Sujet zéro 2020 - Spécialité mathématiques - Corrigé

Exercice 1

Pour tout réel $x$, $(\text{e}^x)^3$ est égal à :

• « $\text e^{3x}$ ».
• Pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ : $e^{nx}={(\text{e}^x)}^n$.

Astuce

Pour réviser les propriétés de la fonction exponentielle, voir le cours « Fonction exponentielle », partie 2.a.

Pour tout réel $x$, $\cos(x+\pi)$ est égal à :

• « $-\cos x$ ».
• Il est facile de retrouver ce type d’égalité à partir du cercle trigonométrique.

Astuce

Pour réviser les propriétés des angles associés, voir le cours « Fonctions trigonométriques », partie 2.b.

On souhaite modéliser le niveau de la mer par une suite $(U_n)$ de façon que $U_0$ représente le niveau de la mer, en $\text{mm}$, en 2003 et que $U_n$ représente le niveau de la mer, en $\text{mm}$, $n$ années après 2003.
Selon le site www.notre-planete.info/terre/climatologie_meteo, on constate une hausse assez rapide du niveau de la mer, qu’on estime à $3,3\ \text{mm}$ par an depuis 2003.
Pour traduire ce constat, la suite $(U_n)$ doit être :

• « une suite arithmétique de raison $3,3$ ».

Nous regardons l’énoncé, qui nous dit que, chaque année, le niveau de la mer, en $\text{mm}$, augmente de $3,3\ \text{mm}$.
Mathématiquement, cela nous donne : pour tout $n$ entier naturel, $U_{n+1}=U_n + 3,3$, avec $U_0$ le niveau de la mer en 2003.
Nous savons qu’une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si il existe un réel $r$ tel que $u_{n+1}=u_n+r$.

• La suite $(U_n)$ est arithmétique, de raison $r=3,3$.

Astuce

Pour réviser les définition de ces suites, voir le cours « Les suites arithmétiques et géométriques ».

Les figures ci-dessous représentent quatre polynômes du second degré dans un repère orthonormé et le signe de leur discriminant $\Delta$.
Parmi ces propositions, laquelle est juste ?

• $\Delta>0$ et la courbe représentative coupe l’axe des abscisses $2$ fois.

Nous savons :

• si $\Delta>0$, alors l’équation du second degré correspondant au polynôme admet $2$ solutions distinctes, et la courbe représentative du polynôme coupe donc $2$ fois l’axe des abscisses ;
• si $\Delta=0$, alors l’équation du second degré correspondant au polynôme admet $1$ solution double, et l’axe des abscisses est tangent à la courbe représentative du polynôme ;
• si $\Delta<0$, alors l’équation du second degré correspondant au polynôme n’admet aucune solution, et la courbe représentative du polynôme ne coupe donc pas l’axe des abscisses.
• Seul le graphe de la réponse a correspond au signe du $\Delta$ associé.

Astuce

Pour réviser les liens entre discriminant d’un polynôme et courbe représentative, voir le cours « Le second degré », partie 2.a.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
$D$ est une droite dont une équation cartésienne est $2x-y+3=0$. Parmi ces propositions, laquelle est juste ?

• « Le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}2 \\ -1 \end{pmatrix}$ est normal à la droite $D$ ».

Si une droite a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$, alors le vecteur $\vec n$ de coordonnées $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à la droite.

• Ici, avec $a=2$ et $b=-1$, nous obtenons un vecteur normal de coordonnées $\begin{pmatrix}2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Pour la réponse a, il suffit de voir que $2\times 2 - 1 + 3 =6$ pour en déduire que $A$ n’appartient pas à $D$.
Pour la réponse b, un vecteur directeur a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-b \\ a \end{pmatrix}$, soit $\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}$, qui n’est pas colinéaire à $\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
Pour la réponse d, le point de coordonnées $(0\ ;\,3)$ appartient bien à $D$, mais évidemment pas à l’axe des abscisses.

Astuce

Pour réviser vecteur directeur et vecteur normal, ainsi que les équations cartésiennes, voir le cours « Géométrie repérée », parties 2.a et 3.a.

