BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2017
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 7
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. |
EXERCICE 1 (7 points)
Commun à tous les candidats
Partie A
On considère la fonction définie sur l’intervalle par : .
1. Déterminer la limite de la fonction en .
2. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle et dresser son tableau de variations.
3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction .
a. Vérifier que pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle , on a :
où désigne la fonction dérivée de .
b. Déterminer une primitive sur l’intervalle de la fonction .
c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction sur l’intervalle .
Partie B
On définit les fonctions et sur l’intervalle par :
et.
On note et les représentations graphiques respectives des fonctions et dans un repère orthonormé.
Ces deux courbes sont tracées en annexe.
1. Pour un nombre réel appartenant à l’intervalle , on appelle le point de coordonnées et le point de coordonnées : et sont donc les points d’abscisse appartenant respectivement aux courbes et .
a. Déterminer la valeur de pour laquelle la distance est maximale et donner cette distance maximale.
b. Placer sur le graphique fourni en annexe page 8 les points et correspondant à la valeur maximale de .
2. Soit un réel appartenant à l’intervalle . On note le domaine du plan délimité par les courbes et et par les droites d’équations et .
a. Hachurer le domaine correspondant à la valeur proposée sur le graphique en annexe page 8.
b. On note l’aire du domaine , exprimée en unités d’aire. Démontrer que :
c. Calculer la limite de lorsque tend vers et interpréter le résultat.
3. On considère l’algorithme suivant :
Variables : est un réel positif est un réel strictement compris entre et Initialisation : Traitement : Sortie : |
a. Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur ?
b. Quel est le rôle de cet algorithme ?
Exercice 2 (3 points)
Commun à tous les candidats
L’espace est muni d’un repère orthonormé .
Soit le plan d’équation cartésienne : .
On note le point de coordonnées , où est un nombre réel.
1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel , le point n’appartient pas au plan .
2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (de paramètre noté ) passant par
le point et orthogonale au plan .
b. Soit un point appartenant à la droite , associé à la valeur du paramètre dans la représentation paramétrique précédente.
Exprimer la distance en fonction du réel .
On note le point d’intersection du plan et de la droite orthogonale à et passant par le point . Le point est appelé le projeté orthogonal du point sur le plan , et la distance est appelée distance du point au plan .
3. Existe-t-il une valeur de pour laquelle la distance du point de coordonnées au plan est minimale ? Justifier la réponse.
Exercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d’incendie.
Le but de l’exercice est d’étudier les impacts de foudre détectés par un capteur.
L’écran radar, sur lequel les points d’impact de foudre sont observés, a l’allure suivante :
Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l’écran, cinq cercles concentriques correspondant aux rayons respectifs , , , et kilomètres délimitent dans l’ordre cinq zones, numérotées de à , définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de à .
L’écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre et . Par exemple, le point positionné sur la figure est situé dans le secteur .
On assimile l’écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé de la manière suivante :
- l’origine marque la position du capteur ;
- l’axe des abscisses est orienté d’Ouest en Est ;
- l’axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord ;
- l’unité choisie est le kilomètre.
Dans la suite, un point de l’écran radar est associé à un point d’affixe .
Partie A
1. On note l’affixe du point situé dans le secteur sur le graphique précédent. On appelle le module de et son argument dans l’intervalle .
Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un encadrement correct pour et pour (aucune justification n’est demandée) :
Proposition A | Proposition B | Proposition C | Proposition D |
et |
et |
et |
et |
2. Un impact de foudre est matérialisé sur l’écran en un point d’affixe . Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient :
a. ;
b. .
Partie B
On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point d’affixe .
En raison d’imprécisions de mesures, le point d’impact affiché ne donne qu’une indication approximative du point d’impact réel de la foudre.
Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d’impact d’affixe , l’affixe du point d’impact réel de la foudre admet :
- un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance et d’écart type ;
- un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance et d’écart type .
On suppose que les variables aléatoires et sont indépendantes, c’est-à-dire que quels que soient les intervalles et , les événements () et () sont indépendants.
Dans la suite les probabilités seront arrondies à près.
1. Calculer la probabilité et interpréter le résultat obtenu.
2. Calculer la probabilité .
3. On admet que : .
En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur selon cette
modélisation.
Exercice 4 (5 points)
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On étudie un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après semaine.
Chaque individu de la population peut être, à l’exclusion de toute autre possibilité :
- soit susceptible d’être atteint par le virus, on dira qu’il est « de type » ;
- soit malade (atteint par le virus) ;
- soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).
Un individu est immunisé lorsqu’il a été vacciné, ou lorsqu’il a guéri après avoir été atteint par le virus.
Pour tout entier naturel , le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :
- Parmi les individus de type en semaine , on observe qu’en semaine :
- 85 % restent de type , 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;
- Parmi les individus malades en semaine , on observe qu’en semaine :
- 65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés.
- Tout individu immunisé en semaine reste immunisé en semaine .
On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :
: « l’individu est de type en semaine » ;
: « l’individu est malade en semaine » ;
: « l’individu est immunisé en semaine ».
En semaine , tous les individus sont considérés « de type », on a donc les probabilités suivantes :
, et .
Partie A
On étudie l’évolution de l’épidémie au cours des semaines 1 et 2.
1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :
2. Montrer que .
3. Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au
millième, qu’il ait été malade en semaine 1 ?
Partie B
On étudie dans cette partie l’évolution à long terme de l’épidémie.
Pour tout entier naturel , on note , et les probabilités respectives des événements , et .
1. Justifier que, pour tout entier naturel , on a : .
On admet que la suite est définie par et, pour tout entier naturel :
2. À l’aide d’un tableur, on a calculé les premiers termes des suites , et :
A | B | C | D | |
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
4 | ||||
5 | ||||
6 | ||||
7 | ||||
8 | ||||
… | … | … | … | … |
20 | ||||
21 | ||||
22 |
Pour répondre aux questions a et b suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.
a. Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet, par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite ?
b. On admet que les termes de augmentent, puis diminuent à partir d’un certain rang , appelé le « pic épidémique » : c’est l’indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d’être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.
Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par le modèle.
3. a. Justifier que, pour tout entier naturel , on a : .
En déduire l’expression de en fonction de .
b. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel , on a :
4. Calculer les limites de chacune des trois suites , et .
Que peut-on en déduire quant à l’évolution de l’épidémie prévue à long terme par ce modèle ?
Annexe à remettre avec la copie