Fiche de révision Semaine 6 - Intégration et équations différentielles

Primitives et équations différentielles

Notion de primitive

Définition

Soit $ f $ une fonction continue sur un intervalle $ I $ .

On appelle primitive de $ f $ sur $ I $ toute fonction $ F $ dérivable sur $ I $ telle que :

$$ F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I $$

Propriété

Toute fonction $ f $ continue sur un intervalle $ I $ admet des primitives sur $ I $ .

Si $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ I $ , alors toutes les primitives de $ f $ sur $ I $ sont les fonctions de la forme :

$$ F(x) + k \qquad (k \in \mathbb{R}) $$

→ Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Attention

Pour déterminer une primitive unique, il faut une condition initiale du type $ F(a) = b $ , qui permet de calculer la valeur de la constante $ k $ .

Tableau des primitives usuelles

À retenir

Primitives des fonctions usuelles

Fonction $ f(x) $	Primitive $ F(x) $	Ensemble
$ a $ (constante)	$ ax $	$ \mathbb{R} $
$ x^n $ ( $ n \in \mathbb{Z},\ n \neq -1 $ )	$ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} $	$ \mathbb{R} $ si $ n \geq 0 $ , $ \mathbb{R}^* $ si $ n < 0 $
$ \dfrac{1}{x} $	$ \ln(x) $	$\mathbb R^{*+}$
$ \dfrac{1}{\sqrt{x}} $	$ 2\sqrt{x} $	$\mathbb R^{*+}$
$ \text{e}^x $	$ \text{e}^x $	$ \mathbb{R} $
$ \cos(x) $	$ \sin(x) $	$ \mathbb{R} $
$ \sin(x) $	$ -\cos(x) $	$ \mathbb{R} $

À retenir

Primitives de fonctions composées usuelles

Fonction $ f(x) $	Primitive $ F(x) $
$ u' \cdot u^n $ ( $ n \neq -1 $ )	$ \dfrac{u^{n+1}}{n+1} $
$ \dfrac{u'}{u} $	$ \ln(u) $
$ u' \cdot \text{e}^u $	$ \text{e}^u $
$ u' \cdot \cos(u) $	$ \sin(u) $
$ u' \cdot \sin(u) $	$ -\cos(u) $

→ Le réflexe est de reconnaître dans $ f $ la présence de $ u' $ en facteur pour identifier la forme.

Exemple

Soit $ f(x) = 3(2x-1)(x^2 - x + 4)^5 $ .

On pose $ u(x) = x^2 - x + 4 $ , alors $ u'(x) = 2x - 1 $ .

On reconnaît la forme $ u' \cdot u^n $ avec $ n = 5 $ , donc une primitive est :

$$ F(x) = 3 \times \frac{(x^2 - x + 4)^6}{6} = \frac{1}{2}(x^2 - x + 4)^6 $$

Propriétés de linéarité

Propriété

Soient $ f $ et $ g $ deux fonctions continues sur $ I $ , $ F $ et $ G $ deux primitives respectives, et $ k $ un réel.

$ F + G $ est une primitive de $ f + g $ .
$ kF $ est une primitive de $ kf $ .

Équations différentielles

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction et sa (ou ses) dérivée(s).

En terminale, on étudie les équations différentielles du premier ordre de la forme :

$$ y' = ay \qquad (a \in \mathbb{R}) $$

Propriété

Solutions de $ y' = ay $ **

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $ y' = ay $ est l'ensemble des fonctions définies sur $ \mathbb{R} $ par :

$$ f(x) = k\,\text{e}^{ax} \qquad (k \in \mathbb{R}) $$

À retenir

**Méthode de résolution avec condition initiale

Pour résoudre $ y' = ay $ avec la condition $ y(x_0) = y_0 $ :

Écrire la solution générale $ f(x) = k\,\text{e}^{ax} $ .
Substituer la condition initiale : $ y_0 = k\,\text{e}^{a x_0} $ .
Déduire la valeur de $ k $ et conclure.