Exercice 2

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.
Dans un repère orthonormé d’unité $30\ \text{cm}$ ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-1\ ;\,2]$ par :

$$f(x)=(-x+2)\text{e}^x$$

Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe $C_f$. On nomme $L$ la longueur de la plaque rectangulaire et $l$ sa largeur.

On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.

a. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-1\ ;\,2]$, $f^{\prime}(x)=(-x+1)\text{e}^x $.

L’énoncé nous dit que la fonction $f$ est dérivable sur $[-1\ ;\,2]$, et nous cherchons $f^{\prime}$.

Il s’agit donc de calculer la dérivée d’un produit de $2$ fonctions, avec la formule $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$.

• Nous posons :
• $u(x)=-x+2$,
• $u^{\prime}(x)=-1$ ;
• $v(x)=\text{e}^x$,
• $v^{\prime} (x)=\text{e}^x$ (par définition de la fonction exponentielle, $(\text{e}^x)^{\prime} =\text{e}^x$).
• Nous appliquons la formule :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x) &= u^{\prime} (x) v(x) + u(x) v^{\prime} (x) \\ &=-1\times \text{e}^x+(-x+2)\times \text{e}^x \\ &=\text{e}^x \times (-1-x+2) \\ &=(-x+1)\text{e}^x \end{aligned}$$

• Pour tout $x\in [-1\ ;\,2]$, $f^{\prime} (x)=(-x+1) \text{e}^x$.

b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-1\ ;\,2]$.

• Nous commençons par chercher la ou les solutions de l’équation $f^{\prime} (x)=0$ sur $[-1\ ;\,2]$.

La fonction exponentielle ne s’annule pas sur $\mathbb R$, et donc elle ne s’annule pas sur $[-1\ ;\,2]$.

• Nous en déduisons :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x)=0&\Leftrightarrow -x+1=0 \\ &\Leftrightarrow x=1 \end{aligned}$$

• Nous étudions maintenant le signe de $f^{\prime}$ sur $[-1\ ;\,2]$.

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$, et donc elle est strictement positive sur $[-1\ ;\,2]$.

• Le signe de $f^{\prime}(x)$ dépendra du signe de $-x+1$.
• Si $x<1$, alors $-x+1>0$ et $f^{\prime} (x)>0$.
• Si $x>1$, alors $-x+1<0$ et $f^{\prime} (x)<0$.
• Nous calculons les valeurs de $f(x)$ aux bornes de son intervalle et en $x=1$.
• $f(-1)=3\times \text{e}^{-1}=\dfrac 3{\text{e}}$.
• $f(1)=1\times\text{e}^1=\text{e}$.
• $f(2)=0\times\text{e}^2=0$.
• Nous pouvons maintenant construire le tableau de variations.

La longueur $L$ de la plaque rectangulaire est de $90\ \text{cm}$. Trouver sa largeur $l$ exacte en $\text{cm}$.

En $x=1$, $f^{\prime}$ s’annule et change de signe : positive pour $x<-1$, négative pour $x>-1$.

• La fonction $f$ admet un maximum en $x=1$, qui vaut $\text{e}$.

Selon la représentation donnée dans l’énoncé, la largeur $l$ est égale à ce maximum.
Toujours selon l’énoncé, le repère est orthonormé et l’unité vaut $30\ \text{cm}$.

• $l=30\text{e}\ \text{cm}$.

Astuce

• Pour réviser les dérivées usuelles et les règles d’opération sur les dérivées, voir le cours « Dérivation ».
• Pour retrouver comment construire un tableau de variations, voir le cours « Variations et courbes représentatives de fonctions ».
• Pour réviser la fonction exponentielle et ses propriétés, voir le cours « Fonction exponentielle ».

Exercice 3

Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat :

• un contrat « Tous risques » dont le montant annuel est de $500\ \text{euros}$ ;
• un contrat « de base » dont le montant annuel est de $400\ \text{euros}$.

