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Programme Lycée TleCours MathématiquesSemaine 2 - Géométrie dans l’espaceFiche de révision : Semaine 2 - Géométrie dans l’espaceFiche de révision Semaine 2 - Géométrie dans l’espace
Géométrie dans l'espace
Vecteurs de l'espace
Définition
Dans l'espace $\mathcal{E}$, on se place dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec\imath,\,\vec\jmath,\,\vec k)$.
Tout point $M$ de l'espace est repéré par trois coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$ telles que : $$\overrightarrow{OM} = x\cdot\vec\imath + y\cdot\vec\jmath + z\cdot\vec k$$
Tout vecteur $\vec u$ de l'espace est repéré par trois coordonnées : $$\vec u\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$
Propriété
Soit $\vec u\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$ deux vecteurs de l'espace, et $\lambda\in\mathbb{R}$ :
- $\vec u + \vec v = \begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\\z+z'\end{pmatrix}$
- $\lambda\cdot\vec u = \begin{pmatrix}\lambda x\\ \lambda y\\ \lambda z\end{pmatrix}$
- $\vec u = \vec v \Leftrightarrow x = x',\; y = y',\; z = z'$
À retenir
Méthodologie — coordonnées d'un point :
Pour trouver les coordonnées d'un point $M$ dans le repère $(O\,;\,\vec\imath,\,\vec\jmath,\,\vec k)$, on décompose le vecteur $\overrightarrow{OM}$ en combinaison linéaire des vecteurs du repère, en utilisant la relation de Chasles et les propriétés de la figure.
Vecteur directeur d'une droite
Définition
On considère $\vec u$ un vecteur non nul et $(d)$ une droite de l'espace $\mathcal{E}$.
On dit que $\vec u$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$ lorsqu'il existe deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à $(d)$ tels que : $$\vec u = \overrightarrow{AB}$$
À retenir
- Si $\vec u$ est un vecteur directeur de $(d)$, il indique la direction de $(d)$.
- Tout vecteur non nul colinéaire à $\vec u$ est aussi un vecteur directeur de $(d)$.
- Une droite est caractérisée par un point lui appartenant et un vecteur directeur.
Base et repère d'un plan
Définition
On considère un plan $(P)$ contenant le point $A$ et dont $(\vec u,\,\vec v)$ est une base.
Un point $M$ appartient à $(P)$ si et seulement si il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que : $$\overrightarrow{AM} = \lambda\cdot\vec u + \mu\cdot\vec v$$
C'est-à-dire si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ est combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$, ou encore si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$, $\vec u$ et $\vec v$ sont coplanaires.
Un plan est noté $(P) = (A\,;\,\vec u,\,\vec v)$.
Définition
On appelle repère du plan tout triplet $(A\,;\,\vec u,\,\vec v)$, où $A$ est un point du plan et $(\vec u,\,\vec v)$ est une base de ce plan.
Dans ce repère, tout point $M$ du plan est déterminé par des coordonnées uniques, c'est-à-dire le couple de réels $(\lambda\,;\,\mu)$ tel que $\overrightarrow{AM} = \lambda\cdot\vec u + \mu\cdot\vec v$.
Base et repère orthonormés de l'espace
Définition
$(\vec\imath,\,\vec\jmath,\,\vec k)$ est une base orthonormée de $\mathcal{E}$ si et seulement si :
- les vecteurs sont deux à deux orthogonaux ;
- les trois vecteurs sont non coplanaires ;
- $|\vec\imath| = |\vec\jmath| = |\vec k| = 1$.
Définition
$O$ étant un point de l'espace $\mathcal{E}$, $(O\,;\,\vec\imath,\,\vec\jmath,\,\vec k)$ forme un repère orthonormé de $\mathcal{E}$ lorsque $(\vec\imath,\,\vec\jmath,\,\vec k)$ est une base orthonormée de $\mathcal{E}$.
Astuce
La coordonnée $z$ est souvent utilisée en sciences physiques pour repérer l'altitude d'un objet ou d'un point en mouvement.
Dans un repère de l'espace, la position des points est déterminée par 3 nombres — d'où la dénomination « 3 dimensions » ou « 3D ».
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Consulte le cours :
Positions relatives de droites et de plans
Règles d'incidence
Propriété
Comme en géométrie plane :
- Par deux points distincts $A$ et $B$ de l'espace passe une seule droite, notée $(AB)$.
- Si deux points distincts $A$ et $B$ appartiennent à un plan $(P)$, alors tous les points de $(AB)$ appartiennent également à $(P)$ : $(AB)$ est contenue dans $(P)$, noté $(AB)\subset(P)$.
Position relative d'une droite et d'un plan
Propriété
Une droite $(d)$ et un plan $(P)$ de $\mathcal{E}$ sont dans l'une des configurations suivantes :
- Droite et plan sécants : un seul point d'intersection.
- Droite et plan strictement parallèles : aucun point d'intersection.
- Droite contenue dans le plan : l'intersection est la droite $(d)$ tout entière.
Propriété
Soit $(d) = (A\,;\,\vec w)$ une droite et $(P) = (B\,;\,\vec u,\,\vec v)$ un plan.
- $(d)$ et $(P)$ sont parallèles si et seulement si $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires.
- $(d)$ et $(P)$ sont parallèles si et seulement si $\vec w$ est combinaison linéaire de $\vec u$ et de $\vec v$, c'est-à-dire : $$\vec w = a\cdot\vec u + b\cdot\vec v$$
À retenir
Méthode — point d'intersection d'une droite et d'un plan sécants :
Pour trouver le point d'intersection d'une droite et d'un plan sécants, on cherche le point d'intersection de cette droite avec une droite du plan. Comme il ne peut y avoir qu'un seul point d'intersection entre une droite et un plan sécants, c'est nécessairement celui-ci.