Exemple

Résoudre $ y' = -5y $ avec $ y(0) = 2 $ .

La solution générale est $ f(x) = k\,\text{e}^{-5x} $ .

Condition initiale : $ f(0) = k\,\text{e}^0 = k = 2 $ .

→ La solution est $ f(x) = 2\,\text{e}^{-5x} $ .

Propriété

Équation différentielle du type $ y' = ay + b $ **

Pour résoudre $ y' = ay + b $ , on cherche d'abord une **solution particulière constante $ y_p $ telle que $ ay_p + b = 0 $ , soit $ y_p = -\dfrac{b}{a} $ .

L'ensemble des solutions est alors :

$$ f(x) = k\,\text{e}^{ax} + y_p \qquad (k \in \mathbb{R}) $$

Astuce

Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :

Primitives et équations différentielles

Calcul intégral

Définition de l'intégrale

Définition

Soit $ f $ une fonction continue et positive sur $ [a\,;\,b] $ .

L'intégrale de $ a $ à $ b $ de $ f $ , notée $ \displaystyle\int_a^b f(x)\,\text{d}x $ , est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe de $ f $ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $ x = a $ et $ x = b $ .

Définition

Soit $ f $ une fonction continue sur $ [a\,;\,b] $ , de signe quelconque, et $ F $ une primitive de $ f $ sur $ [a\,;\,b] $ .

On définit l'intégrale de $ a $ à $ b $ de $ f $ par :

$$ \int_a^b f(x)\,\text{d}x = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b $$

Astuce

Méthode de calcul d'une intégrale

Trouver une primitive $ F $ de $ f $ sur $ [a\,;\,b] $ .
Calculer $ F(b) - F(a) $ en utilisant la notation $ \Big[F(x)\Big]_a^b $ .
Conclure (le résultat est un nombre réel).

Propriétés des intégrales

Propriété

Linéarité

$$ \int_a^b \bigl(f(x) + g(x)\bigr)\,\text{d}x = \int_a^b f(x)\,\text{d}x + \int_a^b g(x)\,\text{d}x $$

$ \int_a^b k\,f(x)\,\text{d}x = k\int_a^b f(x)\,\text{d}x \qquad (k \in \mathbb{R}) $

Propriété

Relation de Chasles

$$ \int_a^b f(x)\,\text{d}x = \int_a^c f(x)\,\text{d}x + \int_c^b f(x)\,\text{d}x $$

Intervalle de longueur nulle

$$ \int_a^a f(x)\,\text{d}x = 0 $$

Inversion des bornes

$$ \int_a^b f(x)\,\text{d}x = -\int_b^a f(x)\,\text{d}x $$

Intégrale et aire

À retenir

Aire entre la courbe et l'axe des abscisses

Signe de $ f $ sur $ [a\,;\,b] $	Aire du domaine
$ f \geq 0 $	$ \displaystyle\int_a^b f(x)\,\text{d}x $
$ f \leq 0 $	$ \displaystyle-\int_a^b f(x)\,\text{d}x $
Signe quelconque	$ \displaystyle\int_a^b \lvert f(x)\rvert\,\text{d}x $

À retenir

Aire entre deux courbes

Si $ f(x) \leq g(x) $ pour tout $ x \in [a\,;\,b] $ , l'aire (en u.a.) du domaine compris entre les courbes $

$\mathscr{C}f$ et $\mathscr{C}g$ et les droites $x = a$ et $x = b$ est : $$\int_a^b \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,\text{d}x \text{ u.a.}$$

Valeur moyenne

Définition

Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$.

