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Sujet bac S - Annale mathématiques 2012
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2012

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 7

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j)(O ; \overrightarrow i, \overrightarrow j).

On considère une fonction ff dérivable sur l’intervalle ]3 ;2]]-3\ ; 2].

On dispose des informations suivantes :

  • f(0)=1f(0) = -1.
  • la dérivée ff' de la fonction ff admet la courbe représentative CC' ci-dessous.

Alt texte

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Pour tout réel xx de l’intervalle [3 ;1][-3\ ; -1], f(x)0f'(x)\leq 0.

2. La fonction ff est croissante sur l’intervalle [1 ;2][-1\ ; 2].

3. Pour tout réel xx de l’intervalle [3 ;2][-3\ ; 2], f(x)1f (x) \geq -1.

4. Soit CC la courbe représentative de la fonction ff.
La tangente à la courbe CC au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1,0)(1, 0).

EXERCICE 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés.

1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat. On considère les événements suivants :

D : « Le candidat est retenu sur dossier »,

E 1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien »,

E 2 : « Le candidat est recruté ».

a. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

Alt texte

b. Calculer la probabilité de l’événement E1E_1.

c. On note FF l’événement « Le candidat n’est pas recruté ».

Démontrer que la probabilité de l’événement FF est égale à 0,93.

2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07.

On désigne par XX la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.

a. Justifier que XX suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10-3.

3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 ?

EXERCICE 3 (6 points)

Commun à tous les candidats

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

Partie A

On désigne par ff la fonction définie sur l’intervalle [1 ;+[[1\ ; +\infty[ par

f(x)=1x+1+lnxx+1f(x)= \frac{1}{x+1}+\text{ln}\frac{x}{x+1}

1. Déterminer la limite de la fonction ff en ++\infty.

2. Démontrer que pour tout réel xx de l’intervalle [1 ;+[[1\ ; +\infty[,

f(x)=1x(x+1)2f'(x)=\frac{1}{x(x+1)^2}

Dresser le tableau de variation de la fonction ff .

3. En déduire le signe de la fonction ff sur l’intervalle [1 ;+[[1\ ; +\infty[.

Partie B

Soit (un)(un) la suite définie pour tout entier strictement positif par un=1+12+13+...+1nln nun = 1+\frac{1}{2}+\frac {1}{3}+…+\frac{1}{n}-\text{ln}\ n

1. On considère l’algorithme suivant :

Alt texte

Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n=3n = 3.

2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur de unu_n lorsque l’utilisateur entre la valeur de nn.

3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10-3.

n 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 1500 2000
unu_n 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577

À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un)(u_n) et son éventuelle convergence.

Partie C

Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.

Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (un)(un) telle que pour tout entier strictement positif nn, un=1+12+13+...+1nln nun=1+\frac{1}{2}+\frac {1}{3}+…+\frac{1}{n}-\text{ln}\ n

1. Démontrer que pour tout entier strictement positif nn, un+1un=f(n)u{n+1} - un = f (n)

ff est la fonction définie dans la partie A.

En déduire le sens de variation de la suite (un)(u_n).

2. a. Soit kk un entier strictement positif. Justifier l’inégalité : kk+1(1k1x)\int^{k+1}_{k} \big(\frac{1}{k}-{1}{x}\big)

En déduire que :kk+11xdx1k\int^{k+1}_{k} \frac {1}{x} dx\leq {1}{k}.

Démontrer l’inégalité : ln(k+1)ln k1k\text{ln} (k+1)-\text{ln}\ k\leq \frac{1}{k} (1).

b. Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivement kk par 1,2,...,n1, 2, …, n et démontrer que pour tout entier strictement positif nn,

ln(n+1)1+12+13+...+1n\text{ln} (n + 1) \leq 1 + \frac{1}{2}+\frac {1}{3}+…+\frac{1}{n}.

c. En déduire que pour tout entier strictement positif nn, un0u_n \geq 0.

3. Prouver que la suite (un)(u_n) est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.

EXERCICE 4 (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(O ; \overrightarrow u, \overrightarrow v).

On appelle ff l’application qui à tout point MM d’affixe zz différente de −1, fait correspondre le point MM' d’affixe 1z+1\frac{1}{z+1}

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par ff de la droite DD d’équation x=12x = -\frac {1}{2} .

1. Soient A,BA, B et CC les points d’affixes respectives zA=12zA = -\frac{1}{2} , zB=12+izB =-\frac{1}{2} + i et zC=1212iz_C = -\frac{1}{2}- -\frac{1}{2}i.

a. Placer les trois points A,BA, B et CC sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.

b. Calculer les affixes des points A=f(A)A' = f(A), B=f(B)B' = f (B) et C=f(C)C' = f (C), et placer les points A,BA', B' et CC' sur la figure.

c. Démontrer que les points A,BA', B' et CC' ne sont pas alignés.

2. Soit gg la transformation du plan qui, à tout point MM d’affixe zz, fait correspondre le point M1M_1 d’affixe z+1z + 1.

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation gg.

b. Sans donner d’explication, placer les points A1,B1A1, B1 et C1C1, images respectives par gg de A,BA, B et CC et tracer la droite D1D1, image de la droite DD par gg.

c. Démontrer que D1D_1 est l’ensemble des points MM d’affixe zz tel que z1=z|z - 1| = |z|.

3. Soit hh l’application qui, à tout point MM d’affixe zz non nulle, associe le point M2M_2 d’affixe 1z\frac{1}{z}.

a. Justifier que h(A1)=Ah (A1) = A' , h(B1)=Bh (B1) = B' et h(C1)=Ch(C_1) = C'.

b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul zz, on a : 1z1=1z1=z|\frac{1}{z}-1=1|\Leftrightarrow|z-1|=|z|

c. En déduire que l’image par hh de la droite D1D_1 est incluse dans un cercle CC dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

On admet que l’image par hh de la droite D1D_1 est le cercle CC privé de OO.

4. Déterminer l’image par l’application ff de la droite DD.