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Programme Lycée TleCours MathématiquesSemaine 1 - Dénombrement et probabilitésFiche de révision : Semaine 1 - Dénombrement et probabilitésFiche de révision Semaine 1 - Dénombrement et probabilités
Factorielle, k-uplet, permutation et combinaison
Définitions de base
Définition
On appelle cardinal d'un ensemble fini $E$ le nombre de ses éléments.
On le note $\text{Card}(E)$, et c'est un entier naturel.
Définition
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A_1, A_2, \ldots, A_p$ des sous-ensembles non vides d'un ensemble fini $E$.
$\lbrace A_1, A_2, \ldots, A_p \rbrace$ est une partition de $E$ si et seulement si :
- $A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_p = E$
- $A_1, A_2, \ldots, A_p$ sont disjoints deux à deux
Si $A$ est une partie de $E$, non vide et non égale à $E$, alors $A$ et $\bar{A}$ forment une partition de $E$.
Produit cartésien et k-uplets
Définition
Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ est noté $E \times F$.
Il est défini par : $E \times F = \lbrace (x, y) \text{ avec } x \in E \text{ et } y \in F \rbrace$
Le produit cartésien de $n$ ensembles est :
$$E_1 \times E_2 \times \ldots \times E_n = \lbrace (x_1, x_2, \ldots, x_n) \text{ avec, pour tout } i \in \lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace : x_i \in E_i \rbrace$$
Définition
Un $k$-uplet (ou $k$-liste) d'un ensemble fini $E$ de $n$ éléments est une liste de $k$ éléments choisis parmi les $n$ éléments de $E$.
Permutations et factorielle
Définition
On appelle permutation d'un ensemble $E$ de $n$ éléments tout $n$-uplet d'éléments distincts.
Le nombre $n!$ se lit « factorielle $n$ » :
$$n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1$$
Attention
Par convention, $0! = 1$.
Combinaisons et coefficients binomiaux
Définition
Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ représente le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ éléments, sans tenir compte de l'ordre.
Propriété
Pour tout entier naturel $n$ :
$$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$$
$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \quad \text{pour } 0 \leq k \leq n$$
Propriété
Formule de Pascal : pour $n \geq 2$ et $1 \leq k \leq n-1$ :
$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$$
Triangle de Pascal
À retenir
Le triangle de Pascal permet de calculer rapidement les coefficients binomiaux :
$$\begin{pmatrix} n \backslash k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & & & & & & & & & \\ 1 & 1 & 1 & & & & & & & & \\ 2 & 1 & 2 & 1 & & & & & & & \\ 3 & 1 & 3 & 3 & 1 & & & & & & \\ 4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & & & & & \\ 5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 & & & & \\ 6 & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 & & & \\ 7 & 1 & 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 & 1 & & \\ 8 & 1 & 8 & 28 & 56 & 70 & 56 & 28 & 8 & 1 & \\ 9 & 1 & 9 & 36 & 84 & 126 & 126 & 84 & 36 & 9 & 1 \end{pmatrix}$$
Astuce
Pour un arbre à $3$ tirages, le nombre de chemins contenant exactement $k$ succès est $\binom{3}{k}$ :
- $\binom{3}{0} = 1$ : un seul chemin avec $0$ succès $(E, E, E)$
- $\binom{3}{1} = 3$ : trois chemins avec $1$ succès $(S, E, E)$, $(E, S, E)$, $(E, E, S)$
- $\binom{3}{2} = 3$
- $\binom{3}{3} = 1$ : un seul chemin avec $3$ succès $(S, S, S)$
Astuce
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Consulte le cours :
Succession d'épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale
Rappels : probabilités conditionnelles et indépendance
Rappel
Soit $A$ et $B$ deux événements.
$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
$$p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$$
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar{B}$ le sont aussi.
Rappel
Formule des probabilités totales : si $\lbrace A_1, A_2, \ldots, A_n \rbrace$ est une partition de l'univers $\Omega$, alors pour tout événement $B$ :
$$p(B) = p(B \cap A_1) + p(B \cap A_2) + \ldots + p(B \cap A_n)$$
Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli
Définition
Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience aléatoire à deux issues :
- succès $S$, de probabilité $p$
- échec $E$, de probabilité $1 - p$
Définition
Soit $X$ la variable aléatoire associée à une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec.
$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, notée $\mathcal{B}(p)$ :
$$E(X) = p \qquad V(X) = p(1-p)$$
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définition
Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune de paramètre $p$.
Définition
Soit $X$ le nombre de succès obtenus lors d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n, p)$.