La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ est le réel : $$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\text{d}x$$

Intégration par parties

Propriété

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $[a\,;\,b]$, de dérivées continues. Alors : $$\int_a^b f(x)\,g'(x)\,\text{d}x = \Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f'(x)\,g(x)\,\text{d}x$$

Astuce

Choisir $f$ et $g'$ pour une intégration par parties

Choisir $f$ comme la fonction dont la dérivée simplifie l'expression (souvent $\ln$, $x^n$).
Choisir $g'$ comme la fonction dont on sait facilement trouver une primitive (souvent $\text{e}^x$, $\cos$, $\sin$).
Vérifier que l'intégrale obtenue après IPP est plus simple que l'initiale.

Exemple

Calculer $\displaystyle\int_0^2 x\,\text{e}^{2x}\,\text{d}x$.

On pose $f(x) = x$ et $g'(x) = \text{e}^{2x}$, donc $f'(x) = 1$ et $g(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{2}$.

$$\int_0^2 x\,\text{e}^{2x}\,\text{d}x = \left[\frac{x\,\text{e}^{2x}}{2}\right]_0^2 - \int_0^2 \frac{\text{e}^{2x}}{2}\,\text{d}x = \text{e}^4 - \left[\frac{\text{e}^{2x}}{4}\right]_0^2 = \text{e}^4 - \frac{\text{e}^4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3\text{e}^4 + 1}{4}$$

Astuce

Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :

Calcul intégral

🎯 À maîtriser pour le bac

Vérifier qu'une fonction est bien une primitive d'une autre fonction.
Connaître et utiliser le tableau des primitives usuelles.
Reconnaître une forme du type $u' \cdot u^n$, $\dfrac{u'}{u}$, $u' \cdot \text{e}^u$ pour calculer une primitive.
Utiliser la linéarité des primitives.
Résoudre une équation différentielle du type $y' = ay$ et donner l'ensemble des solutions.
Résoudre une équation différentielle du type $y' = ay + b$ en trouvant une solution particulière.
Déterminer une solution unique à l'aide d'une condition initiale.
Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive et de la notation crochet.
Utiliser la relation de Chasles et la linéarité des intégrales.
Calculer une aire entre une courbe et l'axe des abscisses.
Calculer une aire entre deux courbes.
Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.
Appliquer la formule d'intégration par parties.

Contenus complémentaires

Primitives et équations différentielles

Notion de primitive

Définition

Soit $ f $ une fonction continue sur un intervalle $ I $ .

On appelle primitive de $ f $ sur $ I $ toute fonction $ F $ dérivable sur $ I $ telle que :

$$ F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I $$

Propriété

Toute fonction $ f $ continue sur un intervalle $ I $ admet des primitives sur $ I $ .

Si $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ I $ , alors toutes les primitives de $ f $ sur $ I $ sont les fonctions de la forme :

$$ F(x) + k \qquad (k \in \mathbb{R}) $$

→ Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Attention

Pour déterminer une primitive unique, il faut une condition initiale du type $ F(a) = b $ , qui permet de calculer la valeur de la constante $ k $ .

Tableau des primitives usuelles

À retenir

Primitives des fonctions usuelles

Fonction $ f(x) $	Primitive $ F(x) $	Ensemble
$ a $ (constante)	$ ax $	$ \mathbb{R} $
$ x^n $ ( $ n \in \mathbb{Z},\ n \neq -1 $ )	$ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} $	$ \mathbb{R} $ si $ n \geq 0 $ , $ \mathbb{R}^* $ si $ n < 0 $
$ \dfrac{1}{x} $	$ \ln(x) $	$\mathbb R^{*+}$
$ \dfrac{1}{\sqrt{x}} $	$ 2\sqrt{x} $	$\mathbb R^{*+}$
$ \text{e}^x $	$ \text{e}^x $	$ \mathbb{R} $
$ \cos(x) $	$ \sin(x) $	$ \mathbb{R} $
$ \sin(x) $	$ -\cos(x) $	$ \mathbb{R} $

À retenir

Primitives de fonctions composées usuelles

Fonction $ f(x) $	Primitive $ F(x) $
$ u' \cdot u^n $ ( $ n \neq -1 $ )	$ \dfrac{u^{n+1}}{n+1} $
$ \dfrac{u'}{u} $	$ \ln(u) $
$ u' \cdot \text{e}^u $	$ \text{e}^u $
$ u' \cdot \cos(u) $	$ \sin(u) $
$ u' \cdot \sin(u) $	$ -\cos(u) $

→ Le réflexe est de reconnaître dans $ f $ la présence de $ u' $ en facteur pour identifier la forme.

