BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2013
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 9
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. |
EXERCICE 1 (4 points)
Commun à tous les candidats
Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l’horticulteur , 25 % de l’horticulteur et le reste de l’horticulteur .
Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l’horticulteur comporte 80 % de conifères alors que celle de l’horticulteur n’en comporte que 50 % et celle de l’horticulteur seulement 30 %.
1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les évènements suivants : – : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur »,
– : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur »,
– : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur »,
– : « l’arbre choisi est un conifère »,
– : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».
a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
b. Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur .
c. Justifier que la probabilité de l’évènement est égale à 0,525.
d. L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur ? On arrondira à 10-3.
2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de arbres dans le stock.
On appelle la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.
a. Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10-3.
c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à 10-3.
EXERCICE 2 (7 points)
Commun à tous les candidats
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé la courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle .
On dispose des informations suivantes :
– les points ont pour coordonnées respectives , , ;
– la courbe passe par le point et la droite est tangente à en ;
– il existe deux réels positifs et tels que pour tout réel strictement positif ,
1.
a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de et .
b. Vérifier que pour tout réel strictement positif ,
c. En déduire les réels et .
2.
a. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle , a le même signe que .
b. Déterminer les limites de en et en . On pourra remarquer que pour tout réel strictement positif,
c. En déduire le tableau de variations de la fonction .
3.
a. Démontrer que l’équation admet une unique solution sur l’intervalle .
b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il existe un unique réel de l’intervalle tel que .
Déterminer l’entier tel que .
4. On donne l’algorithme ci-dessous :
a. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l’on recopiera sur la copie.
étape 1 | étape 2 | étape 3 | étape 4 | étape 5 | |
b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
c. Modifier l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement de d’amplitude .
5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe partage le rectangle en deux domaines d’aires égales.
a. Justifier que cela revient à démontrer que .
b. En remarquant que l’expression de peut s’écrire , terminer la démonstration.
EXERCICE 3 (4 points)
Commun à tous les candidats
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. Proposition 1 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points dont l’affixe vérifie l’égalité est une droite.
2. Proposition 2 : Le nombre complexe est un nombre réel.
3. Soit un cube.
Proposition 3 : Les droites et sont orthogonales.
4. L’espace est muni d’un repère orthonormé Soit le plan d’équation cartésienne . On note le point de coordonnées .
Proposition 4 : La droite qui passe par et qui est perpendiculaire au plan a pour représentation paramétrique
EXERCICE 4 (5 points)
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
On étudie la population d’une région imaginaire. Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.
L’examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l’évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :
- l’effectif de la population est globalement constant,
- chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville.
Pour tout entier naturel , on note le nombre d’habitants de cette région qui résident en ville au 1er janvier de l’année et le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.
1. Pour tout entier naturel , exprimer et en fonction de et
2. Soit la matrice
On pose où a, b sont deux réels fixés et
Déterminer, en fonction de et , les réels et tels que
Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel , où . On peut donc en déduire que pour tout entier naturel ,
3. Soient les matrices et
a. Calculer et . En déduire la matrice en fonction de .
b. Vérifier que la matrice est une matrice diagonale que l’on précisera.
c. Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,
4. Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que
Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?