Pour tout entier $k$ avec $0 \leq k \leq n$ :
$$p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
Propriété
Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, alors :
$$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p)$$
Astuce
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Consulte le cours :
Sommes de variables aléatoires
Rappels : variable aléatoire, espérance, variance
Rappel
Soit $X$ une variable aléatoire discrète sur $\Omega$ prenant les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \, p_i \qquad V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i \, (x_i - E(X))^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$
Variables aléatoires indépendantes
Définition
Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies respectivement sur $\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont dites indépendantes si tout événement lié à $X$ est indépendant de tout événement lié à $Y$.
Pour tout $x \in X(\Omega_1)$ et pour tout $y \in Y(\Omega_2)$ :
$$p\big((X = x) \cap (Y = y)\big) = p(X = x) \times p(Y = y)$$
Définition
$n$ variables aléatoires $X_1, \ldots, X_n$ sont indépendantes si, pour tous $x_1 \in X_1(\Omega_1), \ldots, x_n \in X_n(\Omega_n)$ :
$$p\big((X_1 = x_1) \cap \ldots \cap (X_n = x_n)\big) = p(X_1 = x_1) \times \ldots \times p(X_n = x_n)$$
Transformation affine
Propriété
Soit $X$ une variable aléatoire et $a$, $b$ deux réels. Pour la variable aléatoire $Y = aX + b$ :
$$E(aX + b) = a \, E(X) + b \qquad V(aX + b) = a^2 \, V(X)$$
Somme de variables aléatoires indépendantes
Propriété
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes :
$$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$ $$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$$
Propriété
Plus généralement, pour $n$ variables aléatoires $X_1, \ldots, X_n$ indépendantes et de même loi :
$$E(X_1 + \ldots + X_n) = n \, E(X_1)$$ $$V(X_1 + \ldots + X_n) = n \, V(X_1)$$ $$\sigma(X_1 + \ldots + X_n) = \sqrt{n} \, \sigma(X_1)$$
Attention
La formule $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ n'est valable que si $X$ et $Y$ sont indépendantes. Sans indépendance, on ne peut pas additionner les variances.
Astuce
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Consulte le cours :
Loi des grands nombres et concentration
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Propriété
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$.
Pour tout réel $\delta$ strictement positif :
$$p\big(\vert X - \mu \vert \geq \delta\big) \leq \dfrac{V}{\delta^2}$$
À retenir
Cette inégalité permet de majorer la probabilité que l'écart entre $X$ et son espérance soit grand, en fonction de la variance.
Plus la variance est petite, plus cette probabilité est faible : les valeurs prises par $X$ sont alors concentrées autour de $\mu$.
Inégalité de concentration
Propriété
Soit $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V$.
On note $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}$ la moyenne empirique de l'échantillon.
On a :
$$E(M_n) = \mu \qquad V(M_n) = \dfrac{V}{n}$$
Et, pour tout réel $\delta > 0$ :
$$p\big(\vert M_n - \mu \vert \geq \delta\big) \leq \dfrac{V}{n \, \delta^2}$$
À retenir
L'inégalité de concentration permet de déterminer la taille minimale d'un échantillon en fonction d'une précision $\delta$ et d'un risque donné.
Plus $n$ est grand, plus la probabilité que $M_n$ s'écarte de $\mu$ est faible.
Loi des grands nombres
Propriété
Loi des grands nombres :
Soit $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V$.
Pour tous réels $\delta > 0$ et $\varepsilon > 0$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$ :
$$p\big(\vert M_n - \mu \vert \geq \delta\big) \leq \varepsilon$$
À retenir
La loi des grands nombres exprime que, lorsque la taille de l'échantillon est grande, la moyenne empirique $M_n$ est aussi proche que l'on veut de l'espérance $\mu$, avec une probabilité aussi grande que l'on veut.
Exemple
Lors d'une élection, on souhaite estimer le taux de participation $p = 0{,}45$ à partir d'un échantillon.
On définit la variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ si la personne tirée au sort a voté, et $0$ sinon.
$$\mu = E(X) = p = 0{,}45 \qquad V(X) = p(1-p) = 0{,}45 \times 0{,}55 = 0{,}2475$$
Pour un échantillon de taille $n$, la moyenne empirique $M_n$ donne le taux de participation observé. L'inégalité de concentration garantit que, pour $n$ suffisamment grand, $M_n$ est proche de $0{,}45$ avec un risque contrôlé.
Astuce
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🎯 À maîtriser pour le bac
- Calculer $n!$ et un coefficient binomial $\binom{n}{k}$.
- Utiliser la formule de Pascal et le triangle de Pascal.
- Reconnaître et modéliser une épreuve de Bernoulli.
- Calculer des probabilités avec la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.
- Connaître l'espérance et la variance de la loi binomiale : $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$.
- Utiliser la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance (pour des variables indépendantes).
- Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Utiliser l'inégalité de concentration pour déterminer la taille d'un échantillon.
- Énoncer et interpréter la loi des grands nombres.