connaissant les forces qui s’y appliquent, soit une des forces extérieures appliquées connaissant la trajectoire du système.
Le choix d’un référentiel d’étude galiléen est nécessaire pour appliquer les lois de la dynamique dans l’étude d’un mouvement. Nous avons vu que sa définition est aussi un critère expérimental.
Le point matériel représentant le système est confondu avec son centre de masse, que nous avons défini comme le point d’application du poids, ou encore le barycentre des masses qui composent le système.