En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes :

• $60\ \%$ des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans) ;
• les autres clients ont un véhicule ancien ;
• parmi les clients possédant un véhicule récent, $70\ \%$ ont souscrit au contrat « Tous risques » ;
• parmi les clients possédant un véhicule ancien, $50\ \%$ ont souscrit au contrat « Tous risques ».

On considère un client choisi au hasard.
D’une manière générale, la probabilité d’un événement $A$ est notée $P(A)$ et son événement contraire est noté $\bar A$.

On note les événements suivants :

• $R$ : « Le client possède un véhicule récent » ;
• $T$ : « Le client a souscrit au contrat “Tous risques” ».

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.

Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.

Nous traduisons l’énoncé en termes de probabilités :

• $60\ \%$ des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans),
• $P(R)=0,6$ ;
• les autres clients ont un véhicule ancien,
• $P(\bar R)=1-P(R)=0,4$ ;
• parmi les clients possédant un véhicule récent, $70\ \%$ ont souscrit au contrat « Tous risques »,
• $P_R(T)=0,7$,
• $P_R(\bar T)=0,3$ ;
• parmi les clients possédant un véhicule ancien, $50\ \%$ ont souscrit au contrat « Tous risques »,
• $P_{\bar R}(T)=0,5$,
• $p_{\bar R}(\bar T)=0,5$.

Nous pouvons donc compléter facilement l’arbre pondéré.

Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques », c’est-à-dire calculer $P(R\cap T)$.

Nous repérons le chemin qui correspond à $R\cap T$.

• Nous multiplions alors les probabilités qui composent ce chemin.

$$\begin{aligned} P(R\cap T)&=P(R)\times P_R(T) \\ &= 0,6\times 0,7 \\ &=0,42 \end{aligned}$$

La probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques » est de $0,42$.

Montrer que $P(T)=0,62$.

Nous voyons sur l’arbre pondéré que $2$ chemins aboutissent à l’événement $T$ : $R\cap T$ et $\bar R\cap T$.

• Il suffit alors d’additionner les probabilités des $2$ chemins.

$$\begin{aligned} P(T)&=P(R\cap T)+ P(\bar R\cap T) \\ &= 0,42 + P(\bar R)\times P_{\bar R}(T) \\ &=0,42 + 0,4\times 0,5 \\ &=0,42+0,2 \\ &=0,62 \end{aligned}$$

Astuce

Pour réviser les probabilités conditionnelles et se rappeler les arbres pondérés, voir le cours « Probabilités conditionnelles et indépendance ».

La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$. Déterminer ces deux valeurs, les probabilités $P(X=a)$ et $P(X=b)$, puis l’espérance de $X$.

• Il n’y a que $2$ types de contrat, avec donc $2$ seuls montants annuels : $500$ et $400\ \text{euros}$.
• Ainsi, choisissons $a=500$ et $b=400$.
• La probabilité que le montant annuel soit de $500\ \text{euros}$, soit $P(X=500)$, est tout simplement égale à la probabilité qu’un client pris au hasard ait souscrit au contrat « Tous risques », soit $P(T)$.
• Nous avons calculé cette probabilité à la question 3.

$$\begin{aligned} P(X=500)&=P(T) \\ &=0,62 \end{aligned}$$

• Pour une loi de probabilité, nous savons que la somme des probabilités est égale à $1$, et nous n’avons ici que deux valeurs possibles.
• Nous calculons ainsi facilement $P(X=400)$.

$$\begin{aligned} P(X=400)&=1-P(X=500) \\ &=1-0,62 \\ &=0,38 \end{aligned}$$

• Pour calculer l’espérance de $X$, nous appliquons simplement la formule :

$$\begin{aligned} E(X)&=P(X=500)\times 500 + P(X=400)\times 400 \\ &=0,62\times 500 + 0,38\times 400 \\ &=462 \end{aligned}$$

Astuce

Pour réviser les variables aléatoires et ses indicateurs, dont l’espérance, ainsi que les lois de probabilité associées, voir le cours « Variable aléatoire et loi de probabilité ».

