Géométrie plane
Introduction :
Dans ce cours nous verrons certains théorèmes essentiels de géométrie plane ainsi que les principales propriétés. Le but est de pouvoir choisir parmi toutes tes connaissances la ou les notions que tu dois appliquer pour résoudre un problème et surtout trouver le bon ordre d’application de ces notions.
Triangles, théorèmes et droites remarquables
Triangles, théorèmes et droites remarquables
Théorème des milieux
Théorème des milieux
Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu du côté $[AB]$.
Si $J$ est le milieu du côté $[AC]$, alors les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles et $IJ=\dfrac 12 BC$.
Récriproque :
Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu du côté $[AB]$.
Si la droite parallèle à la droite $(BC)$ et passant par $I$ coupe le segment $[AC]$ en $J$, alors $J$ est le milieu du côté $[AC]$.
Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. D’après le théorème de Pythagore, on a : $BC^2=AB^2+AC^2$
- Réciproque :
Si $ABC$ est un triangle tel que $BC^2=AB^2+AC^2$, alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
- Contraposée :
Si $ABC$ est un triangle tel que $BC^2\neq AB^2+AC^2$, alors d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.
Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Les droites sécantes $(AB)$ et $(AC)$ sont coupées par les droites parallèles $(EC)$ et $(BC)$. Sur les droites $(AB)$ et $(AC)$ sécantes en $A$, les points $A,E,B$ et $A,D,C$ sont alignés dans le même ordre. D’après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{ED}{BC}$
- Réciproque :
Soit $ABC$ et $AED$ deux triangles tels que $A,E,B$ et $A,D,C$ soient alignés dans le même ordre. Si $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$, alors les droites $(ED)$ et $(BC)$ sont parallèles, d’après la réciproque du théorème de Thalès.
- Contraposée:
Soient $ABC$ et $AED$ deux triangles tels que $A,E,B$ et $A,D,C$ soient alignés dans le même ordre. Si $\dfrac{AE}{AB}\neq\dfrac{AD}{AC}$, alors les droites $(ED)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles, d’après la contraposée du théorème de Thalès.
Droites remarquables dans un triangle
Droites remarquables dans un triangle
Médiatrices :
- Les médiatrices d’un triangle sont les droites qui passent perpendiculairement par le milieu d’un côté .
- Le point d’intersection des trois médiatrices d’un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Hauteurs :
- Les hauteurs d’un triangle sont les droites qui passent par un sommet du triangle et qui sont perpendiculaires au côté opposé.
- Le point d’intersection des trois hauteurs d’un triangle est appelé l’orthocentre du triangle.
Médianes :
Les médianes d’un triangle sont les droites qui passent par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé.
Le point d’intersection des trois médianes d’un triangle est appelé le centre de gravité du triangle.
De plus, $AG=\dfrac{2}{3}AA'\ ; \ BG=\dfrac{2}{3}BB'\ ;\ CG=\dfrac{2}{3}CC '$
Bissectrices :
- Les bissectrices d’un triangle sont les droites qui partagent les angles du triangle en deux angles égaux.
- Le point d’intersection des trois bissectrices d’un triangle est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Les quadrilatères
Les quadrilatères
Les parallélogrammes
Les parallélogrammes
Quadrilatère :
Un quadrilatère est une figure fermée à quatre côtés, quatre sommets et quatre angles.
Parallélogramme :
Un parallélogramme est un quadrilatère dont :
- les côtés opposés sont parallèles
- les côtés opposés ont même longueur
- les angles opposés sont égaux
- les diagonales ont le même milieu
- le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.
- Il y a trois parallélogrammes particuliers : le rectangle, le losange et le carré.
Le rectangle
Le rectangle
Quand on a montré que le quadrilatère est un parallélogramme, il faut montrer l’une des propriétés ci-dessous en plus pour pouvoir dire que c’est un rectange :
Rectangle :
Un rectangle est un parallélogramme qui :
- a un angle droit
- a les diagonales de même longueur.
Le losange
Le losange
Quand on a montré que le quadrilatère est un parallélogramme, il faut montrer l’une des propriétés ci-dessous en plus pour pouvoir dire que c’est un losange :
Losange :
Un losange est un parallèlogramme dont :
- deux côtés consécutifs sont égaux
- les quatre côtés sont égaux
- les diagonales sont perpendiculaires
Le carré
Le carré
Quand on a montré que le quadrilatère est un parallélogramme, il faut montrer l’une des propriétés ci-dessous en plus pour pouvoir dire que c’est un carré :
Carré :
Un carré est :
- un rectangle avec deux côtés consécutifs égaux
- un rectangle avec des diagonales perpendiculaires
- un losange avec un angle droit
- un losange avec des diagonales de même longueur
La diagonale d’un carré de côté $a$ est égale à $a\sqrt{2}$.
Repérage de points dans le plan
Repérage de points dans le plan
Repère :
On appelle repère, tout triplet $(O, I,J)$ où le point $O$ est appelé l’origine du repère, $I$ est le point donnant une unité sur l’axe des abscisses et $J$ est le point donnant une unité sur l’axe des ordonnées.
Repère orthogonal :
Un repère orthogonal est un repère où les axes sont perpendiculaires.
Repère normé :
Un repère normé est un repère où les longueurs $OI$ et $OJ$ sont égales.
Repère orthonormé :
Un repère orthonormé est un repère à la fois orthogonal et normé.
Coordonnées
Coordonnées
Coordonnées d’un point :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées d’un point $M$ sont l’abscisse $x_M$ et l’ordonnée $y_M$ de $M$. On note $M(x_M;y_M)$.
Milieu d’un segment
Milieu d’un segment
Soient $\text{A}(x_A;y_A)$ et $\text{B}(x_B;y_B)$ deux points du plan.
Les coordonnées du milieu $\text{I}$ du segment $[\text{AB}]$ sont : $\text{I}\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
Calcul de longueur
Calcul de longueur
On se place dans un plan rapporté à un repère orthonormé.
On considère les points $\text{A}(x_A;y_A)$ et $\text{B}(x_B;y_B)$. La distance de $\text{A}$ à $\text{B}$, notée $\text{AB}$, vaut :
$\text{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Cette relation n’est valable que si le repère est orthonormé.
Conclusion :
Toutes les définitions et propriétés de ce cours servent à démontrer bien plus que ce qui a été présenté, par exemple :
- La réciproque ou la contraposée du théorème des milieux ou du théorème de Thalès permettent de démontrer que deux droites sont parallèles.
- La réciproque du théorème des milieux permet de déterminer l’emplacement du milieu d’un segment.
- La réciproque ou la contraposée du théorème de Pythagore permettent de démontrer lorsqu’un triangle est rectangle ou non.
- Les théorèmes de Thalès et de Pythagore permettent de caluculer des longueurs.