Épreuve de Bernoulli et loi Binomiale

Introduction :

Ce cours est fortement en lien avec celui sur les probabilités et notamment avec la partie sur la répétition d’expériences identiques et indépendantes, tu peux donc, si besoin, revoir la vidéo correspondante.

Nous commencerons cette leçon avec les définitions d’une épreuve et d’un schéma de Bernoulli puis nous parlerons des coefficients binomiaux et du triangle de Pascal, enfin, nous terminerons par la définition et les propriétés de la loi binomiale.

Épreuve et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

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Définition

Épreuve de Bernoulli :

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, toute expérience admettant deux issues exactement :

  • l’une appelée « succès » notée $S$, dont la probabilité est $p$ ;
  • l’autre appelée « échec » notée $\bar S$, dont la probabilité est $1-p$.

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Exemple

On lance un dé cubique équilibré et on s’intéresse au succès « obtenir un 6 ». Alors la probabilité du succès est $p(S)=\dfrac16$ et la probabilité de l’échec est $p(\bar S )=\dfrac56$.

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Propriété

On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ($p$ est un réel compris entre 0 et 1. La variable aléatoire $X$, prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, suit la loi donnée dans le tableau suivant et appelée loi de Bernoulli de paramètre $p$.

$x_i$ 0 1
$p(X=x_i)$ $1-p$ $p$
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Propriété

Ces propriétés concernant l’espérance et la variance de la loi de Bernoulli se démontrent facilement à l’aide du cours sur les probabilités et des formules générales d’espérance et de variance.

Schéma de Bernoulli

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Définition

Schéma de Bernoulli :

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, avec $n$ entier naturel non nul et $p$ réel compris entre 0 et 1, toute expérience aléatoire consistant à répéter $n$ fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

Un schéma de Bernoulli est souvent représenté par un arbre pondéré ; un résultat est une liste de $n$ issues $S$ ou $\bar S$.

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Exemple

« On dispose d’une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard trois fois de suite avec remise une boule dans cette urne et on s’intéresse au nombre de boules blanches obtenues. »

  • Un tirage représente une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac7{10}$puisqu’à chaque tirage on a 7 chances sur 10 de tirer une boule blanche, le tirage s’effectuant avec remise.

  • En répétant 3 fois cette même épreuve de façon indépendante, on obtient donc un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3\text{ et }p=\dfrac{7}{10}$.
  • On peut appeler $Y$ le nombre de succès (boules blanches obtenues) ; alors $Y$ prend ses valeurs dans l’ensemble $\big\lbrace0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\big\rbrace$

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Coefficients binomiaux

Définition

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Définition

Coefficient binomial :

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. $k$ est un entier tel que $0≤k≤n$.

On appelle coefficient binomial le nombre de chemins conduisant à $k$ succès sur l’arbre représentant cette expérience.

Ce nombre se note $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ et se lit « $k$ parmi $n$ ».

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À retenir

Par convention, on pose $\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=1$.

On peut obtenir ces nombres très facilement à l’aide de la calculatrice :

Avec une Ti

  • Entrer le nombre n choisi ;
  • MATH ;
  • PRB ;
  • Choix n°3 : « nCr » ou « Combinaison » selon la langue utilisée par la calculatrice ;
  • Entrer ;
  • Entrer le nombre k choisi ;
  • ENTRER

Avec une casio

  • Entrer le nombre n choisi ;
  • OPTN ;
  • PROB ;
  • nCr
  • Entrer le nombre k choisi ;
  • EXE

Propriétés et triangle de Pascal

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Propriété

Une expérience suit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

$k$ est un entier tel que $0 ≤ k ≤ n$.

On a les résultats suivants :

$\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1$ $\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1$ $\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=n$ $\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$

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Exemple

Soit le schéma de Bernoulli suivant où $n=3 ;$ si on note en bleu les chemins correspondant à la combinaison $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ et en rouge les chemins correspondant à la combinaison $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$, on obtient l’arbre suivant avec 3 chemins rouges et 3 chemins bleus.

On a $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=3$ et $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=3$.

On peut aussi retrouver les résultats suivants :

  • $\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=1$ en suivant le chemin $SSS$
  • $\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}=1$ en suivant le chemin $\bar S\bar S\bar S$
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Propriété

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 ≤ k < n$.

Alors on a $\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}$

  • Représentons cette propriété à l’aide du triangle de Pascal :

$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ se trouve à l’intersection de la ligne $n$ et de la colonne $k$.

Alt texte

0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
  • La propriété $\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1$ permet de placer tous les $1$ de la première colonne.
  • La propriété $\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1$ permet de placer tous les $1$ de la diagonale.
  • La propriété $\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}$ permet de compléter le reste du tableau.
  • La propriété $\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ permet de justifier la symétrie observée sur chaque ligne.

Loi binomiale

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Définition

Loi binomiale :

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ (avec $n$ entier naturel non nul et $p$ un réel compris entre 0 et 1) et $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans ce schéma.

On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, que l’on note $B\big(n\ ;\ p\big)$.

La loi de la variable aléatoire $X$ est donnée, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, par :

$p(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\ p^k (1-p)^{n-k}$

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Propriété

Soit une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale $B\big(n\ ;\ p\big)$. Alors :

$E(X)=np$

$V(X)=np(1-p)$

$\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$

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Exemple

« On lance 3 fois un dé équilibré à six faces et on considère comme un succès d’obtenir un 6. En nommant $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de succès, $X$ suit une loi binomiale $B(3\ ;\dfrac16)$. »

On peut calculer par exemple $p(X=1)$.

$\begin{aligned} p(X=1)&=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}×\Big(\dfrac16\Big)^1×\big(1-\dfrac16\big)^{3-1}\\ &=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}×\Big(\dfrac16\Big)^1×\Big(\dfrac56\Big)^2\\ &=3×\dfrac16×\dfrac{25}{36}\\ p(X=1)&=\dfrac{25}{72} \end{aligned}$

  • La probabilité d’obtenir exactement un 6 en trois lancers est de $\dfrac{25}{72}$.
  • L’espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np=3×\dfrac16=\dfrac12$
  • La variance de la variable aléatoire $X$ est $V(X)=np(1-p)=3×\dfrac16×\dfrac56=\dfrac5{12}$

On peut aussi créer une simulation de la loi binomiale sur une calculatrice (Casio ou TI) grâce à un algorithme.