Exercice 4

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd $20\ \%$ de son intensité lumineuse. L’intensité lumineuse est exprimée en candela ($\text{cd}$).
On utilise une lampe torche qui émet un rayon d’intensité lumineuse réglée à $400\ \text{cd}$.

On superpose $n$ plaques de verres identiques ($n$ étant un entier naturel) et on désire mesurer l’intensité lumineuse $I_n$ du rayon à la sortie de la $n$-ième plaque.
On note $I_0=400$ l’intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques (intensité lumineuse initiale). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite $(I_n)$.

Montrer par un calcul que $I_1=320$.

En ajoutant une plaque, nous faisons diminuer de $20\ \%$ l’intensité du rayon lumineux initial.

• D’où le calcul :

$$\begin{aligned} I_1 &= 400 \times (1-0,2) \\ &= 400\times 0,8 \\ &=320 \end{aligned}$$

a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$.

À chaque fois que le rayon lumineux traversera une plaque de verre, il perdra, en « sortie » $20\ \%$ de son intensité d’« entrée ».

• Nous pouvons donc exprimer, pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$ de la façon suivante :

$$\begin{aligned} I_{n+1} &= I_n \times (1-0,2) \\ &= 0,8\times I_n \end{aligned}$$

b. En déduire la nature de la suite $I_n$. Préciser sa raison et son premier terme.

Une suite $(u_n)$ est géométrique si et seulement si il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=q\times u_n$. $q$ est alors la raison de la suite.

• Nous en déduisons que $(I_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $I_0=400$.

c. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $I_n$ en fonction de $n$.

Si une suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0\times q^n$.

• Nous en déduisons, puisque $(I_n)$ est une suite géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $I_0=400$, que, pour tout entier naturel $n$ :

$$I_n = 400 \times 0,8^n$$

On souhaite déterminer le nombre minimal $n$ de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins $70\ \%$ de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante.

def nombrePlaques(J):

a. Préciser, en justifiant, le nombre $j$ de sorte que l’appel nombrePlaques(j) renvoie le nombre de plaques à superposer.

Étudions ce que fait la fonction Python :

• Elle demande donc une valeur J à l’utilisateur.
• Elle assigne à la variable I la valeur de 400 , et à la variable n la valeur de 0 , ce qui correspond à la valeur et au rang de $I_0$.
• Elle entre ensuite dans une boucle WHILE , et elle compare la valeur de I à celle de J :
• si la valeur de I est strictement supérieure à celle de J :
• elle assigne une nouvelle valeur à I en multipliant sa valeur à l’entrée par 0,8 , qui est la raison de notre suite $(I_n)$ ; elle obtient donc une nouvelle valeur I en sortie qui sera égale à l’intensité du rayon après avoir traversé une plaque ;
• elle incrémente la valeur de n ;
• elle se représente à l’entrée de la boucle, avec ces nouvelles valeurs de I et n ;
• si la valeur de I est inférieure ou égale à celle de J :
• elle n’entre pas dans la boucle ;
• avant de s’arrêter, elle renvoie la valeur de n , qui est donc le nombre de plaques qu’il faut superposer pour avoir une intensité inférieure ou égale à J .

Nous cherchons à savoir le nombre $n$ de plaques à superposer pour que le rayon initial ait au moins perdu $70\ \%$ de sa valeur initiale (soit $I_0$).

• C’est donc à l’intensité $j$ telle que $j=I_0\times (1-0,7)$ que nous intéressons :

$$\begin{aligned} j&=I_0\times 0,3 \\ &= 400 \times 0,3 \\ &=120 \end{aligned}$$

b. Le tableau suivant donne des valeurs de $I_n$. Combien de plaques doit-on superposer ?

Le tableau nous donne les valeurs de $I_0$ à $I_7$. Il nous suffit de trouver le rang du premier terme où $I_n$ est inférieur à $j=120$. Il s’agit de $I_6\approx 104,85$.

• Il faut donc superposer $6$ plaques pour obtenir un rayon d’intensité au moins inférieure de $70\ \%$ à celle du rayon initial.

Astuce

Pour réviser les propriétés des suites géométriques, voir le cours « Les suites arithmétiques et géométriques ».