BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2012
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 7
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. |
EXERCICE 1 (4 points)
Commun à tous les candidats
Le plan est muni d’un repère orthonormé .
On considère une fonction dérivable sur l’intervalle .
On dispose des informations suivantes :
- .
- la dérivée de la fonction admet la courbe représentative ci-dessous.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Pour tout réel de l’intervalle , .
2. La fonction est croissante sur l’intervalle .
3. Pour tout réel de l’intervalle , .
4. Soit la courbe représentative de la fonction .
La tangente à la courbe au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées .
EXERCICE 2 (5 points)
Commun à tous les candidats
Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés.
1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat. On considère les événements suivants :
D : « Le candidat est retenu sur dossier »,
E 1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien »,
E 2 : « Le candidat est recruté ».
a. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
b. Calculer la probabilité de l’événement .
c. On note l’événement « Le candidat n’est pas recruté ».
Démontrer que la probabilité de l’événement est égale à 0,93.
2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07.
On désigne par la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
a. Justifier que suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10-3.
3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 ?
EXERCICE 3 (6 points)
Commun à tous les candidats
Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.
Partie A
On désigne par la fonction définie sur l’intervalle par
1. Déterminer la limite de la fonction en .
2. Démontrer que pour tout réel de l’intervalle ,
Dresser le tableau de variation de la fonction .
3. En déduire le signe de la fonction sur l’intervalle .
Partie B
Soit la suite définie pour tout entier strictement positif par
1. On considère l’algorithme suivant :
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur .
2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur de lorsque l’utilisateur entre la valeur de .
3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10-3.
n | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 100 | 1000 | 1500 | 2000 |
0,697 | 0,674 | 0,658 | 0,647 | 0,638 | 0,632 | 0,626 | 0,582 | 0,578 | 0,578 | 0,577 |
À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite et son éventuelle convergence.
Partie C
Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.
Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite telle que pour tout entier strictement positif ,
1. Démontrer que pour tout entier strictement positif ,
où est la fonction définie dans la partie A.
En déduire le sens de variation de la suite .
2. a. Soit un entier strictement positif. Justifier l’inégalité :
En déduire que :.
Démontrer l’inégalité : (1).
b. Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivement par et démontrer que pour tout entier strictement positif ,
.
c. En déduire que pour tout entier strictement positif , .
3. Prouver que la suite est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.
EXERCICE 4 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct .
On appelle l’application qui à tout point d’affixe différente de −1, fait correspondre le point d’affixe
Le but de l’exercice est de déterminer l’image par de la droite d’équation .
1. Soient et les points d’affixes respectives , et .
a. Placer les trois points et sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.
b. Calculer les affixes des points , et , et placer les points et sur la figure.
c. Démontrer que les points et ne sont pas alignés.
2. Soit la transformation du plan qui, à tout point d’affixe , fait correspondre le point d’affixe .
a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation .
b. Sans donner d’explication, placer les points et , images respectives par de et et tracer la droite , image de la droite par .
c. Démontrer que est l’ensemble des points d’affixe tel que .
3. Soit l’application qui, à tout point d’affixe non nulle, associe le point d’affixe .
a. Justifier que , et .
b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul , on a :
c. En déduire que l’image par de la droite est incluse dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
On admet que l’image par de la droite est le cercle privé de .
4. Déterminer l’image par l’application de la droite .