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Marianne

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Sujet bac S - Annale mathématiques 2011 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2011

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 9

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10−4.

Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.

PARTIE A

On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : – La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).

– La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note VV l’événement « la personne est contaminée par le virus » et TT l’événement « le test est positif ». V\overline{V} et T\overline{T} désignent respectivement les événements contraires de VV et TT.

1. a. Préciser les valeurs des probabilités P(V)P (V ), PV(T)PV (T ) , PV(T)PV(\overline{T}).

Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.

b. En déduire la probabilité de l’événement VTV\cap T .

2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.

3. a. Justifier par un calcul la phrase :

« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée ».

b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.

PARTIE B

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle XX la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.

1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

EXERCICE 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v)(O ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}).

On désigne par A,B,C,DA, B, C , D les points d’affixes respectives zA=1zA = 1, zB=izB = i, zC=1zC = -1, zD=izD = -i.

1. L’image EE du point DD par la rotation de centre AA et d’angle aa pour affixe :

  • zE=1+32(1+i)z_E= \frac{1+\sqrt3}{2}(1+i)
  • zE=1+32(1i)z_E= \frac{1+\sqrt3}{2}(1-i)
  • zE=132(1i)z_E= \frac{1-\sqrt3}{2}(1-i)
  • zE=132(1+i)z_E= \frac{1-\sqrt3}{2}(1+i)

2. L’ensemble des points d’affixe zz tel que z+i=z1| z + i |=| z - 1 | est :

  • la médiatrice du segment [BC][BC],
  • le milieu du segment [BC][BC],
  • le cercle de centre OO et de rayon 1,
  • la médiatrice du segment [AD][AD].

3. L’ensemble des points d'affixe zz tel que z+iz+1\frac{z+i}{z+1} soit un soit un imaginaire pur est :

  • la droite (CD)(CD) privée du point CC,
  • le cercle de diamètre [CD][CD] privé du point CC,
  • le cercle de diamètre [BD][BD] privé du point CC,
  • la médiatrice du segment [AB][AB].

4. L’ensemble des points d’affixe zz tel que arg(zi)=π2+2kπarg(z - i) = -\frac{\pi}{2} +2k\pikZk ∈ Z est :

  • le demi-cercle de diamètre [BD][BD] passant par AA,
  • la droite (BD)(BD),
  • la demi-droite ]BD)]BD) d’origine BB passant par DD privée de BB,
  • le cercle de diamètre [BD][BD] privé de BB et DD.

EXERCICE 3 (7 points)

Commun à tous les candidats

Pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 1, on désigne par fnf_n la fonction définie sur RR par :

fn(x)=xnexf_n (x) = x^n e^{-x}

On note CC n sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j)(O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow {j}) du plan.

PARTIE A

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe CkCkkk est un entier naturel non nul, sa tangente TkTk au point d’abscisse 1 et la courbe C3C_3.

La droite TkT_k coupe l’axe des abscisses au point AA de coordonnées (45,0)(\frac{4}{5}, 0) .

Alt texte

1. a. Déterminer les limites de la fonction f1f_1 en -\infty et en ++\infty.

b. Étudier les variations de la fonction f1f1 et dresser le tableau de variations de f1f1.

c. À l’aide du graphique, justifier que kk est un entier supérieur ou égal à 2.

2. a. Démontrer que pour n1n \geq 1, toutes les courbes C n passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées.

b. Vérifier que pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 22, et pour tout réel xx,

fn(x)=xn1(nx)exf'_ n (x) = x^{n-1} (n - x)e^{-x}

3. Sur le graphique, la fonction f3f_3 semble admettre un maximum atteint pour x=3x = 3.

Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.

4. a. Démontrer que la droite TkT_k coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (k2k1 ,0)\big(\frac{k-2}{k-1}\ ,0\big)

b. En déduire, à l’aide des données de l’énoncé, la valeur de l’entier kk.

PARTIE B

On désigne par (In)(In) la suite définie pour tout entier nn supérieur ou égal à 1 par In=01xnexdxIn =\int^1_0x^ne^{-x} dx

1. Calculer I1I_1.

2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes C1,C2,C3,C10,C20,C30C1, C2, C3, C{10}, C{20}, C{30} comprises dans la bande définie par 0x10\leq x \leq 1.

Alt texte

a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In)(I_n) en décrivant sa démarche.

b. Démontrer cette conjecture.

c. En déduire que la suite (In)(I_n ) est convergente.

d. Déterminer lim{x+}In\lim\limits{x\to+\infty} {{In}} .

EXERCICE 4 (5 points)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A - Restitution organisée de connaissances

On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS.

Théorème de BÉZOUT :

Deux entiers relatifs aa et bb sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u,v)(u, v) d’entiers relatifs vérifiant au+bv=1au + bv = 1.

Théorème de GAUSS :

Soient a,b,ca, b, c des entiers relatifs.
Si aa divise le produit bcbc et si aa et bb sont premiers entre eux, alors aa divise cc.

1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS.

2. Soient pp et qq deux entiers naturels tels que pp et qq sont premiers entre eux.

Déduire du théorème de GAUSS que, si aa est un entier relatif, tel que a0[p]a ≡ 0 [p] et a0[q]a ≡ 0 [q], alors a0[pq]a ≡ 0 [pq].

PARTIE B

On se propose de déterminer l’ensemble SS des entiers relatifs nn vérifiant le système :

{n9[17] n3[5]\left\lbrace\begin{array}{c} n ≡ 9 [17] \\ n ≡ 3 [5] \end{array}\right.

1. Recherche d’un élément de SS. On désigne par (u,v)(u, v) un couple d’entiers relatifs tel que 17u+5v=117u + 5v = 1.

a. Justifier l’existence d’un tel couple (u,v)(u, v).

b. On pose n0=3×17u+9×5vn0 = 3 × 17u + 9 × 5v.
Démontrer que n0n
0 appartient à SS.

c. Donner un exemple d’entier n0n_0 appartenant à SS.

2. Caractérisation des éléments de SS

a. Soit n un entier relatif appartenant à SS . Démontrer que nn00[85]n - n_0 ≡ 0 [85].

b. En déduire qu’un entier relatif nn appartient à SS si et seulement si nn peut s’écrire sous la forme n=43+85kn = 43 + 85kkk est un entier relatif.

3. Application

Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.
Combien a-t-elle de jetons ?