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Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l'espace
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Propriété
Dans un repère orthonormé, soit $\vec u\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$.
Le produit scalaire de $\vec u$ et $\vec v$ est : $$\vec u\cdot\vec v = xx' + yy' + zz'$$
$\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si : $$xx' + yy' + zz' = 0$$
Norme et distance
Propriété
Dans un repère orthonormé, soit $\vec u\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$.
La norme du vecteur $\vec u$ est : $$|\vec u| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
Propriété
Soit $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)$ deux points de $\mathcal{E}$ muni d'un repère orthonormé.
La distance entre $A$ et $B$ est : $$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$
Vecteur normal à un plan
Définition
On considère un plan $(P)$ et un vecteur $\vec n\neq\vec 0$.
$\vec n$ est un vecteur normal à $(P)$ si et seulement si $\vec n$ est orthogonal à une base de $(P)$.
Si $(P) = (A\,;\,\vec v,\,\vec w)$, alors $\vec n$ est normal à $(P)$ si et seulement si : $$\vec n\cdot\vec v = 0 \quad \text{et} \quad \vec n\cdot\vec w = 0$$
Propriété
Soit $\vec n\neq\vec 0$ et $A$ un point de $\mathcal{E}$.
Il existe un unique plan passant par $A$ et ayant $\vec n$ comme vecteur normal. Ce plan est appelé le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec n$.
Droite orthogonale à un plan
Définition
Soit $(P)$ un plan de vecteur normal $\vec n$ et $(d)$ une droite de $\mathcal{E}$.
$(d)$ est dite orthogonale à $(P)$ si $\vec n$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Propriété
- Si $(d)$ est orthogonale à $(P)$, alors elle est orthogonale à toutes les droites de $(P)$.
- $(d)$ est orthogonale à $(P)$ si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de $(P)$.
À retenir
Méthode — montrer qu'une droite $(d)$ est orthogonale à un plan $(P)$ :
Deux possibilités :
- Montrer que $(d)$ est orthogonale à deux droites sécantes de $(P)$.
- Montrer qu'un vecteur directeur de $(d)$ est normal à $(P)$.
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Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Représentation paramétrique d'une droite
Définition
Soit $(d)$ une droite de l'espace passant par $A(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)$ et de vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de $(d)$ est : $$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}$$
À retenir
Un point $M(x\,;\,y\,;\,z)$ appartient à $(d)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que ses coordonnées vérifient le système ci-dessus.
Équation cartésienne d'un plan
Propriété
Tout plan $(P)$ de l'espace admet une équation cartésienne de la forme : $$ax + by + cz + d = 0$$ où $(a\,;\,b\,;\,c)$ sont les coordonnées d'un vecteur normal $\vec n$ à $(P)$, et $d$ est un réel.
Réciproquement, toute équation de cette forme (avec $(a,b,c)\neq(0,0,0)$) représente un plan de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.
À retenir
Méthode — trouver une équation cartésienne d'un plan :
- Écrire la forme $ax + by + cz + d = 0$ en remplaçant $(a\,;\,b\,;\,c)$ par les coordonnées du vecteur normal $\vec n$.
- Remplacer $(x\,;\,y\,;\,z)$ par les coordonnées d'un point connu du plan.
- Résoudre l'équation en $d$ obtenue.
On obtient alors une équation cartésienne du plan.
Remarque : cette équation n'est pas unique — on peut en obtenir une autre en multipliant par un réel $k$ non nul.
Exemple
Cherchons une équation cartésienne du plan passant par $A(3\,;\,5\,;\,-1)$ et de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}-1\\ -2\\ 5\end{pmatrix}$.
- On écrit la forme : $-x - 2y + 5z + d = 0$.
- On remplace par les coordonnées de $A$ : $$-3 - 2\times 5 + 5\times(-1) + d = 0 \Leftrightarrow -18 + d = 0 \Leftrightarrow d = 18$$
Ainsi, une équation cartésienne de $(P)$ est : $-x - 2y + 5z + 18 = 0$.
Position relative d'une droite et d'un plan — méthode algébrique
À retenir
Méthode — étudier la position relative d'une droite $(d)$ et d'un plan $(P)$ :
On substitue les expressions de $x$, $y$ et $z$ données par la représentation paramétrique de $(d)$ dans l'équation cartésienne de $(P)$, puis on résout l'équation en $t$ obtenue :
- Si l'équation admet une unique solution $t_0$, alors $(d)$ et $(P)$ sont sécants : le point d'intersection s'obtient en remplaçant $t$ par $t_0$ dans la représentation paramétrique.
- Si l'équation est impossible (contradiction), alors $(d)$ et $(P)$ sont strictement parallèles.
- Si l'équation est toujours vraie, alors $(d)$ est contenue dans $(P)$.
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🎯 À maîtriser pour le bac
- Calculer les coordonnées d'un vecteur et d'un point dans un repère orthonormé de l'espace.
- Identifier et utiliser un vecteur directeur d'une droite.
- Caractériser l'appartenance d'un point à un plan.
- Déterminer la position relative d'une droite et d'un plan.
- Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé.
- Calculer la norme d'un vecteur et la distance entre deux points.
- Identifier et calculer un vecteur normal à un plan.
- Montrer qu'une droite est orthogonale à un plan.
- Écrire et exploiter une représentation paramétrique d'une droite.
- Déterminer une équation cartésienne d'un plan.
- Étudier algébriquement la position relative d'une droite et d'un plan.