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Sujet bac S - Annale mathématiques 2019
Fiche annale

SESSION 2019

ÉPREUVE DU VENDREDI 21 JUIN 2019

MATHÉMATIQUES
– Série S –

Enseignement obligatoire
Coefficient : 7

Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 (6 points) : commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction ff définie sur l’ensemble R\mathbb R des nombres réels par :

f(x)=7212(ex+ex)f(x)=\dfrac 72-\dfrac 12(\text{e}^x+\text{e}^{-x})

1.a. Déterminer la limite de la fonction ff en ++\infty.
b. Montrer que la fonction ff est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[.
c. Montrer que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet, sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[, une unique solution, qu’on note α\alpha.

2. En remarquant que, pour tout réel xx, f(x)=f(x)f(-x)=f(x), justifier que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet exactement deux solutions dans R\mathbb R et qu’elles sont opposées.

Partie B

Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.
Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 meˋtre1\ \text{mètre}. La fonction ff et le réel α\alpha sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe C\mathscr C de la fonction ff sur l’intervalle [α ;α][-\alpha\ ;\,\alpha].
On a représenté ci-dessous la courbe C\mathscr C sur l’intervalle [α ;α][-\alpha\ ;\,\alpha].

Alt Mathématiques terminale S sujet bac 2019

On admettra que la courbe C\mathscr C admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

1. Calculer la hauteur d’un arceau.

2.a. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe C\mathscr C sur l’intervalle [0 ;α][0\ ;\,\alpha]. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’intégrale :

I=0α1+(f(x))2dxI=\displaystyle{\int_{0}^{\alpha} \sqrt {1+\big(f^{\prime} (x)\big)^2}\text d x}

Montrer que pour tout réel xx, on a :

1+(f(x))2=14(ex+ex)21+\big(f^{\prime}(x)\big)^2=\dfrac 14\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}\right)^2

b. En déduire la valeur de l’intégrale II en fonction de α\alpha.
Justifier que la longueur d’un arceau, en mètre, est égale à : eαeα\text{e}^\alpha-\text{e}^{-\alpha}.

Partie C

On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de 1,5 meˋtre1,5\ \text{mètre}, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle ABCDABCD de largeur 1 meˋtre1\ \text{mètre} et de longueur 2 meˋtres2\ \text{mètres}.

Alt Mathématiques terminale S corrigé sujet bac 2019

On souhaite connaître la quantité, exprimée en m2\text{m}^2, de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
Cette bâche est constituée de trois parties, l’une recouvrant la façade nord, l’autre la façade sud (sauf l’ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.

1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m2\text{m}^2, par :

A=40αf(x)dx2\mathcal A = 4 \displaystyle{\int_{0}^\alpha f(x)\text d x}-2

2. On prend 1,921,92 pour valeur approchée de α\alpha. Déterminer, au m2\text{m}^2 près, l’aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.

Exercice 2 (5 points ) : commun à tous les candidats

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A\text{A} et un jeu de type B\text{B}.

Partie A

Les durées des parties de type A\text{A} et de type B\text{B}, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées XAX\text{A} et XBX\text{B}.
La variable aléatoire XAX\text{A} suit la loi uniforme sur l’intervalle [9 ;25][9\ ;\,25].
La variable aléatoire XBX
\text{B} suit la loi normale de moyenne μ\mu et d’écart-type 33. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

Alt Mathématiques terminale S corrigé sujet bac 2019

1.a. Calculer la durée moyenne d’une partie de type A\text{A}.
b. Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type B\text{B}.

2. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à 20 minutes20\ \text{minutes} ? On donnera le résultat arrondi au centième.

Partie B

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

  • si le joueur achève une partie de type A\text{A}, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A\text{A} avec une probabilité de 0,80,8 ;
  • si le joueur achève une partie de type B\text{B}, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B\text{B} avec une probabilité de 0,70,7.

Pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, on note AnAn et BnBn les événements :

  • AnA_n : « La nn-ième partie est une partie de type A\text{A} » ;
  • BnB_n : « La nn-ième partie est une partie de type B\text{B} ».

Pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, on note anan la probabilité de l’événement AnAn.

1.a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

Alt Mathématiques terminale S corrigé sujet bac 2019

b. Montrer que, pour tout entier naturel n1n\geq 1, on a :

an+1=0,5an+0,3a{n+1}=0,5\,an+0,3

Dans la suite de l’exercice, on note aa la probabilité que le joueur joue au jeu A\text{A} lors de sa première partie, où aa est un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ;1][0\ ;\,1]. La suite (an)(an) est donc définie par :
a1=aa
1=a et, pour tout entier naturel n1n\geq 1, an+1=0,5an+0,3 a{n+1}=0,5\,an+0,3.

2. Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que a=0,5a=0,5.
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n1n\geq 1, on a : 0an0,60\leq an\leq 0,6.
b. Montrer que la suite (an)(a
n) est croissante.
c. Montrer que la suite (an)(a_n) est convergente et préciser sa limite.

3. Étude du cas général : Dans cette question, le réel aa appartient à l’intervalle [0 ;1][0\ ;\,1].
On considère la suite (un)(un) définie pour tout entier naturel n1n\geq 1 par : un=an0,6un=an-0,6.
a. Montrer que la suite (un)(u
n) est une suite géométrique.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n1n\geq 1, on a : an=(a0,6)×0,5n1+0,6an=(a-0,6)\times0,5^{n-1}+0,6.
c. Déterminer la limite de la suite (an)(a
n). Cette limite dépend-elle de la valeur de aa ?
d. La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A\text{A} et une autre publicité insérée en début des parties de type B\text{B}. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s’adonnant intensivement aux jeux vidéo ?

Exercice 3 (4 points) : commun à tous les candidats

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Dans l’ensemble C\mathbb C des nombres complexes, on considère l’équation :

(E):z223z+4=0(E)\,:\,z^2-2\,\sqrt {3}\,z+4=0

On note AA et BB les points du plan dont les affixes sont les solutions de (E)(E).

  • Affirmation 1 : Le triangle OABOAB est équilatéral.

2. On note uu le nombre complexe : u=3+iu=\sqrt 3 + \text{i}, et on note uˉ\bar u son conjugué.

  • Affirmation 2 : u2019+uˉ2019=22019u^{2\,019}+\bar u^{2\,019}=2^{2\,019}.

3. Soit nn un entier naturel non nul. On considère la fonction fnf_n définie sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[ par :

fn(x)=xenx+1f_n(x)=x\,\text{e}^{-nx+1}

  • Affirmation 3 : Pour tout entier naturel n1n\geq 1, la fonction fnf_n admet un maximum.

4. On note C\mathscr C la courbe représentative de la fonction ff définie sur R\mathbb R par : f(x)=cos(x)exf(x)=\cos{(x)}\,\text{e}^{-x} ?

  • Affirmation 4 : La courbe C\mathscr C admet une asymptote en ++\infty.

5. Soit AA un nombre réel strictement positif. On considère l’algorithme ci-dessous.

I0I \leftarrow 0

Tant que 2IA2^I\leq A

II+1I \leftarrow I+1

Fin Tant que

On suppose que la variable II contient la valeur 1515 en fin d’exécution de cet algorithme.

  • Affirmation 5 : 15ln(2)ln(A)16ln(2)15 \ln{(2)} \leq \ln{(A)} \leq 16 \ln{(2)}.

Exercice 4 (5 points) : pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

On considère un cube ABCDEFGHABCDEFGH d’arête de longueur 11, dont la figure est donnée en annexe (dernière partie).
On note II le milieu du segment [EF][EF], JJ le milieu du segment [EH][EH] et KK le point du segment [AD][AD] tel que AK=14AD\overrightarrow{AK\,}=\frac 14 \overrightarrow{AD\,}.
On note P\mathcal P le plan passant par II et parallèle au plan (FHK)(FHK).

Partie A

Dans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.

1. Le plan (FHK)(FHK) coupe la droite (AE)(AE) en un point qu’on note MM. Construire le point MM.

2. Construire la section du cube par le plan P\mathcal P.

Partie B

Dans cette partie, on munit l’espace du repère orthonormé (A ;AB,AD,AE)\left(A\ ;\,\overrightarrow{AB\,},\,\overrightarrow{AD\,},\,\overrightarrow{AE\,}\right).
On rappelle que P\mathcal P est le plan passant par II et parallèle au plan (FHK)(FHK).

1.a. Montrer que le vecteur n(443)n \begin{pmatrix} 4 \ 4 \ -3\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (FHK)(FHK).
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (FHK)(FHK) est : 4x+4y3z1=04x+4y-3z-1=0.
c. Déterminer une équation cartésienne du plan P\mathcal P.
d. Calculer les coordonnées du point MM^{\prime}, point d’intersection du plan P\mathcal P et de la droite (AE)(AE).

2. On note Δ\Delta la droite passant par le point EE et orthogonale au plan P\mathcal P.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta.
b. Calculer les coordonnées du point LL, intersection de la droite Δ\Delta et du plan (ABC)(ABC).
c. Tracer la droite Δ\Delta sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.
d. Les droites Δ\Delta et (BF)(BF) sont-elles sécantes ? Qu’en est-il des droites Δ\Delta et (CG)(CG) ? Justifier.

Annexe à rendre avec la copie

Exercice 4 : pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Alt pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité