BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2015
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 7
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. |
EXERCICE 1 (6 points)
Commun à tous les candidats
Les résultats des probabilités seront arrondis à 10-3 près.
Partie 1
1. Soit une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre , où est un réel strictement positif donné.
On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur par
.
a. Soit et deux réels tels que .
Démontrer que la probabilité vérifie .
b. Déterminer une valeur de à près de telle sorte que la probabilité
c. Donner l’espérance de la variable aléatoire .
Dans la suite de l'exercice on prend .
d. Calculer .
e. Calculer la probabilité de l’événement .
>
2. Soit une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance et d'écart type .
a. Calculer la probabilité de l’événement .
b. Calculer la probabilité de l’événement
>
Partie 2
Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.
Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.
De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.
1. Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge.
2. Montrer qu’une valeur approchée à 103 près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.
Pour la question suivante, on utilise cette valeur.
3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 €.
Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achats dans les différents magasins de la chaîne.
Ses doutes sont-ils justifiés ?
Exercice 2 (3 points)
Commun à tous les candidats
Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, on considère les points ,
B, C , D.
Un point se déplace sur la droite dans le sens de vers à la vitesse de 1 cm par seconde.
Un point se déplace sur la droite dans le sens de vers à la vitesse de 1 cm par seconde.
À l'instant le point est en et le point est en .
On note et les positions des points et au bout de secondes, désignant un nombre réel positif.
On admet que et ont pour coordonnées : et .
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. a. La droite est parallèle à l’un des axes , ou . Lequel ?
b. La droite se trouve dans un plan parallèle à l’un des plans , ou . Lequel ? On donnera une équation de ce plan .
c. Vérifier que la droite , orthogonale au plan , coupe ce plan au point .
d. Les droites et sont-elles sécantes ?
2. a. Montrer que .
b. À quel instant la longueur est-elle minimale ?
Exercice 3 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct .
2. On considère les points et d'affixes respectives , et .
a. Calculer le module et un argument du nombre .
b. Donner la forme exponentielle des nombres et .
c. Montrer que les points et sont sur un même cercle de centre dont on déterminera le rayon.
d. Placer les points et dans le repère .
Pour la suite de l'exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2.d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
3. On considère les points et d'affixes respectives , , .
a. Montrer que .
b. Calculer le module et un argument du nombre .
Pour la suite on admet que et .
4. On admet que si et sont deux points du plan d'affixes respectives et alors le milieu du segment a pour affixe et la longueur est égale à .
a. On note , et les affixes des milieux respectifs , et des segments [A' B], [B' C] et [C'A].
Calculer et . On admet que .
b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle ? Justifier ce résultat.
Exercice 4 (6 points)
Commun à tous les candidats
Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune. Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères , , et sont des rectangles. Le plan de face est muni d’un repère orthonormé . L'unité est le mètre. La largeur du module est de mètres, autrement dit, , sa longueur est de mètres. Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre. Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction définie sur l'intervalle par
On note la fonction dérivée de la fonction et la courbe représentative de la fonction dans le repère
Partie 1
1. Montrer que pour tout réel appartenant à l’intervalle , on a .
2. En déduire les variations de sur l’intervalle et dresser son tableau de variation.
3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse .
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point .
4. On admet que la fonction définie sur l’intervalle par a pour dérivée la fonction définie sur l’intervalle par
Déterminer une primitive de la fonction sur l’intervalle .
Partie 2
Les trois questions de cette partie sont indépendantes.
1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
P1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres. P2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en qu'en .
2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère du plan de face, les points pour variant de 0 à 20.
Ainsi, .
On décide d'approcher l'arc de la courbe allant de à par le segment . Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type (voir figure).
a. Montrer que pour tout entier variant de 0 à 19, .
b. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.