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Sujet bac S - Annale mathématiques 2015 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2015

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 9

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Les résultats des probabilités seront arrondis à 10-3 près.

Partie 1

1. Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda , où λ\lambda est un réel strictement positif donné.

On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ;+[[0\ ; +\infty[ par

f(x)=λ eλ xf( x)= \lambda\ e^{-\lambda\ x}.

a. Soit cc et dd deux réels tels que 0cd0 \leq c \leq d.
Démontrer que la probabilité P(cXd)P(c \leq X \leq d) vérifie P(cXd)=eλ ceλ dP(c \leq X \leq d)= e^{-\lambda\ c}e^{-\lambda\ d}.

b. Déterminer une valeur de λ\lambda à 10310^{-3} près de telle sorte que la probabilité P(X<mo

20)P( X > 20) soit égale à0,050,05.

c. Donner l’espérance de la variable aléatoire XX.

Dans la suite de l'exercice on prend λ=0,15\lambda= 0,15.

d. Calculer P(10X20)P(10 \leq X \leq 20).

e. Calculer la probabilité de l’événement (X>18)( X > 18).

>

2. Soit YY une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 1616 et d'écart type 1,951,95.

a. Calculer la probabilité de l’événement (20Y21)(20 \leq Y \leq 21).

b. Calculer la probabilité de l’événement (Y<11)(Y<mo

21)(Y < 11) \cap (Y > 21).

>

Partie 2

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.

Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

1. Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge.

2. Montrer qu’une valeur approchée à 103 près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.

Pour la question suivante, on utilise cette valeur.

3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 €.

Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achats dans les différents magasins de la chaîne.

Ses doutes sont-ils justifiés ?

Exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé (O,I,J,K)(O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points A(0 ;1 ;5)A(0\ ; - 1\ ; 5),

B(2 ;1 ;5)(2\ ; - 1\ ; 5), C(11 ;0; 1)(11\ ; 0 ;\ 1) , D(11 ;4 ;4)(11\ ; 4\ ; 4).

Un point MM se déplace sur la droite (AB)(AB) dans le sens de AA vers BB à la vitesse de 1 cm par seconde.

Un point NN se déplace sur la droite (CD)(CD) dans le sens de CC vers DD à la vitesse de 1 cm par seconde.

À l'instant t=0t = 0 le point MM est en AA et le point NN est en CC.

On note MtMt et NtNt les positions des points MM et NN au bout de tt secondes, tt désignant un nombre réel positif.

On admet que MtMt et NtNt ont pour coordonnées : Mt(t ;1 ;5)Mt (t\ ; - 1\ ; 5) et Nt(11 ;0,8 t ;1+0,6 t)Nt (11\ ; 0,8\ t\ ; 1 + 0,6\ t ).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. a. La droite (AB)(AB) est parallèle à l’un des axes (OI)(OI), (OJ)(OJ) ou (OK)(OK). Lequel ?

b. La droite (CD)(CD) se trouve dans un plan pp parallèle à l’un des plans (OIJ)(OIJ), (OIK)(OIK) ou (OJK)(OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan pp.

c. Vérifier que la droite (AB)(AB), orthogonale au plan pp, coupe ce plan au point E(11 ;1; 5)E (11\ ; -1 ;\ 5).

d. Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-elles sécantes ?

2. a. Montrer que MtNt2=2t225,2t+138Mt Nt^2= 2 t^2 - 25,2 t + 138.

b. À quel instant tt la longueur MtNtMt Nt est-elle minimale ?

Exercice 3 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

1. On considère l'équation (E)(E) à résoudre dans Z:7x5y=1Z : 7 x - 5 y = 1.

a. Vérifier que le couple (3;4)(3 ; 4) est solution de (E)(E).

b. Montrer que le couple d’entiers (x;y)(x ; y) est solution de (E)(E) si et seulement si 7(x3)=5(y4)7 (x - 3) = 5 (y - 4).

c. Montrer que les solutions entières de l’équation (E)(E) sont exactement les couples (x;y)(x ; y) d’entiers relatifs tels que :

{x=5k+3y7k+4\left\lbrace\begin{array}{c} x=5k+3 \ y ≡ 7k+4 \end{array}\right.k ϵ Zk\ \epsilon\ Z

2. Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons il y a xx jetons rouges et yy jetons verts. Sachant que 7x5y=17 x - 5y = 1 , quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ?

Dans la suite, on supposera qu'il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts.

3. On considère la marche aléatoire suivante d’un pion sur un triangle ABCABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.

Lorsqu'on est en A:A :
Si le jeton tiré est rouge, le pion va en BB. Si le jeton tiré est vert, le pion va en CC. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en AA.

Lorsqu'on est en B:B :
Si le jeton tiré est rouge, le pion va en AA. Si le jeton tiré est vert, le pion va en CC. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en BB.

Lorsqu'on est en C:C :
Si le jeton tiré est rouge, le pion va en AA. Si le jeton tiré est vert, le pion va en BB. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en CC.

