Sujet bac S - Annale mathématiques 2017 - Corrigé spécialité

Exercice 4

Partie A

D’après le théorème de Pythagore :
($x$ ; $y$) définit un TRPI $\Leftrightarrow$ $y^2 = x^2 + {(x +1)}^2$
($x$ ; $y$) définit un TRPI $\Leftrightarrow$ $y^2 = x^2 + x^2 + 2x + 1$
($x$ ; $y$) définit un TRPI $\Leftrightarrow$ $y^2 = 2x^2 + 2x + 1$

Si $x = 1$, donc $y^2 = 2\times 1^2 + 2\times 1 +1=5$.
On sait que $y$ est positif donc $y=\sqrt 5$, $y$ n’est pas un entier naturel.
Si $x = 2$, donc $y^2 =2\times 2^2 + 2 \times 2 + 1 = 13$ qui n’est pas un carré.
On sait que $y$ est positif donc $y=\sqrt 13$, $y$ n’est pas un entier naturel.
Si $x = 3$, donc $y^2 =2\times 3^2 + 2\times 3 + 1 = 2 $
$y=5$ donc $(3\ ; 5)$ définit un TRPI et c’est celui qui a les plus petits côtés non nuls

a. Montrons le résultat en raisonnant par l’absurde.
Soit $n$ un entier naturel et supposons que $n^2$ est impair.
Supposons que $n$ est pair, c'est-à-dire que $n = 2p$ où $p$ est un entier.
On aurait alors $n^2 = {(2p)}^2 = 4p^2$ qui est un nombre pair. Ce qui est impossible.
$n$ est donc impair.
On a donc :
$n^2$ est impair $\Rightarrow$ $n$ impair.

b. Soit ($x$ ; $y$) un couple d’entiers définissant un TRPI.
On a alors $y^2 = 2x^2 + 2x + 1 = 2(x^2 + x) + 1$ qui est un nombre impair car $x^2 + x$ est un nombre entier.
D’après le résultat de la question précédente, $y$ est donc un nombre impair.

($x$ ; $y$) définit un TRPI $\Leftrightarrow$ $y^2 = 2x^2 + 2x + 1$.
$\Leftrightarrow$ $-2x^2 - 2x + y^2 = 1$.
$\Leftrightarrow$ $(-2x - 2)\times x + y\times y = 1$.
$\Leftrightarrow$ $u\times x + v\times y = 1$ avec $\begin{cases} u = -2x - 2 \\ v = y \end{cases}$.
D’après le théorème de Bezout, les nombres $x$ et $y$ sont premiers entre eux.

Astuce

Théorème de Bezout Deux nombres entiers $x$ et $y$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux nombres entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.

Partie B

Soit les nombres entiers $x$, $y$, $x'$ et $y'$ qui vérifient :
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = A \times \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + B$
On a donc :
$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x+2y \\ 4x + 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x+2y+1 \\ 4x + 3y+2 \end{bmatrix}$

On a donc :
$\begin{cases} x' = 3x + 2y + 1 \\ y' = 4x + 3y + 2 \end{cases}$.

a. Calculons $y'^2 - 2x'(x'+1)$ :
$y'^2 - 2x'(x'+1) = {(4x + 3y + 2)}^2 - 2 (3x + 2y + 1)(3x + 2y + 1 + 1)$
$= (4x + 3y + 2)(4x + 3y + 2) - 2 (3x + 2y + 1)(3x + 2y + 2)$
$= 16x^2 + 12xy + 8x + 12 xy + 9y^2 + 6y + 8x + 6y + 4 - 2(9x^2 + 6xy + 6x + 6xy + 4y^2 + 4y + 3x + 2y + 2)$
$= 16x^2 + 24xy + 16x + 9y^2 + 12y + 4 - 2(9x^2 + 12xy + 9x + 4y^2 + 6y + 2)$
$= 16x^2 + 24xy + 16x + 9y^2 + 12y + 4 - 18x^2 - 24xy - 18x - 8y^2 - 12y - 4$
$= y^2 - 2x^2 - 2x$
$y'^2 - 2x'(x'+1)= y^2 - 2x(x + 1)$.

b. Supposons que le couple ($x$ ; $y$) définisse un TRPI.
D’après la question 1. de la partie A, on a : $y^2 = 2x^2 + 2x + 1$.
D’après la question précédente, on a :
$y'^2 - 2x'(x'+1) = 2x^2 + 2x + 1 - 2x(x + 1)$
$y'^2 - 2x'(x'+1) = 2x^2 + 2x + 1 - 2x^2 - 2x$
$y'^2 - 2x'(x'+1) = 1$
$y'^2 = 2x'(x'+1) + 1$
$y'^2 = 2x'^2 + 2x' + 1$
D’après la question 1. de la partie A, le couple ($x'$ ; $y'$) définit aussi un TRPI.
Si le couple ($x$ ; $y$) définit un TRPI, alors le couple ($x'$ ; $y'$) définit aussi un TRPI.

Montrons le résultat par récurrence.
Initialisation :
Le couple $(3\ ; 5)$ définit un TRPI d’après la question 2. de la partie A.
Le résultat est vrai au rang $0$. Hypothèse de récurrence :
Soit $k\in \mathbb{N}$ tel que le couple ($x_k$ ; $y_k$) définisse un TRPI.
Montrons que le couple ($x_{k+1}$ ; $y_{k+1}$) définit un TRPI.
D’après les questions 1. a. et 1. b. de la partie B, le couple ($x_{k+1}$ ; $y_{k+1}$) tel que : $ \begin{bmatrix} x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
définit un TRPI.
La propriété est vraie au rang $k+1$.
Pour tout $n\in \mathbb{N}$, le couple ($x_n$ ; $y_n$) définit un TRPI.

Astuce

Consulter la fiche : Savoir mener un raisonnement par récurrence

D’après la question 1. a. de la partie B, on a :
$\begin{cases} x_{n+1} = 3x_n + 2y_n + 1 \\ y_{n+1} = 4x_n + 3y_n + 2 \end{cases}$.

$\begin{cases} x_0 = 3 \\ y_0 = 5 \end{cases}$.

$\begin{cases} x_1 = 3\times 3 + 2\times 5 + 1 = 20\\ y_1 = 4\times 3 + 3\times 5 + 2 = 29 \end{cases}$.

$\begin{cases} x_2 = 3\times 20 + 2\times 29 + 1 = 119\\ y_2 = 4\times 20 + 3\times 29 + 2 = 169 \end{cases}$.

$\begin{cases} x_3 = 3\times 119 + 2\times 169 + 1 = 696\\ y_3 = 4\times 119 + 3\times 169 + 2 = 985 \end{cases}$

$\begin{cases} x_4 = 3\times 696 + 2\times 985 + 1 = 4~059\\ y_4 = 4\times 696 + 3\times 985 + 2 = 5~741 \end{cases}$

Le premier TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à $2~017$ est le couple ($4~059$ ; $5~741$).
On vérifie que $4~059^2 + 4~060^2 = 32~959~081 = 5~741^2$.