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Marianne

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Sujet bac S - Annale mathématiques 2017
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2017

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 7

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 (7 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction hh définie sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ; +\infty[ par : h(x)=xexh(x)=xe^{-x}.

1. Déterminer la limite de la fonction hh en ++\infty.

2. Étudier les variations de la fonction hh sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ; +\infty[ et dresser son tableau de variations.

3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction hh.
a. Vérifier que pour tout nombre réel xx appartenant à l’intervalle [0 ;+[[0\ ; +\infty[, on a : h(x)=exh(x)h(x)=e^{-x}-h'(x)

où hh' désigne la fonction dérivée de hh.
b. Déterminer une primitive sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ; +\infty[ de la fonction xexx \mapsto e^{-x}.
c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction hh sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ; +\infty[.

Partie B

On définit les fonctions ff et gg sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ; +\infty[ par :

f(x)=xex+ln(x+1)f(x)=xe^{-x}+ln(x+1)etg(x)=ln(x+1)g(x)=ln(x+1).

On note CfCf et CgCg les représentations graphiques respectives des fonctions ff et gg dans un repère orthonormé.
Ces deux courbes sont tracées en annexe.

1. Pour un nombre réel xx appartenant à l’intervalle [0 ;+[[0\ ; +\infty[, on appelle MM le point de coordonnées (x ;f(x))(x\ ; f(x)) et NN le point de coordonnées (x ;g(x))(x\ ; g(x)) : MM et NN sont donc les points d’abscisse xx appartenant respectivement aux courbes CfCf et CgCg.
a. Déterminer la valeur de xx pour laquelle la distance MNMN est maximale et donner cette distance maximale.
b. Placer sur le graphique fourni en annexe page 8 les points MM et NN correspondant à la valeur maximale de MNMN.

2. Soit λ\lambda un réel appartenant à l’intervalle [0 ;+[[0\ ; +\infty[ . On note DλD{\lambda} le domaine du plan délimité par les courbes CfCf et CgCg et par les droites d’équations x=0x=0 et x=λx=\lambda.
a. Hachurer le domaine DλD
{\lambda} correspondant à la valeur λ\lambda proposée sur le graphique en annexe page 8.
b. On note AλA{\lambda} l’aire du domaine DλD{\lambda}, exprimée en unités d’aire. Démontrer que : Aλ=1λ+1eλA{\lambda}=1- \dfrac{\lambda+1}{e^{\lambda}}
c. Calculer la limite de AλA
{\lambda} lorsque λ\lambda tend vers ++\infty et interpréter le résultat.

3. On considère l’algorithme suivant :

Variables :
λ\lambda est un réel positif
SS est un réel strictement compris entre 00 et 11

Initialisation :
Saisir SS
λ\lambda prend la valeur 00

Traitement :
Tant Que 1λ+1eλ<S1-\dfrac{\lambda +1}{e^{\lambda}} < S faire
λ\lambda prend la valeur λ+1\lambda +1
Fin Tant Que

Sortie :
Afficher λ\lambda

a. Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S=0,8S = 0,8 ?
b. Quel est le rôle de cet algorithme ?

Exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ;i,j,k)(O\ ; \overrightarrow i,\overrightarrow j, \overrightarrow k).
Soit PP le plan d’équation cartésienne : 2xz3=02x-z-3=0.
On note AA le point de coordonnées (1 ;a ;a2)(1\ ; a\ ; a^2), où aa est un nombre réel.

1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel aa, le point AA n’appartient pas au plan PP.
2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite DD (de paramètre noté tt) passant par le point AA et orthogonale au plan PP.
b. Soit MM un point appartenant à la droite DD, associé à la valeur tt du paramètre dans la représentation paramétrique précédente.
Exprimer la distance AMAM en fonction du réel tt.

On note HH le point d’intersection du plan PP et de la droite DD orthogonale à PP et passant par le point AA. Le point HH est appelé le projeté orthogonal du point AA sur le plan PP, et la distance AHAH est appelée distance du point AA au plan PP.

Alt texte

3. Existe-t-il une valeur de aa pour laquelle la distance AHAH du point AA de coordonnées (1 ;a ;a2)(1\ ; a\ ; a^2) au plan PP est minimale ? Justifier la réponse.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d’incendie.

Le but de l’exercice est d’étudier les impacts de foudre détectés par un capteur.
L’écran radar, sur lequel les points d’impact de foudre sont observés, a l’allure suivante :

annale mathématiques bac 2017

Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l’écran, cinq cercles concentriques correspondant aux rayons respectifs 2020, 4040, 6060, 8080 et 100100 kilomètres délimitent dans l’ordre cinq zones, numérotées de 1155, définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de AAHH.

L’écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre 11 et 55. Par exemple, le point PP positionné sur la figure est situé dans le secteur B3B3.

On assimile l’écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé (O ;u,v)(O\ ; \overrightarrow u, \overrightarrow v) de la manière suivante :

  • l’origine OO marque la position du capteur ;
  • l’axe des abscisses est orienté d’Ouest en Est ;
  • l’axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord ;
  • l’unité choisie est le kilomètre.

Dans la suite, un point de l’écran radar est associé à un point d’affixe zz.

Partie A

1. On note zPzP l’affixe du point PP situé dans le secteur B3B3 sur le graphique précédent. On appelle rr le module de zPzP et θ\theta son argument dans l’intervalle ]π ;π]]-\pi\ ; \pi].
Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un encadrement correct pour rr et pour θ\theta (aucune justification n’est demandée) :

Proposition A Proposition B Proposition C Proposition D
40<r<6040 < r < 60

et

0<θ<π40 < \theta < \dfrac{\pi}{4}

20<r<4020 < r < 40

et

π2<θ<3π4\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{3 \pi}{4}

40<r<6040 < r < 60

et

π4<θ<π2\dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{2}

0<r<600 < r < 60

et

π2<θ<π4-\dfrac{\pi}{2} < \theta < -\dfrac{\pi}{4}

2. Un impact de foudre est matérialisé sur l’écran en un point d’affixe zz. Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient :
a. z=70eiπ3z=70 e^{-i\frac{\pi}{3}} ;
b. z=453+45iz=-45\sqrt{3}+45 i.

Partie B

On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point PP d’affixe 50eiπ350 e^{i\frac{\pi}{3}}.
En raison d’imprécisions de mesures, le point d’impact affiché ne donne qu’une indication approximative du point d’impact réel de la foudre.
Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d’impact PP d’affixe 50eiπ350 e^{i\frac{\pi}{3}}, l’affixe zz du point d’impact réel de la foudre admet :

  • un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire MM suivant une loi normale d’espérance μ=50\mu=50 et d’écart type σ=5\sigma=5 ;
  • un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire TT suivant une loi normale d’espérance π3\frac{\pi}{3} et d’écart type π12\frac{\pi}{12}.

On suppose que les variables aléatoires MM et TT sont indépendantes, c’est-à-dire que quels que soient les intervalles II et JJ, les événements (MIM \in I) et (TJT \in J) sont indépendants.

Dans la suite les probabilités seront arrondies à 10310^{-3} près.

1. Calculer la probabilité P(M<0)P(M < 0) et interpréter le résultat obtenu.
2. Calculer la probabilité P(M]40 ;60[)P(M\in ]40\ ; 60[ ).
3. On admet que : P(T]π4 ;π2[)=0,819P(T \in ]\frac{\pi}{4}\ ; \frac{\pi}{2}[)=0,819.
En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3B3 selon cette modélisation.

Exercice 4 (5 points)

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On étudie un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après semaine.

Chaque individu de la population peut être, à l’exclusion de toute autre possibilité :

  • soit susceptible d’être atteint par le virus, on dira qu’il est « de type SS » ;
  • soit malade (atteint par le virus) ;
  • soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Un individu est immunisé lorsqu’il a été vacciné, ou lorsqu’il a guéri après avoir été atteint par le virus.

Pour tout entier naturel nn, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :

  • Parmi les individus de type SS en semaine nn, on observe qu’en semaine n+1n + 1 :
  • 85 % restent de type SS, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;
  • Parmi les individus malades en semaine nn, on observe qu’en semaine n+1n + 1 :
  • 65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés.
  • Tout individu immunisé en semaine nn reste immunisé en semaine n+1n + 1.

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :

SnSn : « l’individu est de type SS en semaine nn » ;
MnM
n : « l’individu est malade en semaine nn » ;
InI_n : « l’individu est immunisé en semaine nn ».

En semaine 00, tous les individus sont considérés « de type SS », on a donc les probabilités suivantes :

P(S0)=1P(S0)=1, P(M0)=0P(M0)=0 et P(I0)=0P(I_0)=0.

Partie A

On étudie l’évolution de l’épidémie au cours des semaines 1 et 2.

1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :

annale mathématiques bac 2017

2. Montrer que P(I2)=0,2025P(I_2)=0,2025.
3. Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il ait été malade en semaine 1 ?

Partie B

On étudie dans cette partie l’évolution à long terme de l’épidémie.
Pour tout entier naturel nn , on note un=P(Sn)un=P(Sn), vn=P(Mn)vn=P(Mn) et wn=P(In)wn=P(In) les probabilités respectives des événements SnSn, MnMn et InI_n.

1. Justifier que, pour tout entier naturel nn, on a : un+vn+wn=1un+vn+w_n=1.

On admet que la suite (vn)(vn) est définie par v0=0v0=0 et, pour tout entier naturel nn : vn+1=0,65vn+0,05unv{n+1}=0,65vn+0,05u_n

2. À l’aide d’un tableur, on a calculé les premiers termes des suites (un)(un), (vn)(vn) et (wn)(w_n) :

A B C D
1 nn unun vnvn wnw_n
2 00 11 00 00
3 11 0,85000,8500 0,05000,0500 0,10000,1000
4 22 0,72250,7225 0,07500,0750 0,20250,2025
5 33 0,61410,6141 0,08490,0849 0,30100,3010
6 44 0,52200,5220 0,08590,0859 0,39210,3921
7 55 0,44370,4437 0,08190,0819 0,47440,4744
8 66 0,37710,3771 0,07540,0754 0,54740,5474
20 1818 0,05360,0536 0,01330,0133 0,93300,9330
21 1919 0,04560,0456 0,01130,0113 0,94310,9431
22 2020 0,03880,0388 0,00960,0096 0,95160,9516

Pour répondre aux questions a et b suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.

a. Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet, par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite (vn)(vn) ?
b. On admet que les termes de (vn)(v
n) augmentent, puis diminuent à partir d’un certain rang NN, appelé le « pic épidémique » : c’est l’indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d’être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.
Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par le modèle.

3. a. Justifier que, pour tout entier naturel nn, on a : un+1=0,85unu{n+1}=0,85 un.
En déduire l’expression de unun en fonction de nn.
b. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel nn, on a : vn=14(0,85n0,65n)v
n=\frac14(0,85^n-0,65^n)

4. Calculer les limites de chacune des trois suites (un)(un), (vn)(vn) et (wn)(w_n).
Que peut-on en déduire quant à l’évolution de l’épidémie prévue à long terme par ce modèle ?

Annexe à remettre avec la copie

annale mathématiques bac 2017