Au départ, le pion est sur le sommet A.A.

Pour tout entier naturel nn, on note anan, bnbn et cnc_n les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets AA, BB et CC à l'étape nn.

On note XnXn la matrice ligne (an bn cn)(an\ bn\ cn) (0,720,120,160,120,720,160,120,160,72)\begin{pmatrix} 0,72&0,12&0,16\ 0,12&0,72&0,16\ 0,12&0,16&0,72 \end{pmatrix}\:

Donner la matrice ligne X0X0 et montrer que pour tout entier naturel nn, Xn+1=XnTX{n+1} = X_nT.

4. On admet que T=PDP1T = PDP^{-1}P^{-1}=\begin{pmatrix} \frac {3}{10}&\frac{37}{110}&\frac {4}{11}\ \frac{1}{10}&-\frac{1}{10}&0\ 0&\frac {1}{11}&-\frac {1}{11}\end{pmatrix}\: et D=(10000,60000,56)D=\begin{pmatrix} 1&0&0\ 0&0,6&0\ 0&0&0,56 \end{pmatrix}\:

a. À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P.P. On pourra remarquer qu’ils sont entiers.

b. Montrer que Tn=PDnP1T^n = PD^n P^{-1}.

c. Donner sans justification les coefficients de la matrice DnD^n.

On note αn\alphan, βn\beta n, γn\gamma_ n les coefficients de la première ligne de la matrice TnT^n ainsi :

Tn=(αnβnγn..................)T^n=\begin{pmatrix} \alphan&\beta n&\gamma_ n\ …&…&…\ …&…&… \end{pmatrix}\:

On admet que αn=310+710×0,6n\alphan=\frac{3}{10}+{7}{10}\times 0,6^n et βn=3777×0,6n+40×0,56n110\betan= \frac{37-77\times 0,6^{n}+40\times 0,56^n}{110}

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.

5. On rappelle que, pour tout entier naturel nn, Xn=X0TnXn= X0T^n.

a. Déterminer les nombres anan, bnbn à l’aide des coefficients αn\alphan et βn\betan. En déduire cnc_n.

b. Déterminer les limites des suites (an)(an), (bn)(bn) et (cn)(c_n).

c. Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d’itérations de cette marche aléatoire ?

Exercice 4 (6 points)

Commun à tous les candidats

Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune. Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OADDOAD'D, DDCCDD'C'C, et OABBOAB'B sont des rectangles. Le plan de face (OBD)(OBD) est muni d’un repère orthonormé (O,I,J)(O, I, J). L'unité est le mètre. La largeur du module est de 1010 mètres, autrement dit, DD=10DD' = 10, sa longueur ODOD est de 2020 mètres. Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre. Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction ff définie sur l'intervalle [0 ; 20][0\ ;\ 20] par

f(x)=(x+1)ln(x+1)3x+7f( x) = ( x + 1)\text{ln}( x + 1) - 3x + 7

Alt texte

On note ff' la fonction dérivée de la fonction ff et CC la courbe représentative de la fonction ff dans le repère (O,I,J).(O, I, J).

Partie 1

Alt texte

1. Montrer que pour tout réel xx appartenant à l’intervalle [0 ;20][0\ ; 20] , on a f(x)=ln(x+1)2f '( x) = \text{ln}( x + 1) - 2.

2. En déduire les variations de ff sur l’intervalle [0 ;20][0\ ; 20] et dresser son tableau de variation.

3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe CC au point d'abscisse 00.

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point BB.

4. On admet que la fonction gg définie sur l’intervalle [0 ;20][0\ ;20] par g(x)=12(x+1)2ln(x+1)14x212xg ( x) = \frac {1}{2}(x + 1)^2 \text{ln}( x + 1)- \frac{1}{4}x^2 -\frac{1}{2} x a pour dérivée la fonction gg' définie sur l’intervalle [0 ;20][0\ ;20] par g(x)=(x+1)ln(x+1)g'(x)=(x+1)\text{ln}(x+1)

Déterminer une primitive de la fonction ff sur l’intervalle [0 ;20][0\ ; 20].

Partie 2

Les trois questions de cette partie sont indépendantes.

1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

P1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres. P2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en BB qu'en CC.

2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5m25 m^2 par litre.

Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O,I,J)(O, I, J) du plan de face, les points Bk(k ;f(k))B_k (k\ ; f (k )) pour kk variant de 0 à 20.

Ainsi, B0=BB_0 = B.

On décide d'approcher l'arc de la courbe CC allant de BkBk à Bk+1B{k +1} par le segment [BkBk+1][BkB{k +1}]. Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type BkBk+1Bk+1BkBk B{k+1} B'{k+1} B'k (voir figure).

Alt texte

a. Montrer que pour tout entier kk variant de 0 à 19, BkBk+1=1+(f(k+1)f(k))2Bk B{k +1} =\sqrt{ 1 +( f (k + 1) - f (k ))^2}.

b. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.

Alt texte