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Sujet bac S - Annale mathématiques 2013 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2013

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 9

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l’horticulteur H1H1, 25 % de l’horticulteur H2H2 et le reste de l’horticulteur H3H_3.

Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.

La livraison de l’horticulteur H1H1 comporte 80 % de conifères alors que celle de l’horticulteur H2H2 n’en comporte que 50 % et celle de l’horticulteur H3H_3 seulement 30 %.

1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les évènements suivants : – H1H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1H1 »,

H2H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2H2 »,

H3H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H3H3 »,

CC : « l’arbre choisi est un conifère »,

FF  : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».

a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

b. Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3H_3.

c. Justifier que la probabilité de l’évènement CC est égale à 0,525.

d. L’arbre choisi est un conifère.

Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1H_1 ? On arrondira à 10-3.

2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 1010 arbres dans le stock.

On appelle XX la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.

a. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10-3.

c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à 10-3.

EXERCICE 2 (7 points)

Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ;i,j)(O\ ;\overrightarrow i, \overrightarrow j) la courbe représentative CC d’une fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle ]0,+[]0, +\infty[.

Alt texte

On dispose des informations suivantes :

– les points A,B,CA, B, C ont pour coordonnées respectives (1,0)(1, 0), (1,2)(1, 2), (0,2)(0, 2) ;

– la courbe CC passe par le point BB et la droite (BC)(BC) est tangente à CC en BB ;

– il existe deux réels positifs aa et bb tels que pour tout réel strictement positif xx, f(x)=a+b ln xxf(x) = \frac {a+b\ \text{ln}\ x}{x}

1.

a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de f(1)f(1) et f(1)f'(1).

b. Vérifier que pour tout réel strictement positif xx, f(x)=(ba)b ln xx2f'(x) =\frac {(b-a)-b\ \text{ln}\ x}{x^2}

c. En déduire les réels aa et bb.

2.

a. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ;+[]0\ ; +\infty[, f(x)f'(x) a le même signe que ln x- \text{ln}\ x.

b. Déterminer les limites de ff en 00 et en ++\infty. On pourra remarquer que pour tout réel xx strictement positif, f(x)=2x+2ln xxf(x) =\frac{2}{x}+2\frac{\text{ln}\ x}{x}

c. En déduire le tableau de variations de la fonction ff.

3.

a. Démontrer que l’équation f(x)=1f(x) = 1 admet une unique solution α\alpha sur l’intervalle ]0 ;1]]0\ ; 1].

b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il existe un unique réel β\beta de l’intervalle ]1 ;+[]1\ ; +\infty[ tel que f(β)=1f(\beta) = 1.
Déterminer l’entier nn tel que n<β<n+1n < \beta < n + 1.

4. On donne l’algorithme ci-dessous :

Alt texte

a. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l’on recopiera sur la copie.

étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5
aa 00        
bb 11        
b1b-1          
mm          

b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?

c. Modifier l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement de β\beta d’amplitude 10110^{-1}.

5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe CC partage le rectangle OABCOABC en deux domaines d’aires égales.

a. Justifier que cela revient à démontrer que 1e1f(x)dx=1\int^{1}_{\frac{1}{e}} f(x) dx = 1.

b. En remarquant que l’expression de f(x)f (x) peut s’écrire 2x+2×1x×ln x\frac {2}{x}+2\times \frac{1}{x}\times \text{ln}\ x, terminer la démonstration.

EXERCICE 3 (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Proposition 1 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points MM dont l’affixe zz vérifie l’égalité zi=z+1|z - i | = |z + 1| est une droite.

2. Proposition 2 : Le nombre complexe (1+i3)4(1 + i\sqrt 3)^4 est un nombre réel.

3. Soit ABCDEFGHABCDEFGH un cube.

Proposition 3 : Les droites (EC)(EC) et (BG)(BG) sont orthogonales.

Alt texte

4. L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ;i ;j ;k).(O\ ; \overrightarrow i\ ; \overrightarrow j\ ; \overrightarrow k). Soit le plan PP d’équation cartésienne x+y+3z+4=0x + y + 3z + 4 = 0. On note SS le point de coordonnées (1,2,2)(1, -2, -2).

Proposition 4 : La droite qui passe par SS et qui est perpendiculaire au plan PP a pour représentation paramétrique

{x=2+ty=1+tz=1+3t\left\lbrace\begin{aligned} x&=2+t \ y&=-1+t \ z&=1+3t \end{aligned}\right .

EXERCICE 4 (5 points)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On étudie la population d’une région imaginaire. Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.

L’examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l’évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

  • l’effectif de la population est globalement constant,
  • chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel nn, on note vnvn le nombre d’habitants de cette région qui résident en ville au 1er janvier de l’année (2013+n)(2013+n) et cncn le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

1. Pour tout entier naturel nn, exprimer vn+1v{n+1} et cn+1cn+1 en fonction de vnvn et cn.cn.

2. Soit la matrice A=(0,950,010,050,99)A=\begin{pmatrix} 0,95&0,01\ 0,05&0,99\ \end{pmatrix}\:

On pose X=(ab)X = \dbinom {a}{b} où a, b sont deux réels fixés et Y=AX.Y = AX.

Déterminer, en fonction de aa et bb, les réels cc et dd tels que Y=(cd)Y =\dbinom {c}{d}

Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel nn, Xn+1=AXnXn+1 = AXnXn=(vncn)Xn =\dbinom {vn}{cn}. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel nn, Xn=AnX0.Xn = A^n X_0.

3. Soient les matrices P=(1151)P =\begin{pmatrix} 1&-1\ 5&1\ \end{pmatrix}\: et Q=(1151)Q = \begin{pmatrix} 1&1\ -5&1\ \end{pmatrix}\:

a. Calculer PQPQ et QPQP. En déduire la matrice P1P^{-1} en fonction de QQ.

b. Vérifier que la matrice P1APP^{-1}AP est une matrice diagonale DD que l’on précisera.

c. Démontrer que pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 1, An=PDnP1.A^n = P D^{n} P^{-1}.

4. Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que vn=16(1+5×0,94n)v0+16(10,94n)c0vn =\frac {1}{6}(1+5\times 0,94^{n})v0+\frac {1}{6}(1-0,94^{n})c_0

Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?