Toute fonction polynôme de degré $2$ de forme développée $ax^2 + bx + c$ admet une écriture de la forme : $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$ avec : $$\alpha = -\dfrac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha)$$

Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$.

• Si $a > 0$ :
• $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\, ;\, \alpha]$, puis strictement croissante sur $[\alpha\, ;\, +\infty[$
• $f$ admet un minimum $\beta$, atteint en $x = \alpha$
• La parabole a les branches tournées vers le haut
• Si $a < 0$ :
• $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\, ;\, \alpha]$, puis strictement décroissante sur $[\alpha\, ;\, +\infty[$
• $f$ admet un maximum $\beta$, atteint en $x = \alpha$
• La parabole a les branches tournées vers le bas

• Si $\Delta > 0$ : $f$ admet deux racines réelles distinctes : $$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

• Si $\Delta = 0$ : $f$ admet une unique racine : $$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$$

• Si $\Delta < 0$ : $f$ n'admet aucune racine réelle.

Si le discriminant de $f$ est strictement positif ($\Delta > 0$), on a : $$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $f$.

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ un trinôme du second degré.

• Si $\Delta < 0$ :
• $f(x)$ est du même signe que $a$ pour tout réel $x$
• $f$ ne s'annule jamais
• Si $\Delta = 0$ :
• $f(x)$ est du même signe que $a$ pour tout réel $x \neq x_0$
• $f(x_0) = 0$
• Si $\Delta > 0$ :
• $f(x)$ est du même signe que $a$ pour $x \in ]-\infty\, ;\, x_1[ \cup ]x_2\, ;\, +\infty[$
• $f(x)$ est du signe opposé à $a$ pour $x \in ]x_1\, ;\, x_2[$
• $f(x_1) = f(x_2) = 0$

Pour tous les nombres réels $x$ et $y$, et tout entier naturel $n$ : $$\text{e}^x \times \text{e}^y = \text{e}^{x+y}$$ $$\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^y} = \text{e}^{x-y}$$ $$\left(\text{e}^x\right)^n = \text{e}^{nx}$$ $$\text{e}^{-x} = \dfrac{1}{\text{e}^x}$$ $$\text{e}^x \times \text{e}^{-x} = 1$$

Pour tout réel $x$ : $$\text{e}^x > 0$$ La fonction exponentielle est donc strictement positive sur $\mathbb{R}$.

Pour tous réels $x$ et $y$ : $$x < y \Leftrightarrow \text{e}^x < \text{e}^y$$ $$x = y \Leftrightarrow \text{e}^x = \text{e}^y$$

La fonction $x \mapsto \text{e}^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Sa dérivée est $\left(x \mapsto \text{e}^x\right)' = \left(x \mapsto \text{e}^x\right)$, qui est strictement positive sur $\mathbb{R}$, ce qui confirme la croissance stricte.

Plus généralement, pour $k$ un réel non nul, la dérivée de $x \mapsto \text{e}^{kx}$ est $x \mapsto k\text{e}^{kx}$.

Pour tout réel $a$, la suite $\left(\text{e}^{na}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ est une suite géométrique :

• de raison $\text{e}^a$
• de premier terme $\text{e}^0 = 1$

Soit $k > 0$ un réel fixé.

• La fonction $t \mapsto \text{e}^{kt}$ est définie, strictement croissante et positive sur $\mathbb{R}$ :
• L'image de $0$ est toujours $1$
• Plus $k$ est grand, plus la croissance est rapide
• On parle de croissance exponentielle
• La fonction $t \mapsto \text{e}^{-kt}$ est définie, strictement décroissante et positive sur $\mathbb{R}$ :
• L'image de $0$ est toujours $1$
• Plus $k$ est grand, plus la décroissance est rapide
• On parle de décroissance exponentielle

Pour tout nombre réel $x$ : $$-1 \leq \cos x \leq 1 \qquad \text{et} \qquad -1 \leq \sin x \leq 1$$ $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$

La fonction cosinus est définie sur $\mathbb{R}$ :

• Elle est paire : $\cos(-x) = \cos x$ $\to$ la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
• Elle est périodique de période $2\pi$ : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ $\to$ la courbe est invariante par translation de $2\pi$

La fonction sinus est définie sur $\mathbb{R}$ :

• Elle est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$ $\to$ la courbe est symétrique par rapport à l'origine
• Elle est périodique de période $2\pi$ : $\sin(x + 2\pi) = \sin x$