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Sujet bac S - Annale mathématiques 2010
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2010

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 7

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 : (6 points)

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A :

On considère l’équation différentielle (E)(E): y+y=exy'+y= e^{-x}

1) Montrer que la fonction uu définie sur l’ensemble des nombres réels RR est une solution de l’équation différentielle (E)(E).

2) On considère l’équation différentielle (E)(E'): y+y=0y+y'=0 Résoudre l’équation différentielle (E)(E').

3) Soit vv une fonction définie et dérivable sur RR. Montrer que la fonction vv est une solution de l'équation différentielle (E)(E) si et seulment si la fonction vuv-u est solution de l'équation différentielle (E)(E').

4) En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E)(E).

5) Déterminer l’unique solution gg de l’équation différentielle (E)(E) telle que g(0)=2g(0)=2.

Partie B :

On considère la fonction fkfk définie sur l’ensemble RR des nombres réels par fk(x)=(x+k)exfk(x)=(x+k)e^{-x}kk est un nombre réel donné.

On note CkCk la courbe représentative de la fonction fkfk dans un repère orthogonal.

1) Montrer que la fonction fkf_k admet un maximum en 1k1-k

2) On note MkMk le point de la courbe CkCk d’abcisse 1-k. Montrer que le point MkM_k appartient à la courbe TT d’équation y=exy=e^{-x}.

3) Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas.

Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :

  • la courbe TT d’équation y=exy=e^{-x};
  • la courbe CkC_k d’équation y=(x+k)exy=(x+k)e^{-x} pour un certain nombre réel kk donné.

a) Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie).

b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel kk correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.

4) À l’aide d’une intégration par parties, calculer 02(x+2)exdx\int_0^2 (x+2)e^{-x} dx de cette intégrale. Donner une interprétation graphique

EXERCICE 2 : (5 points)

Commun à tous les candidats

1) Restitution organisée de connaissances.

Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si (un)(un) et (vn)(vn) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0.

Propriété 1 : si deux suites (un)(un) et (vn)(vn) sont adjacentes avec (un)(un) croissante et (vn)(vn) décroissante alors, pour tout entier naturel nn, vn<mo

unjvn > un j .

Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

2) Dans les cas suivants, les suites (un)(un) et (vn)(vn) ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ?

Justifier les réponses.

a) (un)=110n(un) = 1 - 10^{- n} et (vn)=1+10n(vn) = 1 + 10^{- n} ;

b) (un)=ln(n+1)(un) = ln (n + 1) et (vn)=ln(n+1)+1n(vn) = ln (n + 1) + \frac{1}{n} ;

c) (un)=11n(u_n)= 1 –\frac{1}{n}

et

(vn)=1+(1)nn(v_n)=1+\frac{(-1)^n}{n};

3) On considère un nombre réel aa positif et les suites (un)(un) et (vn)(vn) définies pour tout nombre entier naturel n non nul par : (un)=11n(un) = 1 -\frac{1}{n} et vn=ln(a+1n)vn= ln(a+\frac {1}{n})

Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient adjacentes ?

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EXERCICE 3 : (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

1) Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l’urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :

  • 2140\dfrac {21}{40}
  • 710×69×13\dfrac {7}{10} \times \dfrac {6}{9} \times \dfrac {1}{3}
  • 710×710×13\dfrac {7}{10} \times\dfrac {7}{10} \times \dfrac {1}{3}

2) De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d’avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :

  • 33×72105\dfrac {3^3\times 7^2}{10^5}
  • (52)×(310)2×(710)3\dbinom{5}{2} \times \bigg(\dfrac{3}{10}\bigg)^2\times \bigg(\dfrac{7}{10}\bigg)^3
  • (52)×(310)3×(710)2\dbinom{5}{2} \times \bigg(\dfrac{3}{10}\bigg)^3\times \bigg(\dfrac{7}{10}\bigg)^2

3) De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 11 à 66). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 11 à 44). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s’il obtient le numéro 11.

Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu’il ait tiré une boule blanche est égale à :

  • 760\dfrac {7}{60}
  • 1423\dfrac {14}{23}
  • 710×1612×16×12×14\dfrac {\dfrac {7}{10} \times \dfrac {1}{6}}{\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4}}

4) On note XX une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda (λ\lambda étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l’événement [1X3][1 \leq X \leq 3] est égale à :

  • eλe3λe^{-\lambda} - e^{-3\lambda}
  • e3λeλe^{-3\lambda}-e^{-\lambda}
  • eλe3λ\dfrac {e^{-\lambda}}{e^{-3\lambda}}

EXERCICE 4 : (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O ;u ;v)(O\ ;\vec u\ ;\vec v), on considère le point A d'affixe 22 et le cercle de centre OO passant par AA.

Dans tout l’exercice on note α\alpha le nombre complexe α=1+i3\alpha=1+i\sqrt3 et αˉ\bar{\alpha} le nombre complexe conjugué du nombre complexe α\alpha.

1) a) Démontrer que α24α=2αˉ8\alpha^2-4\alpha= 2\bar{\alpha}-8

b) Démontrer que les points BB et CC d’affixes respectives α\alpha et αˉ\bar{\alpha} appartiennent au cercle cc.

2) Soit DD un point du cercle cc d’affixe 2eiθ2e^{i\theta}θ\theta est un nombre réel de l’intervalle ]π ;π[]-\pi\ ;\pi[

a) Construire sur la figure donnée en annexe 22 (à rendre avec la copie) le point EE image du point DD par la rotation rr de centre OO et d'angle π3\frac {\pi}{3}.

b) Justifier que le point EE a pour affixe zE=αeiθz_E= \alpha e^{i\theta}

3) Soient FF et GG les milieux respectifs des segments [BD][BD] et [CE][CE].

a) Justifier que le point F a pour affixe zF=α2+eiθz_F=\dfrac {\alpha}{2}+ e^{i\theta}.

b) On admet que le point GG a pour affixe zG=αeiθ+αˉ2z_G= \dfrac{\alpha e^{i\theta}+ \bar{\alpha}}{2}

Démontrer que zG2zF2=α2\dfrac {zG-2}{zF-2}=\dfrac {\alpha}{2}

On pourra utiliser la question 1) a).

En déduire que le triangle AFG est équilatéral.

4) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu’il existe une position du point DD, défini à la question 22, pour laquelle la longueur du coté AFAF du triangle AFGAFG est minimale.

On admet que AF2=43cosθ+3sinθAF^2 =4 -3\text{cos}\theta+\sqrt{3}\text{sin}\theta

On considère la fonction ff définie sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ;\pi] par f(x)=43cosx+3sinxf(x)=4-3\text{cos}x+\sqrt{3}{\text{sin}x}

Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction ff sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ;\pi] Compléter ce tableau de variation. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.

Alt texte

ANNEXE 1 (Exercice 1)

(à rendre avec la copie)

Alt texte

ANNEXE 2 (Exercice 4) (à rendre avec la copie)

(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Alt texte