Sujet bac S - Annale mathématiques 2019

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 (6 points) : commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\mathbb R$ des nombres réels par :

$$f(x)=\dfrac 72-\dfrac 12(\text{e}^x+\text{e}^{-x})$$

1.a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
b. Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0\ ;\,+\infty[$.
c. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet, sur l’intervalle $[0\ ;\,+\infty[$, une unique solution, qu’on note $\alpha$.

2. En remarquant que, pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$, justifier que l’équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb R$ et qu’elles sont opposées.

Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.
Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité $1\ \text{mètre}$. La fonction $f$ et le réel $\alpha$ sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe $\mathscr C$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-\alpha\ ;\,\alpha]$.
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr C$ sur l’intervalle $[-\alpha\ ;\,\alpha]$.

On admettra que la courbe $\mathscr C$ admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

1. Calculer la hauteur d’un arceau.

2.a. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe $\mathscr C$ sur l’intervalle $[0\ ;\,\alpha]$. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’intégrale :

$$I=\displaystyle{\int_{0}^{\alpha} \sqrt {1+\big(f^{\prime} (x)\big)^2}\text d x}$$

Montrer que pour tout réel $x$, on a :

$$1+\big(f^{\prime}(x)\big)^2=\dfrac 14\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}\right)^2$$

b. En déduire la valeur de l’intégrale $I$ en fonction de $\alpha$.
Justifier que la longueur d’un arceau, en mètre, est égale à : $\text{e}^\alpha-\text{e}^{-\alpha}$.

On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de $1,5\ \text{mètre}$, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle $ABCD$ de largeur $1\ \text{mètre}$ et de longueur $2\ \text{mètres}$.

On souhaite connaître la quantité, exprimée en $\text{m}^2$, de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
Cette bâche est constituée de trois parties, l’une recouvrant la façade nord, l’autre la façade sud (sauf l’ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.

1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en $\text{m}^2$, par :

$$\mathcal A = 4 \displaystyle{\int_{0}^\alpha f(x)\text d x}-2$$

2. On prend $1,92$ pour valeur approchée de $\alpha$. Déterminer, au $\text{m}^2$ près, l’aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.

Exercice 2 (5 points ) : commun à tous les candidats

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type $\text{A}$ et un jeu de type $\text{B}$.

Les durées des parties de type $\text{A}$ et de type $\text{B}$, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées $X_\text{A}$ et $X_\text{B}$.
La variable aléatoire $X_\text{A}$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9\ ;\,25]$.
La variable aléatoire $X_\text{B}$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart-type $3$. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

1.a. Calculer la durée moyenne d’une partie de type $\text{A}$.
b. Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type $\text{B}$.

2. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à $20\ \text{minutes}$ ? On donnera le résultat arrondi au centième.

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

• si le joueur achève une partie de type $\text{A}$, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type $\text{A}$ avec une probabilité de $0,8$ ;
• si le joueur achève une partie de type $\text{B}$, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type $\text{B}$ avec une probabilité de $0,7$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $A_n$ et $B_n$ les événements :

• $A_n$ : « La $n$-ième partie est une partie de type $\text{A}$ » ;
• $B_n$ : « La $n$-ième partie est une partie de type $\text{B}$ ».

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $a_n$ la probabilité de l’événement $A_n$.

1.a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

b. Montrer que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a :

$$a_{n+1}=0,5\,a_n+0,3$$

Dans la suite de l’exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu $\text{A}$ lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0\ ;\,1]$. La suite $(a_n)$ est donc définie par :
$a_1=a$ et, pour tout entier naturel $n\geq 1$, $ a_{n+1}=0,5\,a_n+0,3$.

2. Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que $a=0,5$.
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a : $0\leq a_n\leq 0,6$.
b. Montrer que la suite $(a_n)$ est croissante.
c. Montrer que la suite $(a_n)$ est convergente et préciser sa limite.

3. Étude du cas général : Dans cette question, le réel $a$ appartient à l’intervalle $[0\ ;\,1]$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geq 1$ par : $u_n=a_n-0,6$.
a. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a : $a_n=(a-0,6)\times0,5^{n-1}+0,6$.
c. Déterminer la limite de la suite $(a_n)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$ ?
d. La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type $\text{A}$ et une autre publicité insérée en début des parties de type $\text{B}$. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s’adonnant intensivement aux jeux vidéo ?

Exercice 3 (4 points) : commun à tous les candidats

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Dans l’ensemble $\mathbb C$ des nombres complexes, on considère l’équation :

$$(E)\,:\,z^2-2\,\sqrt {3}\,z+4=0$$

On note $A$ et $B$ les points du plan dont les affixes sont les solutions de $(E)$.

• Affirmation 1 : Le triangle $OAB$ est équilatéral.

2. On note $u$ le nombre complexe : $u=\sqrt 3 + \text{i}$, et on note $\bar u$ son conjugué.

• Affirmation 2 : $u^{2\,019}+\bar u^{2\,019}=2^{2\,019}$.

3. Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l’intervalle $[0\ ;\,+\infty[$ par :

$$f_n(x)=x\,\text{e}^{-nx+1}$$

• Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n\geq 1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.

4. On note $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par : $f(x)=\cos{(x)}\,\text{e}^{-x}$ ?

• Affirmation 4 : La courbe $\mathscr C$ admet une asymptote en $+\infty$.

5. Soit $A$ un nombre réel strictement positif. On considère l’algorithme ci-dessous.

On suppose que la variable $I$ contient la valeur $15$ en fin d’exécution de cet algorithme.

• Affirmation 5 : $15 \ln{(2)} \leq \ln{(A)} \leq 16 \ln{(2)}$.

Exercice 4 (5 points) : pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur $1$, dont la figure est donnée en annexe (dernière partie).
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu du segment $[EH]$ et $K$ le point du segment $[AD]$ tel que $\overrightarrow{AK\,}=\frac 14 \overrightarrow{AD\,}$.
On note $\mathcal P$ le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.

Dans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.

1. Le plan $(FHK)$ coupe la droite $(AE)$ en un point qu’on note $M$. Construire le point $M$.

2. Construire la section du cube par le plan $\mathcal P$.

Dans cette partie, on munit l’espace du repère orthonormé $\left(A\ ;\,\overrightarrow{AB\,},\,\overrightarrow{AD\,},\,\overrightarrow{AE\,}\right)$.
On rappelle que $\mathcal P$ est le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.

1.a. Montrer que le vecteur $\vec n \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(FHK)$.
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est : $4x+4y-3z-1=0$.
c. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal P$.
d. Calculer les coordonnées du point $M^{\prime}$, point d’intersection du plan $\mathcal P$ et de la droite $(AE)$.

2. On note $\Delta$ la droite passant par le point $E$ et orthogonale au plan $\mathcal P$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
b. Calculer les coordonnées du point $L$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
c. Tracer la droite $\Delta$ sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.
d. Les droites $\Delta$ et $(BF)$ sont-elles sécantes ? Qu’en est-il des droites $\Delta$ et $(CG)$ ? Justifier.

Annexe à rendre avec la copie