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Programme Lycée 1ereCours MathématiquesSemaine 1 - Les suitesFiche de révision : Semaine 1 - Les suitesFiche de révision Semaine 1 - Les suites
Ce planning de révision concerne les élèves de Première suivant la spécialité mathématiques. Il regroupe les notions, QCM et exercices correspondant au programme spécifique de cet enseignement.
👉 Les élèves suivant l’enseignement spécifique doivent utiliser le planning dédié à la spécialité, disponible ici :
→ Planning Maths - Enseignement Scientifique
Suites numériques
Définition
Définition
Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ : $$u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad n \mapsto u(n) = u_n$$
Pour tout entier naturel $n$, le nombre $u_n$ est appelé terme de rang $n$ ou terme général de la suite.
Modes de génération
À retenir
Une suite peut être définie de deux façons :
Par une formule explicite : on exprime directement $u_n$ en fonction de $n$. Exemple : $u_n = 2n + 1$
Par une relation de récurrence : on exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Exemple : $u_{n+1} = u_n + 3$, avec $u_0$ donné.
Sens de variation
Définition
Soit $(u_n)$ une suite. Pour tout entier naturel $n$ :
- Elle est croissante si et seulement si $u_{n+1} \geq u_n$, c'est-à-dire $u_{n+1} - u_n \geq 0$
- Elle est décroissante si et seulement si $u_{n+1} \leq u_n$, c'est-à-dire $u_{n+1} - u_n \leq 0$
- Elle est constante si et seulement si $u_{n+1} = u_n$, c'est-à-dire $u_{n+1} - u_n = 0$
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout entier $n \geq p$ par $u_n = f(n)$, où $f$ est une fonction définie sur $[p\,; +\infty[$ :
- Si $f$ est croissante sur $[p\,; +\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $p$.
- Si $f$ est décroissante sur $[p\,; +\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $p$.
À retenir
Lorsqu'une suite est toujours croissante ou toujours décroissante, on dit qu'elle est monotone.
Limite d'une suite
Définition
Une suite numérique $(u_n)$ admet une limite réelle $l$ si tous les termes de la suite sont proches de $l$ à partir d'un certain rang.
Elle est alors dite convergente et on note : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = l$$
Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
À retenir
Une suite peut diverger de deux façons :
- Ses valeurs deviennent aussi grandes que l'on veut : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
- Ses valeurs n'ont pas de limite (exemple : la suite $w_n = (-1)^n$ oscille indéfiniment).
Astuce
Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :
Suites arithmétiques
Définition
Définition
Une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = u_n + r$$
$r$ est appelé la raison de la suite. Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre $r$.
Formule explicite
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = u_0 + n \times r$$
Plus généralement, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $p \in \mathbb{N}$ : $$u_n = u_p + (n - p) \times r$$
Sens de variation
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ :
- Si $r > 0$ → la suite est strictement croissante
- Si $r < 0$ → la suite est strictement décroissante
- Si $r = 0$ → la suite est constante
À retenir
Une suite arithmétique de raison $r$ est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur $r$. On dit que la croissance (ou décroissance) est linéaire.
Somme de termes consécutifs
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique et $S$ la somme de termes consécutifs : $$S = \text{(nombre de termes)} \times \frac{\text{(premier terme + dernier terme)}}{2}$$
Soit $n$ un entier naturel non nul. La somme des $n$ premiers entiers non nuls est : $$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$
Suites géométriques
Définition
Définition
Une suite $(u_n)$ est géométrique si et seulement s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = u_n \times q$$
$q$ est appelé la raison de la suite. Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre $q$.
Formule explicite
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$. Pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = u_0 \times q^n$$
Plus généralement, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $p \in \mathbb{N}$ : $$u_n = u_p \times q^{n-p}$$
Sens de variation
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$, avec $u_0 > 0$ :
- Si $q > 1$ → la suite est strictement croissante
- Si $0 < q < 1$ → la suite est strictement décroissante
- Si $q = 1$ → la suite est constante
- Si $q = 0$ → la suite est nulle à partir du rang 1
- Si $q < 0$ → la suite n'est pas monotone
À retenir
Une suite géométrique croissante ou décroissante est représentée graphiquement par des points appartenant à une courbe de type exponentiel. On dit que la croissance (ou décroissance) est exponentielle.
Somme de termes consécutifs
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$ et $S$ la somme de termes consécutifs : $$S = \text{(premier terme)} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$$
En particulier, pour $q \neq 1$ : $$1 + q + q^2 + q^3 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$
Limite d'une suite géométrique
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ :
- Si $q > 1$ → $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$
Astuce
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Consulte le cours :
🎯 À maîtriser pour le bac
- Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique.
- Déterminer la raison $r$ ou $q$.
- Utiliser $u_n = u_0 + n \times r$ et $u_n = u_0 \times q^n$.
- Étudier le sens de variation d'une suite à partir de $u_{n+1} - u_n$ ou du rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
- Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique.
- Calculer la limite d'une suite géométrique selon la valeur de $q$.