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Programme Lycée 1ereCours MathématiquesSemaine 4 - Géométrie analytiqueFiche de révision : Semaine 4 - Géométrie analytiqueFiche de révision Semaine 4 - Géométrie analytique
Ce planning de révision concerne les élèves de Première suivant la spécialité mathématiques. Il regroupe les notions, QCM et exercices correspondant au programme spécifique de cet enseignement.
👉 Les élèves suivant l’enseignement spécifique doivent utiliser le planning dédié à la spécialité, disponible ici :
→ Planning Maths - Enseignement Scientifique
Géométrie repérée
Colinéarité de deux vecteurs
Définition
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$, appelé coefficient de colinéarité, tel que : $$\vec{v} = k\vec{u}$$
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
À retenir
Par convention, $\vec{0}$ (le vecteur nul) est colinéaire à tout vecteur.
Propriété
Soit $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$ deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé du plan :
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si : $$xy' - yx' = 0$$
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Vecteur directeur et vecteur normal à une droite
Définition
Soit $D$ une droite et $\vec{u}$ un vecteur non nul du plan.
On dit que $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $D$ s'il existe deux points $A$ et $B$ de $D$ tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$.
Propriété
Soit $\vec{u}$ un vecteur directeur d'une droite $D$.
Un vecteur $\vec{v}$ est un vecteur directeur de la droite $D$ si et seulement si $\vec{v}$ est non nul et colinéaire à $\vec{u}$.
Soit $D$ et $D'$ deux droites de vecteurs directeurs respectivement $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :
- $D$ et $D'$ sont parallèles si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Définition
Soit $\vec{n}$ un vecteur non nul et $D$ une droite.
On dit que $\vec{n}$ est un vecteur normal à $D$ si $\vec{n}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $D$.
À retenir
Un point $M$ appartient à la droite $D$ passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$ si et seulement si les vecteurs $\vec{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.
Équations cartésiennes de droites
Définition
Dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$, une droite $D$ a pour équation cartésienne une équation de la forme : $$ax + by + c = 0$$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels, avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$.
- Le vecteur $\vec{u}\binom{-b}{a}$ est un vecteur directeur de la droite $D$.
- Le vecteur $\vec{n}\binom{a}{b}$ est un vecteur normal à cette droite.
À retenir
Pour $a$ et $b$ deux réels avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$, si une droite $D$ a pour vecteur directeur $\vec{u}\binom{-b}{a}$ ou pour vecteur normal $\vec{n}\binom{a}{b}$, alors elle admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$, où $c$ est un nombre réel à déterminer.
Équations cartésiennes de cercles
Définition
Un cercle $C$ de centre $\Omega(x_\Omega\,;\,y_\Omega)$ et de rayon $R$ a pour équation cartésienne : $$(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 = R^2$$
À retenir
Réciproquement, $(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 = R^2$ est l'équation d'un cercle de centre $\Omega(x_\Omega\,;\,y_\Omega)$ et de rayon $R$.
Propriété
Soit $A$ et $B$ deux points distincts.
L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.
Équations cartésiennes de paraboles
Définition
Une parabole a pour équation cartésienne une équation de la forme : $$y = ax^2 + bx + c$$ où $a \neq 0$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.
Propriété
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$.
Si $a > 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty\,;\,-\dfrac{b}{2a}\right]$, puis strictement croissante sur $\left[-\dfrac{b}{2a}\,;\,+\infty\right[$. La parabole a les branches tournées vers le haut et admet un minimum en $x = -\dfrac{b}{2a}$.
Si $a < 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,;\,-\dfrac{b}{2a}\right]$, puis strictement décroissante sur $\left[-\dfrac{b}{2a}\,;\,+\infty\right[$. La parabole a les branches tournées vers le bas et admet un maximum en $x = -\dfrac{b}{2a}$.
Dans les deux cas, la parabole a pour sommet le point $S!\left(-\dfrac{b}{2a}\,;\,f!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$ et admet la droite d'équation $x = -\dfrac{b}{2a}$ comme axe de symétrie.
Astuce
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Consulte le cours :
Calcul vectoriel et produit scalaire
Produit scalaire de deux vecteurs du plan
Définition
Norme d'un vecteur :
Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan et soit $A$ et $B$ deux points tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$.
On appelle norme du vecteur $\vec{u}$ le réel positif ou nul, noté $\lVert\vec{u}\rVert$, défini par $\lVert\vec{u}\rVert = AB$.
La norme d'un vecteur correspond à la distance entre les deux points extrémités de ce vecteur.
Définition
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de $\vec{u}$ par $\vec{v}$ le nombre réel noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ (« u scalaire v ») égal à :
- $0$ si l'un des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est nul ;
- $\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos(\vec{u},\,\vec{v})$, si $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $\vec{v} \neq \vec{0}$.
Propriété
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs colinéaires :
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de même sens, alors : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert = AB \times AC$$
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de sens contraire, alors : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = -\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert = -AB \times AC$$
Définition
Carré scalaire :
Soit $\vec{u}$ un vecteur. Le carré scalaire de $\vec{u}$, noté $\vec{u}^{\,2}$, est le nombre réel défini par $\vec{u}^{\,2} = \vec{u} \cdot \vec{u}$.
On a : $\vec{u}^{\,2} = \lVert\vec{u}\rVert^2$
Propriétés de calcul du produit scalaire
Propriété
Quels que soient les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et le réel $k$, on a :
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
- $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
- $\vec{u} \cdot (k\vec{v}) = (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,\vec{u} \cdot \vec{v}$
- $(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^{\,2} + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^{\,2}$
- $(\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^{\,2} - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^{\,2}$
Théorème d'Al-Kashi
Propriété
Soit un triangle $ABC$ avec $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$, et les angles $A = \widehat{BAC}$, $B = \widehat{ABC}$, $C = \widehat{BCA}$ :
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$
À retenir
Le théorème d'Al-Kashi est la relation généralisée de Pythagore.
Il permet notamment de calculer un angle lorsque les longueurs des trois côtés d'un triangle sont connues.
Transformation de l'expression $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$
Propriété
Soit $A$ et $B$ deux points distincts, $M$ un troisième point et $I$ le milieu de $[AB]$.
$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \lVert\overrightarrow{MI}\rVert^2 - \lVert\overrightarrow{IA}\rVert^2$$
À retenir
Cette transformation permet notamment de caractériser un cercle à l'aide d'un produit scalaire : l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.
Astuce
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🎯 À maîtriser pour le bac
- Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires à partir de leurs coordonnées grâce à la condition $xy' - yx' = 0$.
- Vérifier l'alignement de trois points ou le parallélisme de deux droites à l'aide de la colinéarité.
- Identifier le vecteur directeur $\vec{u}\binom{-b}{a}$ et le vecteur normal $\vec{n}\binom{a}{b}$ d'une droite d'équation $ax + by + c = 0$.
- Déterminer une équation cartésienne d'une droite connaissant un point et un vecteur directeur ou normal.
- Reconnaître et déterminer l'équation cartésienne d'un cercle, identifier son centre et son rayon.
- Caractériser un cercle de diamètre $[AB]$ par la condition $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
- Reconnaître une parabole, déterminer son sommet, son axe de symétrie et le sens de ses branches.
- Calculer un produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos(\vec{u},\,\vec{v})$ et utiliser ses propriétés de calcul.
- Appliquer le théorème d'Al-Kashi pour calculer un côté ou un angle d'un triangle.
- Utiliser la transformation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \lVert\overrightarrow{MI}\rVert^2 - \lVert\overrightarrow{IA}\rVert^2$ avec $I$ milieu de $[AB]$.