Exemple

Soit $ f(x) = 3(2x-1)(x^2 - x + 4)^5 $ .

On pose $ u(x) = x^2 - x + 4 $ , alors $ u'(x) = 2x - 1 $ .

On reconnaît la forme $ u' \cdot u^n $ avec $ n = 5 $ , donc une primitive est :

$$ F(x) = 3 \times \frac{(x^2 - x + 4)^6}{6} = \frac{1}{2}(x^2 - x + 4)^6 $$

Propriétés de linéarité

Propriété

Soient $ f $ et $ g $ deux fonctions continues sur $ I $ , $ F $ et $ G $ deux primitives respectives, et $ k $ un réel.

$ F + G $ est une primitive de $ f + g $ .
$ kF $ est une primitive de $ kf $ .

Équations différentielles

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction et sa (ou ses) dérivée(s).

En terminale, on étudie les équations différentielles du premier ordre de la forme :

$$ y' = ay \qquad (a \in \mathbb{R}) $$

Propriété

Solutions de $ y' = ay $ **

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $ y' = ay $ est l'ensemble des fonctions définies sur $ \mathbb{R} $ par :

$$ f(x) = k\,\text{e}^{ax} \qquad (k \in \mathbb{R}) $$

À retenir

**Méthode de résolution avec condition initiale

Pour résoudre $ y' = ay $ avec la condition $ y(x_0) = y_0 $ :

Écrire la solution générale $ f(x) = k\,\text{e}^{ax} $ .
Substituer la condition initiale : $ y_0 = k\,\text{e}^{a x_0} $ .
Déduire la valeur de $ k $ et conclure.

Exemple

Résoudre $ y' = -5y $ avec $ y(0) = 2 $ .

La solution générale est $ f(x) = k\,\text{e}^{-5x} $ .

Condition initiale : $ f(0) = k\,\text{e}^0 = k = 2 $ .

→ La solution est $ f(x) = 2\,\text{e}^{-5x} $ .

Propriété

Équation différentielle du type $ y' = ay + b $ **

Pour résoudre $ y' = ay + b $ , on cherche d'abord une **solution particulière constante $ y_p $ telle que $ ay_p + b = 0 $ , soit $ y_p = -\dfrac{b}{a} $ .

L'ensemble des solutions est alors :

$$ f(x) = k\,\text{e}^{ax} + y_p \qquad (k \in \mathbb{R}) $$

Astuce

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Primitives et équations différentielles

Calcul intégral

Définition de l'intégrale

Définition

Soit $ f $ une fonction continue et positive sur $ [a\,;\,b] $ .

Définition

Soit $ f $ une fonction continue sur $ [a\,;\,b] $ , de signe quelconque, et $ F $ une primitive de $ f $ sur $ [a\,;\,b] $ .

On définit l'intégrale de $ a $ à $ b $ de $ f $ par :

$$ \int_a^b f(x)\,\text{d}x = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b $$

Astuce

Méthode de calcul d'une intégrale

Trouver une primitive $ F $ de $ f $ sur $ [a\,;\,b] $ .
Calculer $ F(b) - F(a) $ en utilisant la notation $ \Big[F(x)\Big]_a^b $ .
Conclure (le résultat est un nombre réel).

