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Programme Lycée 1ereCours MathématiquesSemaine 5 - ProbabilitéFiche de révision : Semaine 5 - ProbabilitéFiche de révision Semaine 5 - Probabilité
Ce planning de révision concerne les élèves de Première suivant la spécialité mathématiques. Il regroupe les notions, QCM et exercices correspondant au programme spécifique de cet enseignement.
👉 Les élèves suivant l’enseignement spécifique doivent utiliser le planning dédié à la spécialité, disponible ici :
→ Planning Maths - Enseignement Scientifique
Probabilités conditionnelles et indépendance
Rappels
Rappel
Soit $A$ et $B$ deux événements de l'ensemble $\Omega$ et $\bar{A}$ l'événement contraire de $A$ :
- $p(\bar{A}) = 1 - p(A)$
- $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$
Probabilité conditionnelle
Définition
Soit $A$ et $B$ deux événements de l'univers $\Omega$, avec $A$ de probabilité non nulle $(p(A) \neq 0)$.
La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ (probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $A$ est réalisé) est le nombre noté $p_A(B)$ défini par :
$$p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$$
Propriété
Grâce à cette définition, on peut calculer $p(A \cap B)$ de deux façons différentes :
- $p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B)$ (avec $p(A) \neq 0$)
- $p(A \cap B) = p(B) \times p_B(A)$ (avec $p(B) \neq 0$)
Arbre pondéré
À retenir
On peut représenter une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles à l'aide d'un arbre pondéré. Les règles à respecter sont les suivantes :
- Sur les branches du 1^er^ niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
- Sur les branches du 2^e^ niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
- Un nœud est le point de départ d'une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à $1$.
- Un chemin est une suite de branches et la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.
Formule des probabilités totales
Propriété
Les ensembles $A \cap D$, $B \cap D$ et $C \cap D$ forment une partition de $D$, c'est-à-dire que leur intersection est l'ensemble vide et leur réunion est l'ensemble $D$.
On a alors : $$p(D) = p(A \cap D) + p(B \cap D) + p(C \cap D)$$
À retenir
En pratique, on identifie sur l'arbre pondéré tous les chemins qui mènent à l'événement recherché, puis on additionne leurs probabilités.
Par exemple, si $C$ et $\bar{C}$ forment une partition de $\Omega$ : $$p(T) = p(C \cap T) + p(\bar{C} \cap T) = p(C) \times p_C(T) + p(\bar{C}) \times p_{\bar{C}}(T)$$
Indépendance de deux événements
Définition
Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont dits indépendants si et seulement si l'une des deux égalités suivantes est vérifiée :
- $p_A(B) = p(B)$
- $p_B(A) = p(A)$
Propriété
Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si : $$p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$$
Propriété
Si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors il en est de même :
- pour les événements $\bar{A}$ et $B$,
- pour les événements $A$ et $\bar{B}$,
- pour les événements $\bar{A}$ et $\bar{B}$.
Astuce
Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :
Variables aléatoires réelles
Vocabulaire
Définition
- Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs résultats possibles et qu'on ne peut pas prévoir celui qui sera obtenu. Le résultat d'une telle expérience est uniquement dû au hasard.
- Chaque résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé issue de cette expérience.
- L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience.
- Un événement de cette expérience est un sous-ensemble de son univers.
- Un événement élémentaire de cette expérience est un événement contenant une seule issue.
Variable aléatoire et loi de probabilité
Définition
On considère une expérience aléatoire dont l'univers est un ensemble fini noté $\Omega$.
- Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur $\Omega$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
- Soit $X$ une variable aléatoire discrète sur $\Omega$ qui prend les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_k$.
Définir la loi de probabilité de $X$, c'est donner les valeurs de probabilités $p(X = x_i)$ pour tout entier $i$, avec $1 \leq i \leq k$.
À retenir
On présente en général une loi de probabilité sous forme d'un tableau :
Valeur $x_i$ prise par $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\cdots$ | $x_k$ |
Probabilité $p(X = x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\cdots$ | $p_k$ |
Dans ce tableau : $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} p(X = x_i) = 1$
Espérance mathématique
Définition
L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est le réel noté $E(X)$ défini par : $$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \cdots + x_k \times p_k = \sum_{i=1}^{k} x_i \, p_i$$
À retenir
L'espérance d'une variable aléatoire $X$ s'interprète comme la valeur moyenne prise par $X$ lorsqu'on répète un très grand nombre de fois l'expérience.
Jeu équitable
Définition
$\Omega$ est l'ensemble des issues d'un jeu de hasard. $X$ est la variable aléatoire définie sur $\Omega$ qui est égale au gain du joueur.
Dire que ce jeu est équitable signifie que $E(X) = 0$.
Attention
Le gain peut aussi être négatif : il faut toujours tenir compte du prix d'achat ou de participation lorsqu'on définit la variable aléatoire $X$.
Variance et écart-type
Définition
La variance de la variable aléatoire $X$ est le réel positif noté $V(X)$ défini par : $$V(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i \times (x_i - E(X))^2$$
Définition
L'écart-type $\sigma(X)$ est défini comme la racine carrée de la variance : $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$
À retenir
La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par $X$ autour de $E(X)$.
Plus la variance et l'écart-type sont grands, plus les valeurs sont dispersées.
Répétition d'expériences identiques et indépendantes
Définition
Deux expériences aléatoires sont considérées comme identiques et indépendantes si elles ont les mêmes issues et les mêmes probabilités, et si la réalisation de l'une ne modifie pas les probabilités des issues de l'autre.
Propriété
Sur un arbre pondéré modélisant des expériences répétées indépendantes :
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est $1$.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins menant à cet événement.
Astuce
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🎯 À maîtriser pour le bac
- Calculer une probabilité conditionnelle $p_A(B)$ à partir de la formule $p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$.
- Construire et exploiter un arbre pondéré (règles des nœuds et des chemins).
- Appliquer la formule des probabilités totales.
- Reconnaître et démontrer l'indépendance de deux événements.
- Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire et la présenter sous forme de tableau.
- Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ d'une variable aléatoire.
- Déterminer si un jeu est équitable à partir du calcul de $E(X)$.
- Modéliser une situation de répétition d'expériences indépendantes à l'aide d'un arbre pondéré.