Propriétés des intégrales

Propriété

Linéarité

$$ \int_a^b \bigl(f(x) + g(x)\bigr)\,\text{d}x = \int_a^b f(x)\,\text{d}x + \int_a^b g(x)\,\text{d}x $$

$ \int_a^b k\,f(x)\,\text{d}x = k\int_a^b f(x)\,\text{d}x \qquad (k \in \mathbb{R}) $

Propriété

Relation de Chasles

$$ \int_a^b f(x)\,\text{d}x = \int_a^c f(x)\,\text{d}x + \int_c^b f(x)\,\text{d}x $$

Intervalle de longueur nulle

$$ \int_a^a f(x)\,\text{d}x = 0 $$

Inversion des bornes

$$ \int_a^b f(x)\,\text{d}x = -\int_b^a f(x)\,\text{d}x $$

Intégrale et aire

À retenir

Aire entre la courbe et l'axe des abscisses

Signe de $ f $ sur $ [a\,;\,b] $	Aire du domaine
$ f \geq 0 $	$ \displaystyle\int_a^b f(x)\,\text{d}x $
$ f \leq 0 $	$ \displaystyle-\int_a^b f(x)\,\text{d}x $
Signe quelconque	$ \displaystyle\int_a^b \lvert f(x)\rvert\,\text{d}x $

À retenir

Aire entre deux courbes

Si $ f(x) \leq g(x) $ pour tout $ x \in [a\,;\,b] $ , l'aire (en u.a.) du domaine compris entre les courbes $

$\mathscr{C}f$ et $\mathscr{C}g$ et les droites $x = a$ et $x = b$ est : $$\int_a^b \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,\text{d}x \text{ u.a.}$$

Valeur moyenne

Définition

Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$.

La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ est le réel : $$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\text{d}x$$

Intégration par parties

Propriété

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $[a\,;\,b]$, de dérivées continues. Alors : $$\int_a^b f(x)\,g'(x)\,\text{d}x = \Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f'(x)\,g(x)\,\text{d}x$$

Astuce

Choisir $f$ et $g'$ pour une intégration par parties

Choisir $f$ comme la fonction dont la dérivée simplifie l'expression (souvent $\ln$, $x^n$).
Choisir $g'$ comme la fonction dont on sait facilement trouver une primitive (souvent $\text{e}^x$, $\cos$, $\sin$).
Vérifier que l'intégrale obtenue après IPP est plus simple que l'initiale.

Exemple

Calculer $\displaystyle\int_0^2 x\,\text{e}^{2x}\,\text{d}x$.

On pose $f(x) = x$ et $g'(x) = \text{e}^{2x}$, donc $f'(x) = 1$ et $g(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{2}$.

Astuce

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Calcul intégral

🎯 À maîtriser pour le bac

Vérifier qu'une fonction est bien une primitive d'une autre fonction.
Connaître et utiliser le tableau des primitives usuelles.
Reconnaître une forme du type $u' \cdot u^n$, $\dfrac{u'}{u}$, $u' \cdot \text{e}^u$ pour calculer une primitive.
Utiliser la linéarité des primitives.
Résoudre une équation différentielle du type $y' = ay$ et donner l'ensemble des solutions.
Résoudre une équation différentielle du type $y' = ay + b$ en trouvant une solution particulière.
Déterminer une solution unique à l'aide d'une condition initiale.
Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive et de la notation crochet.
Utiliser la relation de Chasles et la linéarité des intégrales.
Calculer une aire entre une courbe et l'axe des abscisses.
Calculer une aire entre deux courbes.
Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.
Appliquer la formule d'intégration par parties.

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Notion de primitive

Tableau des primitives usuelles

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Équations différentielles

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Définition de l'intégrale

Propriétés des intégrales

Intégrale et aire

Valeur moyenne

Intégration par parties

🎯 À maîtriser pour le bac

Contenus complémentaires

Entraîne-toi avec les exercices de "Semaine 6 - Intégration et équations différentielles"

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Notion de primitive

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Équations différentielles

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Intégrale et aire

Valeur moyenne

Intégration par parties

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